《多元函数微分》doc版.doc

螁聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂螈肅芈蚁羀袈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅袁膈莁螅肃羁莇螄螃芇芃莀袅肀腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿蒇袂肆膅蒆羄衿蒄蒅蚄肄蒀蒄袆袇莆蒃罿膃节蒃蚈羅膈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂膄薈螇膈膀薇罿肀葿薇虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂螈肅芈蚁羀袈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅袁膈莁螅肃羁莇螄螃芇芃莀袅肀腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿蒇袂肆膅蒆羄衿蒄蒅蚄肄蒀蒄袆袇莆蒃罿膃节蒃蚈羅膈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂膄薈螇膈膀薇罿肀葿薇虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂螈肅芈蚁羀袈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅袁膈莁螅肃羁莇螄螃芇芃莀袅肀腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿蒇袂肆膅蒆羄衿蒄蒅蚄肄蒀蒄袆袇莆蒃罿膃节蒃蚈羅膈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂膄薈螇膈膀薇罿肀葿薇虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂螈肅芈蚁羀袈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅袁膈莁螅肃羁莇螄螃芇芃莀袅肀腿荿羈 多元函数微分1. 偏导数与全微分的概念1求下列函数的偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .2设考察函数在(0,0)点的偏导数.3证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在.4求下列函数的全微分：(1) ；(2) .5求下列函数在给定点的全微分：(1) 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 在点(0,1)和(1,1)；(3) 在点(1,1,1)；(4) 在点（0，1）.6考察函数在(0,0)点的可微性，其中7证明函数在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。8证明函数的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,0)可微。9设证明和在(0,0)点连续.10设证明在(0,0)点可微，并求.11设(1) 是通过原点的任意可微曲线（即时，、可微）.求证可微.(2) 在(0,0)不可微.12设很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：(1) (2) .13设在矩形：内可微，且全微分恒为零，问在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.14设在存在，在连续，求证在可微.15求下列函数的所有二阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(3) .16求下列函数指定阶的偏导数：(1) ,求；(2) ，求所有三阶偏导数；(3) ,求，；(4) ,求；(5) ，求；(6) ,求.17验证下列函数满足.(1) ；(2) ；(3) ；(4) .18设函数，证明.19设在点的某邻域内存在且在点可微，则有 .2. 求复合函数偏导数的链式法则1求下列函数的所有二阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .2设，其中是可微函数，验证.3设，为常数，函数二阶可导，。证明 .4若函数对任意正实数满足关系，则称为次齐次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是.5验证下列各式：(1) ,则；(2) ,则；(3) ,则；(4) ,则.6设可微，在极坐标变换，下，证明.这时称是一个形式不变量.8设函数满足拉普拉斯方程，证明在下列变换下形状保持不变，即仍有.(1) ,；(2) ；(3) 满足.这组方程称为柯西黎曼方程.9作自变量的变换，取为新自变量：(1) ,变换方程；(2) ,变换方程.10作自变量和因变量的变换，取为新的自变量，为新的因变量：(1) 设，变换方程；(2) 设，变换方程.11求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .12求由下列方程所确定的函数的全微分；(1) ；(2) ；(3) ；(4) .13设由方程所确定，证明。14设，其中为由方程所确定的隐函数，求和.15设，其中为由方程所确定的隐函数，求，.3. 由方程（组）所确定的函数的求导法1. 求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：(1） 求；(2) 求；(3) 求；(4) 求.2. 下列方程组定义为的函数，求，.(1) (2) 4. 空间曲线的切线与法平面1 求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“(1) ,在点；(2) ,在点(1,-1,2)；(3) ,在点(1,-2,1)；(4) ,在点.2 证明曲线在锥面的母线相交成同一角度.3 求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.4 求两曲面的交线在平面上的投影曲线的切线方程.5. 曲面的切平面与法线1. 求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1) ，在点（1,1,2）；(2) 在点；(3) 在点(2,1,12)；(4) 在点.2. 求曲面的切平面，使它平行于平面.3. 证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数.4. 证明曲面的每一切平面都通过原点. 6. 方向导数和梯度1. 设，求在点沿到点的方向导数.2. 求函数在点处沿到点的方向上的方向导数3. 求：(1) ，与轴正向的夹角为；(2) , 与向量同向.4. 设函数在可微，单位向量，确定使得.5. 设在可微，在指向的方向导数是1，指向原点的方向导数是3，试回答：(1) 指向的方向导数是多少？(2) 指向的方向导数是多少？7. 泰勒公式1. 写出下列函数在指定点的泰勒公式：(1)，在(1,-2)点.(2) ，在(-1,1)点.2. 求函数在(1,1)点邻域的阶带拉格朗日余项的泰勒公式.3. 求函数在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项.4. 求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式：(1) ；(2) ；(3) ;(4) 。5 证明泰勒公式的唯一性：若 ，其中.求证（为非负整数，），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶泰勒展开式.6 通过对用中值定理，证明存在，使 .7 设在区域内有偏导数存在，且.证明在为常数.8 若是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似公式：(1) ； (2) .9 设函数有直到阶连续偏导数，试证的阶导数.10 设为次齐次函数，证明.11 设，其中为常数，在包含原点的某邻域内，有阶连续导数.求证：在(0,0)点邻域的泰勒公式是 . 薀螂蚃羂莂蚈蚂肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿膃螈螀罿荿蚄蝿肁膂蚀螈芃莇薆螇羃芀蒂螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂莅袂膄芅螄袁羄薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀膄蚆羇肃莀薂羆膅膃蒈羅袅莈莄羄肇膁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁羁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇蚅膀芄蒃蚄节薀螂蚃羂莂蚈蚂肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿膃螈螀罿荿蚄蝿肁膂蚀螈芃莇薆螇羃芀蒂螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂莅袂膄芅螄袁羄薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂袈芁莁螀袈羀膄蚆羇肃莀薂羆膅膃蒈羅袅莈莄羄肇膁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁羁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇蚅膀芄蒃蚄节薀螂蚃羂莂蚈蚂肄薈薄蚁膇莁蒀螀艿膃螈螀罿荿蚄蝿肁膂蚀螈芃莇薆螇羃芀蒂螆肅蒅螁螅膇芈蚇螄芀蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂莅袂膄芅