中考数学第二部分题型研究题型八二次函数综合题课件

题型八 二次函数综合题,类型一 与线段、周长有关的问题,类型二 与面积有关的问题,类型三 与特殊三角形有关的问题,类型四 与特殊四边形有关的问题,类型一 与线段、周长有关的问题,典例精讲,例 1 如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y x2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l. (1)求抛物线的解析式 及顶点D的坐标；,【思维教练】已知直线y x2经过点A、C，结合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1，0)，代入即可求出抛物线解析式，将抛物线解析式配方成顶点式，即可求得顶点D的坐标,解：(1)对于直线 y x2，令y0，得x4， 令x0得y2， 点A(4，0)，点C(0，2)， 已知点B(1，0)，将A、B、C三点的坐标代入抛物 线的解析式得： 解得,抛物线的解析式为y x2 x2. 又由抛物线y x2 x2得： y (x25x)2 (x )2 ， 抛物线顶点D的坐标为( ， ),(2)设点E为x轴上一点，且AECE，求点E的坐标；,【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为(e，0)，要求点E的坐标，已知AECE，需先分别用含e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标(1)中已求得，则EA4e，由题图可知O、E、C三点可构成RtCOE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示出CE的长，建立方程求解即可,(3)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GDGB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；,【思维教练】要求GDGB的值最小，解决方法为找其中一点的对称点，将两条线段转化成一条线段求解，即先找点B关于y轴的对称点B，再连接BD，则BD与y轴的交点即为所求的G点，可先求直线BD的解析式，再求其与y轴的交点即可,直线BD的解析式为y x ， 令x0，得y ， 点G的坐标为(0， ),(4)在直线l上是否存在一点F，使得BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；,【思维教练】因为BC的长为定值，要使BCF的周长最小，即要使CFBF的值最小，由点A，B关于直线l对称，可知AC与l的交点即为点F，即可得CFBF最小,根据抛物线解析式可得对称轴l为直线 x . 将x 代入直线 y x2， 得 ， 点F的坐标为( ， ) 在RtAOC中，AO4，OC2，根据勾股定理得 AC2 ， BCF周长的最小值为BCAC .,(5)在y轴上是否存在一点S，使得SDSB的值最大，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；,【思维教练】要使SDSB的值最大，则需分两种情况讨论：S、B、D三点不共线时构成三角形，由三角形三边关系得到SDSBBD；当三点共线时，有SDSBBD.从而得到当点S在DB的延长线上时满足条件，求出直线BD的解析式后，求出直线BD与y轴的交点坐标即可,B(1，0)，D( ， )， 易得直线BD的解析式为y x ， 当x0时，y ， 即当点S的坐标为(0， )时，SDSB的值最大,(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HKd. 求d关于h的函数关系式； 求d的最大值及此时H点的坐标,【思维教练】由题可得点H的横坐标为h，分别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，表示出HK，可得到d关于h的函数关系式；利用二次函数的性质求最值，即可得d的最大值,由 可知， 当h2时，d最大， 024，符合题意， 当h2时，d最大，最大值为2，此时点H的坐标为(2，1),线段、周长最值问题有两种形式： 1平行于坐标轴的线段的最值问题，常常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式， 然后运用二次函数性质求最值解决这类问题的关键是：(1)确定线段的函数关系式，注意当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；(2)确定函数最值，注意函数自变量取值范围要确定正确；,2“将军饮马”型问题或其变形问题，这类问题一般是已知两个定点和一条定直线，然后在定直线上确定一点，使得这个点到两定点距离和最小其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等；这类问题的解决方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点，然后通过求直线解析式及直线交点坐标，计算最小值或点坐标,类型二 与面积有关的问题,典例精讲,例 1 如图，在直角坐标系中，直线yx3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB4，抛物线yax2bxc经过点A，B，C. (1)求抛物线的解析式,【思维教练】要求抛物线的解析式，需知过抛物线的三点A、B、C的坐标，利用直线yx3求得A、C两点的坐标，结合已知的AB4，求得B点坐标，代入求解即可,(2)求ABC的面积 【思维教练】要求ABC的面积，需知ABC的一条边的长度和这条边上高的长度，由于ABC的边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐标，代入三角形的面积公式计算即可,解：点C坐标为(0，3)， OC3. SABC |AB|OC| 436.,(3)点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q，使得QAE的面积与CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标,【思维教练】QAE与CBE的底边AEBE，要使两三角形面积相等，只要高相等，因为CBE底边BE上的高为3，所以点Q的纵坐标为3和3时，满足条件，分别代入抛物线解析式求解即可,解：Q点的坐标为(2，3)或(0，3)或(1 ， 3)或(1 ，3),【解法提示】如解图，依题意， AEBE， 当QAE的边AE上的高为3时， QAE的面积与CBE的面积相等 当y3时，x22x33， 解得x12，x20， 点Q的坐标为(2，3)或(0，3),例2题解图,当y3时，x22x33，解得x1 ， 点Q的坐标为(1 ，3)或(1 ，3) 综上所述，点Q的坐标为(2，3)或(0，3)或(1 ，3)或(1 ，3),(4)在(3)的条件下，连接AD，CD，求四边形AOCD和ACD的面积.,【思维教练】要求四边形AOCD和ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利用S四边形AOCDSAODSCOD计算由于ACD的底与高不容易计算，所以可利用SACDS四边形AOCDSAOC计算,(5)在(3)的条件下，在直线AC上方的抛物线上，存在一点P(不与D重合)，使ACD的面积等于ACP的面积请求出点P的坐标,【思维教练】要求点P的坐标，先确定点P的位置，由于ACD与ACP的底AC相等，则只要等高，面积即相等，可过点D作AC的平行线与抛物线相交，交点即为所求点，即可求得点P坐标,解：如解图，过点D作直线DPAC，交抛物线于点P，连接AP，PC，BD，则SACDSACP . DPAC，且直线AC的解析式为yx3， 可设直线DP的解析式为yxn， 把点D(1，4)代入， 得1n4， n5， DP的解析式为yx5.,例2题解图,DP的解析式为yx5. 联立得 解得 D(1，4)，点P不与点D重合， 点P的坐标为(2，3),(6)在直线AC上方的抛物线上，是否存在一点M，使MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,【思维教练】要使MAC面积最大，可先把MAC的面积用含字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得M点坐标,MNx22x3(x3)x23x， SMACSAMNSCMN MN3 (x23x) (x )2 ， 0，3 x 0， 当x 时，SMAC的最大值为 . 当x 时， ， 点M的坐标为( ， ),1.解决二次函数与三角形面积最值综合题，常见方法有： (1)若三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，首先计算这条边的两个顶点的坐标；然后利用坐标的差表示这条边的长(若平行于x轴，用右边的点的横坐标减去左边点的横坐标可得边长；若平行于y轴，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标可得边长)；再确定另一顶点到这条边的距离，一般是另一点的横(纵)坐标与已知边的点的横(纵)坐标的差；然后运用三角形面积公式计算,(2)若三角形的边都不与坐标轴平行，解决问题的一般步骤为： 根据三角形两定点确定这条边所在直线的解析式； 过动点作坐标轴的平行线，与这条直线交于一点； 分别用抛物线及直线的解析式表示出这两个点的坐标，并表示它们之间的距离； 以所求距离为底边，以两定点的坐标差的绝对值为高，列出三角形面积的函数关系式； 根据二次函数的性质确定最值、对应的点坐标 2. 对于二次函数与四边形面积的综合题，常常会将其转化为三角形面积进行计算,(7)点H是抛物线第二象限内一点，作HGx轴，试确定H点的位置，使HGA的面积被直线AC分为相等的两部分,【思维教练】设HG与AC相交于点I，HGA要被分成面积相等的两部分，由于高AG一样，只需HI与IG相等即可，可设H点坐标，分别表示出线段HI与IG，利用其相等列方程求解即可,解：如解图，设HG与AC相交于点I， H(x，x22x3)，则I(x，x3)， 则HIx22x3(x3) x23x，IGx3， 当HIIG时，AHI和AIG等 底同高则面积相等，即HGA的 面积被直线AC分为相等的两部分， x23xx3，整理得x24x30， 解得x11，x23(不合题意，舍去)， 点H的坐标为(1，4),例2题解图,(8)点H是抛物线第二象限内一点，作HGx轴，试确定H点的位置，使HGA的面积被直线AC分为12的两部分,【思维教练】同上，利用HI与IG为12或21关系列方程求解即可,解：如解图，由(7)可知，可分两种情况讨论： 若H1I12I1G1，则有x23x2(x3)， 整理得x25x60， 解得x12， x23(不合题意，舍去)， H1(2，3),例2题解图,若2H2I2I2G2， 则有2(x23x)x3， 整理得2x27x30， 解得x1 ，x23(不合题意，舍去)， H2( ， ) 综上所述，点H的坐标为H1(2，3)或H2( ， ),与图形面积数量关系有关的问题 1如果是面积的倍数关系，一般需要用等积变形来解决，即过三角形的一个顶点作它对边的平行线或是从图形中寻找出这样的直线，利用等底同高来进行等积变形，从而实现三角形顶点的转移； 2如果过某个顶点的线段平分三角形的面积，则该线段一定过该顶点对边的中点,(9)在对称轴左侧的抛物线上，是否存在点R，使得 SRBC ？若存在，求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由,【思维教练】先假设存在点R，使得SRBC .