广义逆矩阵的计算方法本科毕业论文.doc

广义逆矩阵的计算方法摘 要：上世纪兴起的广义逆矩阵经过几十年的发展，已经成为现代数学研究中一个活跃的领域作为逆矩阵的推广，广义逆矩阵的理论已成为数理统计、最优化理论、现代化控制理论和网络理论等学科的重要工具在科学研究和工程应用中，很多问题都可以归结为求解矩阵广义逆（特别是伪逆）的数学问题本文首先回顾逆矩阵的相关知识，并结合例题对逆矩阵求解进行说明然后通过对逆矩阵的推广来引出广义逆矩阵这一概念，并对其定义、性质、分类、计算以及与逆矩阵的关系进行介绍我们将提出计算矩阵的不同类型的几类广义逆矩阵的不同方法，最后讲述广义逆矩阵在线性方程组中的应用关于这个学说我们会给出一些数值计算关系关键词：逆矩阵；广义逆矩阵；满秩分解；线性方程组The calculation method of generalized inverse matrixAbstract：Arisen in the last century, generalized inverse has developed for several decades and become an active area of mathematics. As the promotion of the inverse matrix, the generalized matrix theory has become an important tool in the mathematical statistics, optimization theory, modern control theory, network theory and so on. In scientific research and engineering applications, many problems could be reduced as the mathematical problems of solving generalized inverse(especially, pseudo inverse).First, the paper reviews the inverse matrix knowledge, and states the calculation of inverse matrix combined with the examples. Then draws forth the concept of generalized inverse matrix through the promotion of inverse matrix, and its definition, properties, classification, calculation method and the relationship between generalized inverse matrix with inverse matrix. We discuss the Moore-Penrose inverse of block matrices, full-rank factorization. Finally the generalized inverse matrix in the application of linear equations are introduced. We give some numerical computations relative to this theory.Key words：inverse matrix；generalized inverse matrix；full rank decomposition；the system of liner equations 目 录第一章 绪论11.1 研究目的及意义11.2 国内外研究现状11.3 毕业论文主要内容2第二章 逆矩阵32.1 常义逆矩阵32.2 广义逆矩阵42.3 常义逆与广义逆的异同62.4 其他广义逆6第三章 矩阵的范数与分解93.1 矩阵的范数93.2 矩阵的满秩分解113.2.1 满秩分解113.2.2 满秩分解的方法12第四章 广义逆矩阵的计算144.1 减号逆（即）144.2 自反广义逆（即）174.3 最小范数广义逆（即）184.4 最小二乘广义逆（即）204.5 加号逆（即）21第五章 广义逆矩阵的应用275.1 线性方程组的求解问题275.2 相容方程组的通解与285.3 相容方程组的极小范数解305.4 不相容方程组的最小二乘解与325.5 加号逆的应用355.6 广义逆矩阵在其他领域的应用37第六章 结论38参考文献39致 谢40附 录41II第一章 绪论1.1 