微积分定绩分-黎曼积分.doc

罿肀葿薆肂芆莅薆螁聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆节蒂蚂袈肅莈蚁羀莁芄蚀肃膃薂蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃薅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄节薄蒅螄膄蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节蒂肁羅薀薂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿螅羂芄薈袇芈薃薇罿肀葿薆肂芆莅薆螁聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆节蒂蚂袈肅莈蚁羀莁芄蚀肃膃薂蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃薅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄节薄蒅螄膄蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节蒂肁羅薀薂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿螅羂芄薈袇芈薃薇罿肀葿薆肂芆莅薆螁聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆节蒂蚂袈肅莈蚁羀莁芄蚀肃膃薂蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃薅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄节薄蒅螄膄蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节蒂肁羅薀薂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿螅羂芄薈袇芈薃薇罿肀葿薆肂芆莅薆螁聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆节蒂蚂袈肅莈蚁羀莁芄蚀肃膃薂 微積分:定績分-黎曼積分. 勒貝格積分在實分析中，由黎曼創立的黎曼積分（Riemann integral）首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。概念作為曲線與坐標軸所夾面積的黎曼積分對於一在區間a,b上之給定非負函數f(x)，我們想要確定f(x)所代表的曲線與X坐標軸所夾圖形的面積，我們可以將此記為黎曼積分的核心思想就是試圖通過無限逼近來確定這個積分值。同時請注意，如f(x)取負值，則相應的面積值S亦取負值。一列黎曼和。右上角的數字錶示分割的矩形數。這列黎曼和趨於一個定值，記為此函數的黎曼積分。定義 區間的分割一個閉區間a,b的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列。每個閉區間xi,xi + 1叫做一個子區間。定義 為這些子區間長度的最大值： = max(xi + 1 xi)，其中。再定義取樣分割。一個閉區間a,b的一個取樣分割是指在進行分割後，於每一個子區間中xi,xi + 1取出一點 。的定義同上。精細化分割：設以及構成了閉區間a,b的一個取樣分割，和是另一個分割。如果對於任意，都存在r(i)使得xi = yr(i)，並存在使得ti = sj，那麼就把分割：、稱作分割、的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作精細。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更精細。對一個在閉區間a,b有定義的實值函數f，f關於取樣分割 、的黎曼和定義為以下和式：和式中的每一項是子區間長度xi + 1 xi與在ti處的函數值f(ti)的乘積。直觀地說，就是以標記點ti到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。黎曼積分不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越精細的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對越來越精細作出嚴格的定義。要使得越來越精細有效，需要把趨於0。如此xi,xi + 1中的函數值才會與f(ti)接近，矩形面積的和與曲線下方的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。