前期创建过程已经取得的阶段性成果.doc

虿蚀膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁莁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃衿荿蒂薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆羂聿薅蝿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羃罿肆薁螅袅膅蚄薈膃膄莃螄聿膃蒆薆肅膃蚈袂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芇虿蚀膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁莁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃衿荿蒂薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆羂聿薅蝿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羃罿肆薁螅袅膅蚄薈膃膄莃螄聿膃蒆薆肅膃蚈袂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芇虿蚀膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁莁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃衿荿蒂薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆羂聿薅蝿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羃罿肆薁螅袅膅蚄薈膃膄莃螄聿膃蒆薆肅膃蚈袂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芇虿蚀膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁莁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃衿 附件4 前期创建过程已经取得的阶段性成果 (四页) 19992000名牌课程项目总结 本人承担的国家理科基地创建名牌课程项目“ 数学分析课程内容的调整和更新及教学方法研究”, 在原定时限“1999年2月2000年2月”内圆满完成.下面做一简要总结.(一) 完成的工作(1)数学分析教学大纲；(2)论文三篇: 1王昆扬, 关于 Riemann 积分理论的本质缺陷及以 Lebesgue积分取代之的看法, 数学教育学报, 8 (1999)No.3, 95-98,2王昆扬, 怎样讲实数理论, 高等数学研究, 专集, 1999, 15,3郇中丹, 对师范大学本科数学专业数学分析课程改革的几点意见,数学教育学报, 2000年第二期.(3)按上述数学分析教学大纲用本人编写的简明数学分析为北京师范大学数学系99级1班学生讲授数学分析课，已完成一届，共3个学期.(4)指导访问学者一名(二) 该名牌课程的创新之处江泽民主席在第三次全国教育工作会议上的讲话（l999年6月15日）谈及人才成长规律时说过：“学得好的影响和带动学得不太好的，水平高的影响和带动水平比较低的，这样就可以促进共同进步与提高.必须坚决克服用一个模子来培养人才的倾向”.该名牌课程,立意贯彻因材施教的方针,着眼于培养高素质的基础数学人才，大胆创新,在许多方面打破了传统，或者说有明显特色. 一年多来的实践,初见成效.下面简单地说一说在哪些方面打破了传统，有什么道理.(1）本课程十分注意知识的系统性、严格性和学生认识的连贯性.对于刚上大学的学生,在第一章中就严格地讲授实数的定义.这是因为学生们早已在初中二年级就已经知道“无限不循环小数是无理数”,“有理数和无理数统称为实数”.要讲清“无限不循环小数是无理数”及“无限循环小数是有理数”,必须引入极限的概念.