概率论与数理统计课程设计_.doc

沈阳理工的大学课程设计论文成 绩 评 定 表学生姓名孙康班级学号1309010224专 业信息与计算科学课程设计题目某种塑料绳的韧度与化学添加剂的线性回归分析评语组长签字：成绩日期 2015 年 6月5日课程设计任务书学 院理学院专 业信息与计算科学学生姓名孙康班级学号1309010224课程设计题目某种塑料绳的韧度与化学添加剂的线性回归分析课程设计目的：通过本课程设计，使学生进一步理解概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。基本掌握MATLAB、SAS、SPSS等任何一种具有统计分析功能软件的使用；具备初步的运用计算机完成数据处理的技能，使课堂知识得以在生活实践中应用。设计任务（二选一）：1、一元、多元线性回归模型：首先做样本数据的散点图；其次对回归参数做点估计及区间估计；三对回归系数、回归方程做显著性检验，并对拟合效果做拟合优度检验，利用残差图检验归回效果；最后利用回归方程做点预测和区间预测。2、单因素、双因素方差分析：首先对总体做正态分布检验和方差齐性检验；然后检验单因素或双因素对实验指标是否有显著影响，最后选择合适的方法进行多重比较。工作计划与进度安排：周一：选题；周二、周三：进行设计；周四：完成设计报告；周五；答辩。指导教师： 2015 年 6月5日专业负责人：2015年6月 日学院教学副院长：2015年6月 日摘要数理统计是具有广泛应用的数学分支，在生产过程和科学实验中，总会遇到多个变量，同一过程中的这些变量往往是相互依赖，相互制约的，也就是说他们之间存在相互关系，这种相互关系可以分为确定性关系和相关关系。变量之间的确定性关系和相关关系在一定条件下是可以相互转换的。本来具有函数关系的变量，当存在试验误差时，其函数关系往往以相关的形式表现出来相关关系虽然是不确定的，却是一种统计关系，在大量的观察下，往往会呈现出一定的规律性，这种函数称为回归函数或回归方程。回归分析是一种处理变量之间相关关系最常用的统计方法，用它可以寻找隐藏在随机后面的统计规律。确定回归方程，检验回归方程的可信度等是回归分析的主要内容。按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。本文利用概率纶与数理统计中的所学的回归分析知识，测量某种塑料绳的韧度与化学添加剂的关系建立数学模型，利用这些数据做出化学添加剂和塑料绳子韧度的线性回归方程，并MATLAB 软件对验数据进行分析处理，得出线性回归系数与拟合系数等数据，并用F检验法检验了方法的可行性，同时用分布参数置信区间和假设检验问题 ，得出了化学添加剂和绳子韧度的线性关系显著，并进行了深入研究，提出了小样本常用分布参数的置信区间与假设检验的解决方法。关键词：置信区间；假设检验；线性关系；回归分析目录1设计目的12设计问题13设计原理14方法实现65设计总结10参考文献11II一设计目的了解一元回归方程，回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法。同时更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。本设计是利用一元线性回归理论对某种塑料绳的韧度与化学添加剂的关系建立数学模型，并用matlab分析软件进行解算。2 设计问题 某塑料绳子与化学添加剂含量有关，研究人员在生产试验中收集了该塑料绳的韧度y与化学添加剂的含量x的数据如下表2.1。检测模型的可行度，检查数据中有无异常点。表2.1 塑料绳的韧度y与化学添加剂的含量x数据x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.23y40.141.542.145.045.547.549.055.050.055.055.560.5三设计原理在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。设其中有两个变量与，我们可以用一个确定函数关系式：大致的描述与之间的相关关系，函数称为关于的回归函数，方程称为关于的回归方程。一元线性回归处理的是两个变量与之间的线性关系，可以设想的值由两部分构成：一部分由自变量的线性影响所致，表示的线性函数 ；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为。可得一元线性回归模型 (1)式中，自变量是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b成为回归系数；称为响应变量或因变量。