研究目的及意义矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论逆矩阵和广义逆矩阵是矩阵理论的重要分支，在高等代数中我们已经了解到逆矩阵的一些基本的性质和计算，当时讨论矩阵的逆都是在矩阵为方阵且行列式不为零的情况下进行讨论的而针对更一般的矩阵我们就提出广义逆矩阵的概念，广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，但是在很多实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的，显然不存在常义逆矩阵因此提出广义逆矩阵的概念以便更加牢固地掌握理论知识，更加熟练的解决各种问题矩阵是现代自然科学、工程技术乃至科学许多领域的一个不可或缺的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛由于计算机的出现，推动了计算科学的发展，广义逆矩阵得到了迅速的发展，它在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等领域有重要的应用，如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面都有重要的应用，因而大大推动了广义逆矩阵的研究，使其得到迅速的发展，成为矩阵的一个重要分支本文将在介绍逆矩阵的基础上，重点研究广义逆矩阵的性质及其在解线性方程组、煤热值等的应用1.2 国内外研究现状广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，广义逆矩阵的概念最早是由瑞典数学家弗德霍姆在1903年提出的，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（称之为伪逆）1904年，德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆1920年美国芝加哥的摩勒(Moore)EH首先引进了广义逆矩阵这一概念，但由于不知其用途及他特殊难懂的符号，该理论几乎未被注意，在以后30年中都没有多大的发展我国数学家曾远荣在1933年，美籍匈牙利数学家冯洛伊曼J和弟子默里FJ在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论和研究1951年瑞典人布耶哈梅尔重新发现了摩勒(Moore)EH广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与摩勒(Moore)EH等价的广义逆矩阵定义，因此后来通常称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入一个新阶段，是广义逆的研究中一个重要的里程碑Moore-Penrose广义逆矩阵是以四个矩阵方程定义的广义逆近五十年来，广义逆矩阵的理论和应用得到了迅速发展其中，在广义逆研究的高峰时期，统计学家的研究工作占了相当分量通过研究逆的结构表示和不唯一性并把它应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析的估计与检验问题广义逆的理论经过80年的演化和深入的研究，已经取得了丰硕的成果，但仍然是国际数学界非常活跃的一个研究领域，因为广义逆在最优化、数值线性代数、数值分析、控制论、微分和积分方程等许多领域以及其它应用学科中都有重要的应用现今，广义逆矩阵在数据分析、信号处理、系统理论、网络理论、现代控制理论等喜多领域中有着重要的作用,如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面1.3 毕业论文主要内容通过学习和总结，主要分析并完成以下内容： 1阅读有关矩阵运算和分解的参考资料2了解不同广义逆的概念、性质、种类以及在工程中的应用 3给出4种以上求广义逆的计算方法及其比较4了解约束逆、加权逆、群逆的概念5对的迭代方法给出算法设计第二章 逆矩阵2.1 常义逆矩阵定义2-1 对于阶方矩阵,如果有一个阶方矩阵，使 , 则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵1,9定理2-1 如果矩阵是可逆的，那么的矩阵是惟一的证明：设都是的逆阵，则有 所以的逆阵是唯一的的逆阵记作即若，则= 定理 2-2 若矩阵可逆，则 定理 2-3 若，则矩阵可逆，且 ， 其中为矩阵的伴随阵当=0时，称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵由上面两定理可知：是可逆矩阵的充分必要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵10推论 若，则方阵的逆阵满足下述运算规律：1）若可逆，则亦可逆，且2）若可逆，且，则可逆，且3）若，为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且例2-1 求二阶矩阵的逆阵解： ，利用逆阵公式，当时，有 2.2 广义逆矩阵逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义，但是在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即便是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑，将常义逆推广广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组 当是阶方阵，且时，则方程组的解存在，并可写成 但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵（一般），显然不存在常义的逆矩阵，这就促使人们去思考能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵，使得其解仍可以表示为类似于的形式？