我们分析了以往大多数数学分析课本对于实数概念的讲法.感到常用的Dedekind方法,即使是对于高年级学生,也是费解的.而且这种分割的方法,要用到有理数之间有大小关系这一特殊性质,不能推广应用于一般距离空间的完备化.我们承袭学生从初中就已接受的认识,着力用极限的观点把这个概念讲解清楚.即使部分学生一时理解不透，以后在学泛函分析，遇到距离空间的完备化的时候，认识也必有一大提高.这可以说是这门课的第一个“打破常规”的地方.（2）实数讲清楚了，往下逻辑上很顺畅.我们没有等到后面单独讲授级数理论的时候才遇到. 事实上，学生们在中学早就知道等差级数和等比级数了.讲完数列的极限，级数的概念就自然出来了.这样，第二个打破常规之处就是用级数的方式定义指数函数,给学生们讲清楚所定一的函数这就是他们在中学就知道的指数函数.学生们早就熟悉这个函数的各种性质了.但是,不使用极限概念,就不可能真正理解这个函数.以往害怕一开始就严格引入指数函数的定义,就象害怕引入实数定义一样,结果是不得不做许多繁琐的不严格的描述,实在是事倍功半.仔细想一想,如此定义指数函数,与我们在复变函数论中所用的办法是一样的.这样做，往下的论述非常简单明了.(3) 把单变量和多变量一块儿讲.目的有二. 其一，强化学生对于多变量函数的认识.现代科学技术的发展对于多变量函数的理论的需求越来越高.针对以往对于多变量理论的讲述不够充分及把单变量和多变量分开讲的负面效果, 尝试把单变量理论与多变量理论统一起来讲是有益的.何况大学生们在中学阶段的学习中已经与一元初等函数打了6年的交道，有了接受多变元函数概念的基础.这是主要目的.其二，节约了大量篇幅.当然，在讲多元函数的导数时，一方面要把一元函数作为特例同时也是最基本的情况讲透彻，同时又要强调多元与一元确有本质上不同的地方，不可一概把多元情形看成是一元情形的简单推广.接着，要花些力气把多维空间之间的变换，特别是可导变换的概念讲清楚，这将是多元积分变量替换的理论基础.也是偏微分方程论等课程中不可少的基础知识.(4) 用Lebesgue积分取代Riemann积分.数学分析包括微分学和积分学两部分.现有教材在积分学部分都以Riemann积分理论为内容.Riemann积分是19世纪的理论,是有缺陷的理论.20世纪创立的Lebesgue积分理论克服了Riemann积分的缺陷,是完备的理论.关于用Lebesgue积分取代Riemann积分的必要性,本人在论文1中作了专门的论述.本人认为Riemann积分的本质缺陷是不承认-可加性,而这恰是Lebesgue积分论的出发点.本人赞成J.Dieudonne 的下述观点(J.迪厄多内, 现代分析基础第一卷, 科学出版社,1982,159页):“ 这里明显地没有微积分教程中一个古老的题目.即黎曼积分.人们大概会感觉到: 如果不是它的有权威的名字,它老早就该没落下去了,因为对于任何一位从事研究工作的数学家来说(带着对黎曼天才的应有尊敬),十分清楚,现今这一理论的重要性在测度与积分的一般理论中,最多不过是一普通的有趣的练习(参看13.9问题7).只有那种学究传统的顽固保守主义才会把它冻结成课程的正规部分,长时间以后必将失去它的历史重要性.”传统的作法是在大学一年级讲Riemann积分,在三年级再讲授Lebesgue理论.这种做法,少说也历时50年了.我们常说过去的课程内容已显得陈旧.在一年级的基础数学课程中,固守Riemann积分,可以说是内容陈旧的最明显的表现了.过去人们常认为Lebesgue积分比较难,怕学生难于接受.这种担心的基本根据,是以往(三年级)的实变函数论课(就是Lebesgue积分论课)常让人觉得又难教又难学. 我们要做的是通过实践来打破这些旧的观念.不能因为难就驻足不前.应该做的事一定要坚持做下去,应该在实践中把原以为困难的东西设法化解为易于为多数学生接受的东西.我们的实践可以说明,在走向新世纪的历史时刻,打破传统的作法,用Lebesgue积分取代Riemann积分不但是理所应当的,而且是完全可能的.我这个班的学生43人,是入学时随机编成的班.他们大多能接受Lebesgue积分的基本理论.学得差的学生还比过去我教过的三年级的差学生掌握得好些.