高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_6抛物线课件理北师大版

9.6 抛物线,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 的点的集合叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ，直线l叫作抛物线的 .,知识梳理,相等,准线,焦点,2.抛物线的标准方程与几何性质,(3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ),(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ),1.(2016四川)抛物线y24x的焦点坐标是 A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0),考点自测,答案,解析,对于y24x，焦点坐标为(1,0).,2.(2016张掖一诊)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于 A.9 B.8 C.7 D.6,答案,解析,抛物线y24x的焦点为F(1,0)， 准线方程为x1. 根据题意，可得|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.,3.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是,答案,解析,Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1.,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,y28x或x2y,设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,答案,解析,圆x2y26x70，即(x3)2y216， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，,5.(2017合肥月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.,答案,解析,2,题型分类 深度剖析,例1 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_.,题型一 抛物线的定义及应用,答 案,解析,4,如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4. 即|PB|PF|的最小值为4.,引申探究,1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. |PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为F(1,0). 点P到y轴的距离d1|PF|1， 所以d1d2d2|PF|1.,思维升华,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,跟踪训练1 (2016西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y28x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线xy100的距离是d2，则d1d2的最小值是,抛物线方程是y28x， 抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程是x2(如图)， d1d2的最小值是焦点F到直线xy100的距离，,答案,解析,题型二 抛物线的标准方程和几何性质,答案,解析,命题点1 求抛物线的标准方程,p8.故C2的方程为x216y.,命题点2 抛物线的几何性质,证明,则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.,证明,证明,(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,思维升华,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,答案,解析,A.2 B.4 C.6 D.8,不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，,点A(x0 ,2 )在抛物线y22px上，82px0， ,联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.,答案,解析,设|AF|a，|BF|b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P， 由抛物线的定义知，|AF|AQ|，|BF|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab. |AB|2a2b22abcos 120 a2b2ab(ab)2ab.,题型三 直线与抛物线的综合问题,例4 已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若 0，则k_.,命题点1 直线与抛物线的交点问题,2,答案,解析,抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2).,y1y2k2x1x22(x1x2)416.,(x12)(x22)(y12)(y22) x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80， 将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.,命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题,例5 (2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；,证明,记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. 由于F在线段AB上，故1ab0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，,所以ARFQ.,(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.,解答,设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，,设满足条件的AB的中点为E(x，y).,当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y2x1(x1).,思维升华,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,跟踪训练3 (2016北京东城区质检)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF| |PQ|. (1)求C的方程；,解答,解得p2(舍去)或p2. 所以C的方程为y24x.,(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.,解答,依题意知l与坐标轴不垂直， 故可设l的方程为xmy1(m0). 代入y24x，得y24my40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24. 故AB的中点为D(2m21,2m)，,设M(x3，y3)，N(x4，y4)，,由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE| |MN|，,化简得m210，解得m1或m1. 所求直线l的方程为xy10或xy10.,直线与圆锥曲线问题的求解策略,答题模板系列7,思维点拨,规范解答,答题模板,典例 (12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； (2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,消去y得mx22x20，,若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，,返回,存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.12分,解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2017昆明质检)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果 12，那么抛物线C的方程为 A.x28y B.x24y C.y28x D.y24x,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，,即抛物线C的方程为y28x.,2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A.x1 B.x1 C.x2 D.x2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016上饶四校联考)设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为 A.y24x或y28x B.y22x或y28x C.y24x或y216x D.y22x或y216x,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AFAM，,根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A， OAFAMF，,可得在RtAMF中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,C的方程为y24x或y216x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,A.4 B.4 C.p2 D.p2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若焦点弦ABx轴，,y1p，y2p，y1y2p2，,若焦点弦AB不垂直于x轴，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016江西南昌第一次模拟)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是线段PF与C的一个交点，若|FP|3|QF|，则|QF|等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，过点Q作QMl，设l与x轴交于点K， 由抛物线定义知，|MQ|QF|， 由PMQPKF， 得|MQ|：|KF|PQ|PF|23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,抛物线y24x的准线方程为x1， 如图，过P作PN垂直直线x1于N， 由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，,即PAN最小，即PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以(2k24)24k40， 解得k1，所以PAFNPA45，,7.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若 ，则p_.,答案,解析,2,如图， 由AB的斜率为 ，,M为AB的中点. 过点B作BP垂直准线l于点P， 则ABP60，BAP30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ,E的右焦点与抛物线C： y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.,答案,解析,6,可得a4，b216412.,抛物线y28x的焦点为(2,0)， 准线方程为x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,把x2代入椭圆方程，解得y3. 从而|AB|6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.,(2,4),答案,解析,两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2). 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条. 当k存在时，x1x2，,如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又y1y22y0，所以y0k2.,即y0k5x0，因此25x0，x03， 即M必在直线x3上.将x3代入y24x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因为点M在圆上，,所以4r216，即2r4.,11.(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9. (1)求该抛物线的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以p4，从而抛物线方程为y28x.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由于p4，则4x25pxp20， 即x25x40，从而x11，x24，,整理得(21)241， 解得0或2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.设P，Q是抛物线y22px(p0)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且 0. (1)求该抛物线的标准方程；,解答,设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,y1y24p2，,又|x1x2|4， 4p24，p1， 抛物线的标准