即 所以为了能解决更多的实际问题，我们提出了广义逆矩阵的概念并讨论它的性质和算法本重着重介绍广义逆的概念，将使用和14相同的符号定义2-2 设矩阵，若矩阵满足如下四个方程 的某几个或全部，则称为的广义逆矩阵；我们用表示方程的解集，这里，且任一称为的逆特别地，称满足全部四个方程的矩阵为逆，即为2,3,4推论 若为非奇异矩阵，则，即常义逆验证常义逆满足四个方程证明：若令为的常义逆，即，1 将其代入方程的左边，则有 ，即有，所以常义逆满足方程2 将其代入方程的左边，则有，即有，所以常义逆满足方程3 将其代入方程的左边，则有，即有所以常义逆满足方程4 将其代入方程的左边，则有，即有，所以常义逆满足方程综上，当是非奇异矩阵，即存在，则常义逆是满足4个方程的所以若非奇异，则由定义知，广义逆矩阵有个不同的类型在所有不同的广义逆矩阵中，只有是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又包含着一类矩阵，如下：1：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或逆，记为；2：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为；3：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为；4：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为；5：唯一，称作加号逆，或伪逆，或逆，记为关于几种广义逆的性质及计算将在第四章详细讨论2.3 常义逆与广义逆的异同相同点：1. 当为非奇异矩阵，则，即常义逆此时的满足公式中的全部方程2. 常义逆与广义逆中的伪逆有具有相同的几个性质： (1) (2)； (3) (4) 3. 常义逆与广义逆都还可以采用行列初等变换来计算 不同点：1. 常义逆是只针对非奇异矩阵而言才有意义，所以在实际问题中有很多矩阵是不存在常义逆的；而广义逆矩阵是针对更一般的长方形矩阵都存在逆矩阵2. 常义逆只能用于计算部分相容方程组；而广义逆矩阵还可以用于计算不相容的方程组（即矛盾方程组）3. 常义逆是固定的只有一种；而广义逆有很多种2.4 其他广义逆随着广义逆研究的深入，人们又发现了许多其他类型的广义逆，如加权逆、约束逆以及群逆等3,5,6一、加权逆定义2-3 设若满足（1） ；（2） ；（3） ； （4） 则称为的加权逆，记为注：若满足方程中的第个，第个方程，那么称为的加权，逆矩阵，记作，所有的记作引理2-1 若关于和的加权广义逆存在，则、均为对称矩阵证明：由于 所以对称同理可得也对称引理2-2 若存在（即关于和的加权广义逆存在），则必唯一，且可表示为 ，其中均可任取指满足的广义逆二、约束逆定义2-4 设，是的子空间考虑约束方程组 ， 定理2-4 约束方程组相容的充要条件是 其中是的S-约束Moore-Penrose逆其通解为三、群逆定义2-5 设，若满足 则称为的逆，记为其中称为的指标，是指满足 特别地，当时，则称为的群逆，记为第三章 矩阵的范数与分解3.1 矩阵的范数维向量范数可以推广到矩阵上去，一个矩阵可看作维向量空间中的一个向量定义3-1（矩阵范数） 矩阵的某个非负实值函数，若对任意的矩阵，满足下述条件：1 正定性：，且;2 齐次性：；3 三角不等式： 4 次乘性：则称 是上的一个矩阵范数（模）3,7,8定义实值函数如下： 显然满足定义3-1，所以是上的一个矩阵范数，称其为的范数由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种与向量范数相关矩阵的范数，且满足范数相容条件，即对任何向量及都有，为此我们再引进一种矩阵的范数矩阵的算子范数定义3-2 设，且有一向量范数相应的定义一个矩阵的非负函数： 可验证满足定义3-1，所以称为矩阵的关于向量范数的算子范数或诱导范数定理3-1 设为上的向量范数，则是上一个矩阵范数且满足相容条件：1 2 证明：验证矩阵范数定义3-1中条件（4），由可知 当时，有 ，故 定理3-2 （矩阵范数公式），则1 的行范数：；2 的列范数：；3 的“2”范数或的谱范数：其中为的最大特征值【注意】1 矩阵的算子范数是矩阵范数，矩阵范数并不一定是算子范数如：弗罗贝尔乌斯范数不是诱导范数，因为单位矩阵的任何诱导函数都是， 而 2 并不是所有矩阵范数都满足相容性是矩阵范数，但不满足相容性如：， 此范数也不是诱导范数3 以后讨论线性方程组时用到的范数都是诱导范数，均是相容的，且与它相应的向量范数也是相容的定义3-5 设的特征值为，称 为的谱半径 定理3-3（特征值上界） 