嚴格定義如下：S是函數f在閉區間a,b上的黎曼積分，若且唯若對於任意的 0，都存在 0，使得對於任意的取樣分割、，只要它的子區間長度最大值 ，就有：也就是說，對於一個函數f，如果在閉區間a,b上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數f的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼f在閉區間a,b上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數f為黎曼可積的。這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。另一個定義: S是函數f在閉區間a,b上的黎曼積分，若且唯若對於任意的 0，都存在一個取樣分割、，使得對於任何比其精細的分割 and ，都有：這兩個定義是等價的。如果有一個S滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個S滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於，於是滿足其次證明滿足第二個定義的S也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割使得它的上達布和與下達布和都與S相差不超過 。令r等於，其中Mi和mi是f在xi,xi + 1上的上確界和下確界。再令是和中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於時， f關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差，所以和S至多相差。由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。黎曼積分的性質線性性：黎曼積分是線性變換，也就是說，如果f 和g 在區間a,b上黎曼可積，和是常數，則： 由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間a,b 後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。正定性：如果函數f 在區間a,b上幾乎處處（勒貝格測度意義上）大於等於0，那麼它在a,b上的積分也大於等於零。如果f 在區間a,b上幾乎處處大於等於0，並且它在a,b上的積分等於0，那麼f 幾乎處處為0。 可加性：如果函數f 在區間a,c 和c,b 上都可積，那麼f 在區間a,b 上也可積，並且有 無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。a,b上的實函數f是黎曼可積的，若且唯若它是有界和幾乎處處連續的。 如果a,b上的實函數是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。 如果fn是a,b上的一個一致收斂序列，其極限為f，那麼： 如果一個實函數在區間a,b,上是單調的，則它是黎曼可積的，因為其中不連續的點集是可數集。 黎曼積分的推廣黎曼積分可推廣到值屬於n維空間的函數。積分是線性定義的，即如果，則。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函數也可定義積分。黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同瑕積分(improper integral)一樣。我們可以令不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果向左或向右平移一個函數，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。例如，令f(x) = 1 若x 0，f(0) = 0，f(x) = 1若x 1，我們得到. 由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：此時，如果嘗試對上面的f積分，我們得到，因為我們先使用了極限。如果使用相反的極限順序，我們得到。這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令fn(x) = 1 / n在0,n上，其它域上等於0。對所有n，。但fn一致收斂於0，因此的積分是0。因此。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對瑕積分(improper integral)不適用。這限制了黎曼積分的應用。