这里可能有这样一个原因,那就是他們现在只能专心致志地学这一种积分论,而且这门课是基础课, 必须重视, 而过去的实变函数论课是选修课,有时被忽视.（5）关于这门课的内容,还有两点要提一下.对于求原函数(不定积分)的技巧部分, 做了适当压缩,并加入使用计算机的练习.“参变积分”理论不再单列一章,而是作为积分论的一节.“数项级数”也不单列一章.适当减少同样内容的重复,节奏紧一点,腾出时间让学生主动发挥.另外， 注意与后续课程的衔接,不躲避相关学科的重要概念.例如, 对于欧几里得空间的基本拓扑概念,作触类旁通的介绍,对于学生将来进一步学习其它学科,树立数学的整体概念是有好处的.在讲幂级数的时候，扩展到复数域去讲，实在是举手之劳，却能为与解析函数论的沟通预做准备.(6) 始终坚持因材施教的教学方法.从第一学期的后半学期开始, 完全由学生自愿报名,组成了两个不同的教学群体.对于这两个群体的学生采用了两种不同的辅助教学方式.第一个群体,有21人报名.教师给这21名学生每人一个题目,由学生自己准备,在课堂上给全班学生讲解. 其他学生提问题,展开讨论.教师作补充和总结.这就是讨论班的形式.讨论班是全班参加的,正规课时之内的教学活动.21名主讲人要多花些功夫,对他们的要求是比较高的,目的是及早培养他们创造性地进行学习的能力.他们的积极性很大.他们中的多数人获得了较大的收获.第二个群体,人数不固定,大体上在七、八人左右.由那些学习上有困难的学生自愿参加.每周平均约用2学时,面对面个别辅导.实践证明,这也是深受欢迎的一种辅助教学方式.不少学习有困难的学生,提高了学习积极性.达到了课程的基本要求,成绩在自己原有基础上也得到了提高.事实证明, 愿意并主动要求多学些东西的学生,大有人在.当然,不愿意多学东西的,也大有人在.本课程对于学生,除了及格的要求是强制性的,别的方面都是民主的.我们所做的,只是启发和诱导学生们尽可能把基础打扎实,通过长期的艰苦努力,把自己培养成高素质的数学教育和研究人才.(三) 该名牌课程的初步效果由于课程内容的大胆革新,三个学期课程的知识量比过去有很大增加.而课文是相当简明的.共五章,第一章,极限、实数、初等函数和第二章微分学为第一学期的内容.第三章积分论，为第二学期的内容.第四章级数和第五章曲线和曲面上的积分，为第三学期的内容.课文总篇幅430页.这样,教学进度是平均每学时两页书.我感到有非常充分的时间在课堂上作启发式的讲解.差不多每堂课都有时间对学生提问.学生们大多能专心地在课堂上发挥自己的潜力、积极思考.从三个学期的考试成绩来看，43人中,优秀、良好、及格，几乎各占三分之一.个别两三个不及格的学生，还能逐步提高.学生们学习的情绪很高.他们知道这是一门名牌课程,课程的内容比较深,最大的受益者是他们自己.这大大激发了他们的学习热情.他们在学这门课的时候,表现了很强的主动性.各不同层次的学生的学习潜力都得到了较充分的发挥.许多学生甚至为自己能实现高效率和高水平的学习而有一种自豪感. 目前已有一些学生在讨论班学习的基础上,在思考一些问题,撰写小论文.其中三名学生已基本完成,她们的小论文一篇是关于用积分方法估计级数和,给出Euler常数一个精确级数表达式的；另一篇是关于高等数学中常用的一种论证方法，叫做阿列夫次归纳论法的总结的；还有一位同学，在讨论班上，在教师的指导下发现了一本有名教科书中一个重要的错误，写了一篇小文章予以更正. 螂袄肈薀螁羆芄蒆螀聿肇莂蝿螈节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袆肅肃荿袆袅艿莅蒂羇膁芁蒁肀莇蕿蒀蝿膀蒅蒀袂莅莁葿羄膈芇薈肆羁薆薇螆膆薂薆羈罿蒈薅肀芅莄薄螀肇芀薄袂芃薈薃羅肆蒄蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀衿艿膂虿肁肂薁蚈螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿蚆肈腿薈螅螈羂蒃螄袀膇荿螃羂羀芅螂螂膅芁螂袄肈薀螁羆芄蒆螀聿肇莂蝿螈节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袆肅肃荿袆袅艿莅蒂羇膁芁蒁肀莇蕿蒀蝿膀蒅蒀袂莅莁葿羄膈芇薈