设，则，即的谱半径不超过的任何一个范数定理3-4 如果为对称矩阵，则3.2 矩阵的满秩分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和奇异值分解等本节主要介绍满秩分解，为广义逆的计算作准备3.2.1 满秩分解将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解在所有广义逆的直接计算方法中，几乎都要进行满秩分解，如分解等等但在计算某些广义逆时，分解将带来大量非必要的计算，因而有必要对满秩分解的方法进行简化，为此，我们首先用构造性方法证明下述定理定义3-6 设是秩为()的复矩阵，若存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得 则称式为矩阵的满秩分解当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解7,8定理3-5 设为任一秩为的矩阵，则必有满秩分解，其中为列满秩的，为行满秩的定理3-6 设复矩阵的秩为，则有满秩分解但是，矩阵的满秩分解不唯一这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有定理3-7 任何非零矩阵都存在满秩分解3.2.2 满秩分解的方法设为矩阵，通过行初等变换，可以将矩阵简化为行阶梯形矩阵，根据列向量组的性质，行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系定义3-7 设，且满足：1 的前行中每一行至少含一个非零元素，且第一个非零元素是1，而后行元素为零；2 若中第行的第一个非零元素1在第列，则；3 中的列为单位矩阵的前列那么就称为Hermite标准形即有 任意非零矩阵可通过初等行变换化为Hermite标准形，且的前行线性无关定理3-8（满秩分解定理） 设，且的Hermite标准形为则取的第列（单位向量的列）构成矩阵，取的前非零行构成矩阵，则即为的满秩分解满秩分解的步骤：1 求矩阵的Hermite标准形；2 取的前个非零行为矩阵；3 取的对应于的个单位向量的列为矩阵，则例3-2 求矩阵的满秩分解解：先求出矩阵的Hermite标准形，的第1列与第2列构成的前两列，所以矩阵为的第1列与第2列构成的矩阵，为的前2行构成的矩阵，即 ，所以 此处介绍的满秩分解在之后广义逆矩阵的计算中有很大的用处第四章 广义逆矩阵的计算在上节中我们提到广义逆矩阵共有15种，其中应用最多的是 分别是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆和加号逆（又称伪逆或Moore-Penrose逆）4.1 减号逆（即）一、最大秩矩阵的右逆和左逆7定义4-1 设，若有，使得或，则称为的右逆（左逆），记作（）1 设是行最大秩（行满秩）的实矩阵（），则必存在的右逆，且 2 设是列最大秩（列满秩）的实矩阵（），则必存在的左逆，且 证明：因为是行（或列）满秩矩阵，所以（或）为满秩矩阵，因此 或因此 或需要指出，对于行（或列）满秩的矩阵来说，右逆不是唯一的，上面给出的右（左）逆只是其中的一个，下面给出右逆和左逆的一般表达式对于行满秩的矩阵，总有许多满足于等式 =的阶满秩方阵存在，这是的右逆一般表达式为 同理，列满秩的矩阵的左逆一般表达式为 其中，满足=的任意阶满秩方阵当为列（行）满秩时，可由公式求出右（左）逆，它们均为待定的当为亏矩阵时，=设为矩阵的满秩分解，则的广义逆矩阵的一般形式为 二、减号逆定义4-2 设有实矩阵(，当时，可讨论)，若有一个实矩阵存在，使下式成立，则称为的减号逆或逆（即）； 当存在时，显然满足上式，可见减号逆是普通逆矩阵的推广；另外，由得 即 可见，当为的一个减号逆时，就是的一个减号逆例4-1 ，容易得到 故与均为的减号逆例4-2 若，则，其中是任意的实数证明：因为对任意的，都有 =所以反之，任意的，若满足 必须有，即为的形状 例4-2表明，标准形的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到的位置，就是一个减号逆，填不同数，就得到不同减号逆定理4-1（存在性） 任给矩阵，那么减号逆一定存在，但不唯一12证明：（1）如果，即=，这时对任意的，都有，所以任意矩阵都是零矩阵的减号逆 （2）如果，那么存在阶满秩矩阵与阶满秩矩阵，使得 由例4-2知，存在 ，*为任意实数再由引理知，存在 只要非满秩，由于*的任意性，所以非唯一引理 设，其中，都是满秩方阵，如果已知的减号逆为，则矩阵的减号逆 证明：因为已知是的减号逆，所以有 由于与非奇异，故有 从而有 这个引理说明，两个等价的矩阵，(即满足)，如果其中一个的减号逆可求出来，那么，另一个的减号逆也可以求出来4.2 自反广义逆（即） 众所周知，对于普通的逆矩阵，有，但是，这一事实对于减号逆一般不成立例如由例4-1 ，但 即，为了使与能互为减号逆，我们不妨对前面定义的减号逆加以限制，使具有这种“自反”的性质下面给出自反广义逆矩阵的定义定义4-3 对于一个实矩阵，使 及 ，同时成立的阶实矩阵，称为是的一个自反广义逆，用表示，即有 及 