一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock-Kurzweil integral。擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子xi xi + 1，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。勒貝格積分是現代數學中的一個積分概念，它將積分運算擴展到任何測度空間中。在最簡單的情況下，對一個單元非負值的函數的積分可以看作是求其函數圖像與x軸之間的面積。勒貝格積分則將積分運算擴展到其它函數，並且也擴展了這些函數的定義域。最早對積分運算的定義是對於非負值和足夠光滑的函數來說，其積分相當於使用求極限的手段來計算一個多邊形的面積。但是隨著對更加不規則的函數的積分運算的需要不斷產生（比如為了確定數學分析的極限，或者出於機率論的需求），很快就產生了對更加廣義的求極限手段的要求來定義相應的積分運算。在實分析和在其它許多數學領域中勒貝格積分擁有一席重要的地位。勒貝格積分是以昂利勒貝格命名的，他於1904年引入了這個積分定義。今天勒貝格積分有狹義和廣義兩種意義。廣義地說是勒貝格引入的在一個測度內的函數的積分理論。狹義則是指相對於勒貝格測度在實直線的亞域中定義的函數的積分。引入在閉區間a和b之間對函數f的積分可以被看作是求f的函數圖像下的面積。對於多項式這樣比較常見的函數來說這個定義簡而易懂。但是對於更加稀奇古怪的函數來說它是什麼意思呢？廣義地來說，對於什麼樣的函數函數圖像下的面積這個概念有意義？這個問題的答案具有很大的理論性和實際性意義。19世紀里在數學中有把整個數學理論放到一個更加堅固的基礎上的趨勢。在這個過程中數學家也試圖給積分計算提供一個穩固的定義。波恩哈德黎曼提出的黎曼積分成功地為積分運算提供了一個這樣的基礎。黎曼積分的出發點是設立一系列容易計算的積分，這些積分最後收斂於給定的函數的積分。這個定義很成功，為許多其它問題提供了有用的答案。但是在求函數序列的極限的時候黎曼積分的效果不良，這使得這些極限過程難以分析。而這個分析比如在研究傅立葉級數、傅立葉變換和其它問題時卻是極其重要的。勒貝格積分能夠更好地描述在什麼情況下積分有極限。勒貝格積分所使用的容易計算的積分與黎曼積分所使用的不同，這是勒貝格積分更加成功的主要原因。勒貝格的定義也使得數學家能夠計算更多種類的函數的積分。比如輸入值為無理數時輸出值為1，其它情況下輸出值為0的狄利克來函數沒有黎曼積分，但是有勒貝格積分。推導以下的介紹是遵循最常見的勒貝格積分的介紹進行的。在這個介紹中積分理論分兩部分：可測集和在這些集合上可以進行的測量的理論 可測函數和對這些函數積分的理論 測度理論最初測度理論是用來對歐幾里得空間中直線的長度，以及廣義歐幾里得空間的子集的面積和體積進行仔細分析發展出來的。它尤其可以為R的哪些子集擁有長度這個問題提供一個系統性的回答。後來發展的集合論證明，實際上不可能把R的所有子集都分配一個長度，且保持自然的加法和平移不變的性質。因此能夠給出一個合適的，可測量的子集是一個關鍵性的前提。當然，黎曼積分隱含了長度的概念。事實上計算黎曼積分的元素是a,bc,d所組成的長方形，它的面積為(ba)(dc)。ba是這個長方形的寬度，而dc則是其高度。黎曼只能用平面的長方形來近似函數圖像下的面積，因為當時還沒有其它適當的理論來測量更一般的集合。在大多數現代的教科書中測度和積分都是公理性的。也就是說一個函數的測度定義為擁有一個集合E的一定的子集X，這些子集必須擁有一定的特徵。在許多不同的情況下這些特徵存在。關於測度理論詳見測度。積分從一個測度空間(E,X,)出發，E是一個集合，X是E的子集的代數，是對E的子集的X的測度。比如E可以是一個n維歐幾里得空間Rn或者其勒貝格可測子集。則X是所有E的勒貝格可測子集的代數，則是勒貝格測度。在機率論中是機率空間E中的機率測度。在勒貝格理論中只有對所謂的可測函數才能夠進行積分。一個函數f被稱為是可測的，假如每個X內的閉區間的原像滿足：。 這與R中的所有波萊爾子集的原像在X內的要求是等價的。我們假設滿足這個條件。可測函數的集合在代數運算下是封閉的，更重要的是在不同逐點序列極限下它們是封閉的：是可測的，假如原序列fk是由可測函數組成的，其中N。我們為E上的可測實數值函數f積分， 並把這個積分分為：指示函數：與給定的測度一致的可測集合S的指示函數的積分唯一可選擇的值為：簡單函數：通過對指示函數線性生成擴展：在這裡和是有限的，係數ak是實數。這樣通過對指示函數進行有限線性組合形成的函數稱為簡單函數。即使一個簡單函數可以通過不同方法的指示函數線性組合形成，其積分始終是一致的。假如E是一個可測集合，s是一個可測簡單函數的話則非負函數：f為E中的一個非負可測函數，其值可以達到+，即f可以在擴展的實數軸上取任何非負值。我們定義。 