过点R作BC的垂线交BC于点K，可得 BCRK ，此时点R，K坐标不容易计算可考虑作RHy轴与BC的延长线相交于点F，利用RKF与BOC相似，得到RFOBBCRK9，设出R点坐标利用此关系式列方程求解, BCRK BORF ， RF9. 由B(1，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式 为 y3x3， 设R(x，x22x3)，则F(x，3x3) RF3x3(x22x3)x2x. x2x9，,解得x1 ， x2 (不合题意，舍去) R( ， ) 存在点R，使SRBC ，点R的坐标为 ( ， ),类型三 与特殊三角形有关的问题,典例精讲,例 3 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，直线BC的解析式为ykx3，抛物线的顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F. (1)求抛物线解析式及点D、E的坐标；,【思维教练】要求抛物线的解析式，根据题目需知经过抛物线上的三点A，B，C的坐标，由直线BC解析式得到点C的坐标，结合题干，抛物线与x轴交于点A，B，故设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)将点C的坐标代入，即可求解,解：直线BC的解析式为ykx3，令x0， 得y3，点C的坐标为(0，3)， 设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，将C(0，3)代入，得3a3，解得a1， 抛物线的解析式为yx22x3， 转化为顶点式为y(x1)24，,抛物线的顶点D的坐标为(1，4)，对称轴为x1， 将点B(3，0)代入直线ykx3，得03k3， 解得：k1， 直线BC的解析式为yx3， 令x1，得y2， 点E的坐标为(1，2),(2)判断CAF的形状，并说明理由；,【思维教练】先确定点F的坐标，得到OFOA，再由CO垂直平分AF即可得出结论,解：CAF是等腰三角形理由如下： 抛物线的对称轴为x1， 点F的坐标为(1，0)， AOOF1，即O为AF的中点， COAF， CO是线段AF的垂直平分线， CACF， CAF是等腰三角形,(3)x轴上是否存在点G，使得ACG是以AC为底边的等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；,【思维教练】由ACG是以AC为底边的等腰三角形可考虑作AC的垂直平分线，与x轴交点为G，设出点G的坐标，然后表示出AG、OG、OC和CG.列关系式即可求解,【思维教练】由(1)知抛物线解析式，对称轴及顶点D的坐标，过点P作PHDQ于点H，设出H点坐标，由等边三角形的性质可得PH DH，可得H点坐标，从而求得点P的坐标，由抛物线的对称性可知点P在对称轴两侧各有一点，求得符合条件的另一点P的坐标即可,解得：t1 , t21(舍)， 此时点P的坐标为( ， ). 当点P在DQ的左侧时，根据对称性可知，此时点P的坐标为( , ). 综上，存在点P使得PDQ是等边三角形，此时点P的坐标为( ， )或( ， ).,【思维教练】要使BCH是直角三角形，需从直角考虑，分HCB90，HBC90，CHB90三种情况讨论，借助三角形相似对应边成比例即可得出结论,综上所述，存在点H使得BCH是直角三角形，点H的坐标为H1(1，4)，H2(1，2)， H3(1， ），H4(1， ）.,【思维教练】要使PCQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质：有一个角为直角，一个锐角为45.结合CBOBCO45，从而考虑分三种情况： PCQ90，PQy轴； CPQ90，CPx轴； CQP90，CPx轴，分别讨论即可得出结果,类型四 与特殊四边形有关的问题,典例精讲,【思维教练】由A，B，C三点的坐标，设抛物线解析式为yax2bxc，将三点代入求解即可；将抛物线解析式转化为顶点式，可得顶点M的坐标和对称轴l；,解：(1)设抛物线解析式为yax2bxc， 将点A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)代入，得 解得 抛物线的解析式为 yx26x5. 将解析式化为顶点式得 y(x3)24， 顶点M的坐标为(3，4)，对称轴l为 直线 x3.,【思维教练】要判定四边形ABCC的形状，根据平移的性质，点A平移到点B的规律与点C平移到点C的规律一致，即可得到点C坐标，再由ABCC，ABCC判定四边形的形状；,【思维教练】以点A、B、C、C为顶点的四边形为平行四边形，已知线段AB和AC，可分两种情况讨论：(1)当线段AB为平行四边形的边时，可利用平移的性质：将线段AB沿AC平移，使点A与点C重合，将线段BC沿BA平移，使点B与点A重合；(2)当线段AB为平行四边形的对角线，AC为平行四边形的边时，利用平移的性质，将线段AC沿着CB边平移，使点C与点B重合，此时点C即为所求,【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线AC上的点，设出点K、J坐标，由KJME，从而只需KJME即可得到平行四边形，再根据点K、J坐标及其相对位置，求出点K坐标；,解：存在，理由如下： 如解图，设点K的坐标为(e，e26e5)， KJy轴，交AC于J，直线AC的解析式为yx5， 设点J的坐标为(e，e5) M(3，4)，E(3，2)，ME6. MEy 轴，KJy 轴，KJME， 要得到平行四边形，只需KJME6.,例4题解图,(i)当点K 在点J 的下方时， KJ(e5)(e26e5)e25e， 则e25e6，解得e12，e23， 则K1(2，3)，K2(3，4)(舍去)； (ii)当点K在点J的上方时， KJ(e26e5)(e5)e25e， 则e25e6，解得e36，e41，则K3(6，5)， K4(1，12)； 综上所述，满足条件的点K有3个，坐标分别为 (2，3)，(6，5)，(1，12),(5)设点N是抛物线上一点，点S是x轴