显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，此时，它满足自反性质定理4-2 设为矩阵的最大秩分解，则的自反广义逆的一般形式为 其中为的左逆，为的右逆74.3 最小范数广义逆（即）定义4-4 设，如果有一个阶矩阵，满足 及 则称为的一个最小范数广义逆，记为12,13显然，最小范数广义逆是用条件对减号逆进行限制后所得出的一个子集定理4-3 设，则 为的一个最小范数广义逆证明：因是一个减号逆，故有 设=，则按满秩分解有，以代入上式，便得 即 用右乘上式两端，得 即 故满足最小范数广义逆的第一个条件：其次它也满足第二个条件，因为有 故为的一个最小范数广义逆因为减号逆不是唯一的，所以最小范数广义逆也不是唯一的，实际上，给出了计算的一种方法定理4-4 条件及与下面关系式等价 事实上，对式两端右乘，得 即 对两端取转置，得 可见有 代入式得 即有 反之，我们可以由式中第一个条件的左边的，得 4.4 最小二乘广义逆（即）定义4-5 设，如果有一个阶矩阵，满足 及 则称为的一个最小二乘广义逆，记为显然，最小二乘广义逆也是减号逆的一个子集定理4-5 设，则 是的一个最小二乘广义逆证明：是一个减号逆，故有 设=，则按秩分解有，以代入上式，便得 即 用左乘上式两端，得 即 或写成 故满足最小二乘广义逆因为减号逆不是唯一的，故最小二乘广义逆也不是唯一的实际上，式给出了计算的一种方法4.5 加号逆（即）在前面对减号逆加以不同的限制，得出减号逆的具有不同性质的子集，如自反广义逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆等，其实，还有一类更重要的广义逆，就是即将介绍的加号逆，它的实质是在减号逆的条件的基础上用上述所有条件同时加以限制（即满足条件的四个方程），用这样的方式得出的子集，在应用上特别重要，而且有很多性质广义逆矩阵的概念最早由引进，他给出了矩阵广义逆的如下定义给定，若满足 ， ，则称为的广义逆矩阵，记为，其中分别是和上的正交投影算子3利用下面四个矩阵方程给出了广义逆的另一个定义定义4-6 设，若存在阶矩阵，它同时满足（1） （2）；（3） （4） 则称为的加号逆，或伪逆，或逆，记为从定义4-6中可看出，加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小广义逆在四个条件中，与完全处于对称地位因此也是的加号逆，即有 另外可见，加号逆很类似于通常的逆阵，因为通常的逆也有下列四个类似的性质：（1） （2）； （3） （4） 由定义4-6中的条件（3）和（4）还可看出，与都是对称矩阵加号逆是存在并唯一的加号逆具有以下性质：3,7,13,15性质1：性质2：若，则 其中如下定义，对于实数（矩阵）， 性质3：与均为幂等矩阵，即 性质4：以下等式成立 （1）， （2） （3） （4）性质5：有关的问题（1） 为实数，则（2）若是的满秩因子分解式，则16,17（3）对任何矩阵，都有 【注意】一般情况来说，例4-3 已知及其满秩因子分解式为 ， 则可得到 而 可见由以上一些性质可见，一般矩阵的广义逆与非奇异矩阵的逆有很多相似的性质，也有一些不同点例4-41 设，则；2 设是阶方阵，则；3 设对角阵，其中比如，等等证明：我们证明3，为了不失一般性，我们令；，容易验证满足定义中的四个条件，从而定理4-6 对任何实矩阵，它的广义逆矩阵存在且唯一证明：存在性：当时，取，即知满足四个方程而当秩时，由矩阵的满秩分解定理可知 其中列满秩，行满秩与均存在且均对称，令 则为矩阵，并且可直接代入验证，它满足四个方程唯一性：设另有矩阵，也满足四个方程，下面证明以下把满足的4个方程记为，而把满足的4个方程记为，于是12因此，推论 若为列满秩的矩阵（）时，则 （但一般不成立） 而当的行满秩的（）时，则 （但一般不成立） 例4-5 求的广义逆，其中 解： 所以 ， 其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵；所以 因此根据公式有 而 ， 可见，与均对称，满足方程的（3）和（4）进一步可验证与，但例4-6 求的广义逆，其中 解：行满秩，所以 =而， 可见是的一个“右逆”，但另外，若令 其中为任意实数，可验证，所以行满秩的矩阵有无穷多个“右逆” 第五章 广义逆矩阵的应用随着广义逆矩阵迅速的发展，它在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等领域有重要的应用，如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面都有重要的应用，因而大大推动了广义逆矩阵的研究，使其得到迅速的发展，成为矩阵的一个重要分支本章将着重介绍广义逆矩阵在线性方程组的计算上的应用5.1 线性方程组的求解问题为了解决广义逆在工程上的应用的问题，我们也务必要先解决矛盾方程组的求解的问题考虑非齐次线性方程组20 其中给定，而为待定向量定义5-1 若，则方程组有解，或称方程组相容；定义5-2 若，则方程组无解，或称方程组不相容或为矛盾方程组关于齐次线性方程组的求解问题如下定理5-1 