我們必須證明這個積分與上面定義在簡單函數集合上的積分相應。此外還有這個積分是否與黎曼積分的概念以任何方式相應的問題。事實上可以證明這兩個問題的答案都是肯定的。這樣我們定義了E中所有非負擴展實數函數f的積分。一些這些函數的積分的值是無限大的。帶符號的函數：為了解決帶符號的函數，我們需要更多的定義。假如f是可測集合E中值可以是任何實數（包括）的函數的話，則其中請注意f + 和f 都是非負函數。此外若 則f被稱為勒貝格可積的。在這種情況下，兩個積分均滿足， 因此可以定義事實上這個定義給出了希望獲得的積分的特性。複數值函數也可以類似地積分，只要分別考慮實數部分和虛數部分就可以了。直覺解釋黎曼積分（藍色）和勒貝格積分（紅色）要直覺地解釋各種積分的原理我們可以假設我們要計算一座山在海拔以上的體積。黎曼積分是相當於把山分為每塊都是一平方米大的方塊，測量每個方塊正中的山的高度。每個方塊的體積約為1x1x高度，因此山的總體積為所有高度的和。勒貝格積分則是為山畫一張等高線圖，每根等高線之間的高度差為一米。每根等高線內含有的岩石土壤的體積約等於該等高線圈起來的面積乘以其厚度。因此總體積等於所有等高線內面積的和。佛蘭德（Folland）1總結說，黎曼積分是把區間a,b分為子區間，而勒貝格積分則是分f的高度。例子有理數的指示函數是一個無處連續的函數。在區間0,1之間沒有黎曼積分，因為在實數中有理數和無理數都是稠密的，因此不管怎樣把0,1分成子區間，每一個子區間裡面總是至少會有一個有理數和一個無理數，因此其達布積分的上限為1，而下限為0。 在區間0,1內有勒貝格積分。事實上它等於有理數的指示函數，因為是可數集，因此 黎曼積分的不足在這一章里我們討論黎曼積分的限制以及勒貝格積分提供的更大的可能性。我們假設對於黎曼積分的原理已經很清楚了。傅立葉級數出現後，許多包括積分的分析問題也隨之出現，要解決這些問題需要交換函數的無限求和和積分運算符。但是在黎曼積分中，要求出以下兩個積分相等的條件以及 被證明是很難解決的。除此之外黎曼積分還有一些其它的困難。這些困難主要涉及上面已經討論過的求極限的問題。缺乏單調收斂：如上所述，有理數的指示函數沒有黎曼積分。尤其是單調收斂定理不成立。要了解為什麼，設ak=0,1（有理數集是可數的）。令函數gk除了在一個有限點集外處處都是0，因此其黎曼積分為0。序列gk也顯然是非負的，而且單調增加到沒有黎曼積分的。不適宜於無界區間：黎曼積分只能用來在有界區間內對函數進行積分。最簡單的擴展是在有界情況下定義。 但是這個定義打破了平移不變性：設f和g在區間a, b外為0，而且是可以黎曼積分的。設對於某yf(x) = g(x + y)，則。通過這個瑕積分的定義函數f(x) = (1假如x 0，否則的話-1，g(x) = 1假如x 1，否則-1。這兩個函數互相之間平移不變，但是瑕積分卻不是平移不變的。基本定理勒貝格積分不能區分僅在一個測度0的集合上有區別的函數。精確地說，函數f和g幾乎處處相等若且唯若假如f和g是非負函數且幾乎處處f = g，則 。 假如f和g是函數，且幾乎處處f = g，則f是勒貝格可積的，若且唯若g是勒貝格可積的，且f和g的積分是相等的。 勒貝格積分擁有以下特徵：線性：設f和g為勒貝格可積的函數，a和b是實數，則af + bg是勒貝格可積的，且單調性：設則。 單調收斂定理：設是一個實數值、非負可測函數的序列，且則。 注意：任何積分的值均可以是無窮大。法圖引理：設是一個實數值、非負可測函數的序列，則。 在這裡所有積分的值也均可以是無窮大。勒貝格控制收斂定理：設是一個復可測函數的序列，並擁有逐點極限f，且如果有一個勒貝格可積的函數g（即），對所有k滿足，則f是勒貝格可積的，且。 證明技術在這裡我們通過證明上面已經提到過的勒貝格單調收斂定理，來說明勒貝格積分理論的證明技巧。設是一個非負可測函數的非遞減序列，令由積分的單調性可以立刻得出：由於該系列是單調的，因此可以推出右側的極限存在。我們現在來證明另一個方向的不等式（它也可以通過法圖引理證明），即。 由積分的定義可以推出，有一個非負簡單函數的非遞減序列gn，幾乎處處逐點收斂於f，使得。 因此只需證明對於任何我們來證明假如g是一個簡單函數而且幾乎處處則。 將函數g分解為其常數部分，可以化為g是一個集合的指示函數的情況。這樣的話我們只要證明設A是一個可測集合，是一個E上可測函數的非遞減序列，則幾乎對所有 則要證明這個結果，令 0並定義可測集合的序列為。 由積分的單調性可以得出對於任何，由於對於足夠大的n，幾乎所有的x都位於Bn內，我們便有對於一個測度為0的系列成立。因此根據的可數可加性。 由於這個結果對於任何正的成立，因此定理得證。其它表達方式關於勒貝格測度的積分也可以不通過使用整個測度理論引導出來。一個這樣的方法是使用丹尼爾積分。使用泛函分析的方法也可以發展出積分的理論。任何定義在（或一個固定的開子集）上的緊支撐連續函數f都有黎曼積分。從這些積分開始，我們