由于是随机误差，根据中心极限定理，通常假定，是未知参数。确定与之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程：大致描述变量与之间的关系；1)模型回归系数的估计为了估计回归系数，假定试验得到两个变量 与 的 个数据对我们将这对观测值代入式（1），得 这里互独立的随机变量，均服从正态分布，即 回归系数估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小二乘法，即要求选取的， 的值使得述随机误差 的平方和达到最小，即求使得函数 取得最小值的，。由于是，的二元函数，利用微积分中的函数存在极值的必要条件，分别对求，偏导数，并令其为0，构成二元一次方程组，化简后得到如下正规方程组 a解方程组得到总体参数估计量,这里， 均已有的观测数据。由此得到回归方程带入观测，得到值称为回归预测值。方程的直线称为回归直线。2)回归方程显著性检验建立一元线性回归方程当且仅当变量之间存在线性相关关系时才是有意义的，因此必须对变量之间的线性相关的显著性进行检验，即对建立的回归模型进行显著性检验。我们首先引入几个概念：（1） ，称为总偏差平方和，它表示观测值总的分散程度；（2） ，称为回归平方和，它是由回归变量的变化引起的，放映了回归变量对变量线性关系的密切程度；（3） ，称为残差（剩余）平方和，它是由观测误差等其他因素起误差，它的值越小说明回归方程与原数据拟合越好。可以证明下列关系成立 即 =+ 我们主要考虑回归平方和在总偏差和中所占的比重，记。(0=R F（1,n-2）,则认为y与x之间的线性关系显著；如果F= F（1,n-2），则认为y与x之间的线性关系不显著，或者不存在线性关系，在实际应用中也可以通过F对应的概率P来说明y与x之间的线性相关性显著。3)回归系数的置信区间回归方程（1）的回归系统,是一个点估计值，给定置信水平1-后，可得到他们对应的置信区间，并且回归区间越短越好，如果摸个回归系数的置信区间包含0点，则说明该回归变量的影响不显著，需要进一步地修改回归方程，尽量是每个回归系数的置信区间都不包含0点。4)利用模型预测在对所建立的回归模型进行相关程度检验与分析之后，如果预测变量y与相关变量x的每一个给定值x，带入回归模型，就可以求得一个相对应的回归预测值,称为模型的点估计值。四方法实现（1）输入数据，并输入作散点图命令：y=42.0 41.5 40.1 45.5 45.0 47.5 49.0 49.5 50.0 55.0 55.5 60.5;x=0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23;plot(x,y,+);n=length(y);X=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,s=regress(y,X);b,bint,s运行结果：b = 25.0168 150.7361bint = 19.6522 30.3814 117.8538 183.6184s = 0.9125 104.3263 0.0000 4.0437整理结果如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间a25.016819.6522，30.3814b150.7361111.8538,183.6184 =0.9125 F=104.3263 P=0.0000 t1=29.45023-norminv(0.0975,0,1)*sqrt(sum(r.2)/16)t1 =30.0742 t2=29.45023+norminv(0.0975,0,1)*sqrt(sum(r.2)/16)t2 = 19.0520即碳含量为0.13时测试中，刀具厚度的置信度为0.95的预测区间为。也可以用命令： y=42.0 41.5 40.1 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5;x=0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23; polytool(x,y,1,0.05)作出散点图及拟合曲线，并对时的y进行预报，结果如图 3 所示。图 2 散点图及拟合曲线 如图3所示，红线表示为数据离合区间，蓝色“+”表示为数据散点分布，绿色表示为拟合曲线。五设计总结通过对概率论与数理统计的这道实际问题的解决，不仅使我更加深刻的理解了概率论与数理统计的基础知识，而且使我对这些知识在实际中的应用产生了浓厚的兴趣，同时对我学习好概率论与数理统计这门课有很大帮助。在实现这道题的过程中