设是矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是，亦即的列向量线性相关定理5-2 设是阶方阵，有非零解的充要条件是定理5-3 设是阶方阵，有非零解的充分条件是（即方程个数未知个数）关于非齐次线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形：1,9定理5-4 设是矩阵，方程组，则（1） 有唯一解 （2） 有无穷多解 （3） 无解 不能由的列向量线性表出1 在相容时，若系数矩阵，且非奇异（即），则有唯一的解 但当是奇异方阵或长方矩阵时，它的解不是唯一的，此时不存在或无意义，那么我们自然想到，是否能用某个矩阵把一般解（无穷多）表示成 的形式呢？回答是肯定的，我们将会法系按的减号逆充当这一角色2 如果方程组相容，且其解有无穷多个，怎样求具有极小范数的解，即 其中是欧氏范数可以证明，满足该条件的解释唯一的，称之为极小范数解3 如果方程组不相容，即线性方程组是一个矛盾方程组，则不存在通常意义下的解，但在很多实际问题中，要求出这样的解 其中是欧氏范数我们称这个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的称为矛盾方程组的最小二乘解4 一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有极小范数解 是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解广义逆矩阵与线性方程组的求解有着极为密切的联系，利用前一节的减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解 5.2 相容方程组的通解与对于一个阶相容的线性方程组，不论系数矩阵是方阵还是长方矩阵，是满秩的还是降秩的，我们都有一个求解方法，并且能把它的解表达成非常简洁的形式定理5-5 如果线性方程组是相容的，是的任一个减号逆，则线性方程组的一个特解可表示成 定义5-3 如果元线性方程组有解，设是相应齐次方程组的基础解系，是的某个已知解，则是的通解（或全部解），其中为任意常数通解也可以表示成 其中是与同维的任意向量证明：因为相容，所以必有一个维向量，使 成立，又是的一个减号逆，所以，则有，亦即，由此得出是方程组的一个特解其次，在式两端左乘，则有由于，所以式确定的是方程组的解，且当为任意一个解时，若令，有 从而得 这表明由式确定的解是方程组的通解例5-1 求解 解：将方程组写成矩阵形式其中 ， 由于=2，所以方程组是相容的，现在只要求得的一个减号逆就可以了矩阵的一个减号逆（右逆）为 利用公式，求得通解为： 也即 其中 为任意向量从上面例题可以看出，用减号逆来表示相容方程组的通解是很方便的，这是线性方程组理论的一个重大发展但是，如何在方程组的解为无穷多的时候求出一个最逼近的解向量？这便是下面要研究的极小范数解5.3 相容方程组的极小范数解定义5-4 对于相容的线性方程组，如果存在有与无关的的某些特殊减号逆，和其他的解相比较，具有最小范数，即 其中是的解是范数，则我们称为极小范数，简记为LN解19,20现在要考虑相容方程组的极小范数解可以用什么样的广义逆表示？极小范数解是否唯一？定理5-6 在相容线性方程组的一切解中具有极小范数解的充要条件是 其中是的最小范数广义逆定理5-7 相容的线性方程组，具有唯一的极小范数解证明：设和是的两个不同的最小范数广义逆，由等价式应有 ， 所以 上式两边同时右乘以得 或 上式成立仅当才有可能，因此有 （为任意解向量）又由于，所以，这说明，不同的最小范数广义逆和，按求得的极小范数解却是唯一的例5-2 求方程组的最小范数解，其中 ，解：此矩阵是行满秩矩阵，因此是满秩方阵，它的广义逆为，所以作出一个最小范数广义逆： 而这正是行最大秩矩阵的右逆，的右逆为 根据公式，我们可求得方程组的极小范数解 又因为这个方程组的一般解为 如果令，代入上式可得一特解 分别对、式的，求其范数； 与 显然中的范数比式中的范数小5.4 不相容方程组的最小二乘解与线性方程组理论告诉我们：不相容的线性方程组是没有解的但是，有了广义逆矩阵，我们就可以研究这类方程组的最优近似解的问题定义5-5 对于不相容的线性方程组，如果有 则称是方程组的最小二乘解，这是因为和任何其他近似解相比较，所导致的误差平方和是最小的定理5-8 不相容方程组有最小二乘解的充要条件是 其中是的最小二乘广义逆 证明：必要性：设是一矩阵，如果是不相容方程组的最小二乘解，于是有 上式右边可以写成 其中，因此上述不等式可改写为 上式不等式成立的充要条件是 而上式等于零的充要条件是，也即 式两边同时乘以，得，所以有；另外，在式两边同时乘以，得或，两边取转置，并比较等式两边可得 由最小二乘广义逆的定义知：，这说明不相容方程组的最小二乘解的形式是，定理必要性得证注意：矛盾方程组（不相容方程组）的最小二乘解导致的误差平方和（即在最小二乘意义下）是唯一的，但是，最小二乘解可以不唯一设是一个最小二乘解，则矛盾方程组的最小二乘解的一般表达式为 其中是任意向量下面证明是最小二乘解事实上，因为是最小二乘解，所以最小，