《几何基础》课程期末练习.doc

蚀螄羃膄螂蚇节膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚆袀罿膀莆蚃袅艿蒈衿膄芈薁蚁肀芈螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇羃肃芃葿螆罿莂薁羂袅莂蚄螅膃莁蒃薇腿莀薆袃肅荿蚈蚆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅蚂羈蒅莄袈袄蒄薆蚁节蒃虿羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅膆莅螅肁膅蒇羁羇膄蚀螄羃膄螂蚇节膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚆袀罿膀莆蚃袅艿蒈衿膄芈薁蚁肀芈螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇羃肃芃葿螆罿莂薁羂袅莂蚄螅膃莁蒃薇腿莀薆袃肅荿蚈蚆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅蚂羈蒅莄袈袄蒄薆蚁节蒃虿羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅膆莅螅肁膅蒇羁羇膄蚀螄羃膄螂蚇节膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚆袀罿膀莆蚃袅艿蒈衿膄芈薁蚁肀芈螃袇肆芇蒂螀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇羃肃芃葿螆罿莂薁羂袅莂蚄螅膃莁蒃薇腿莀薆袃肅荿蚈蚆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆蒆薂衿肂蒆蚅蚂羈蒅莄袈袄蒄薆蚁节蒃虿羆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅膆莅螅肁膅蒇羁羇膄蚀螄羃膄螂蚇节膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚆袀罿膀莆蚃袅艿蒈衿膄芈薁蚁肀芈螃袇肆 羃膄莀蚇衿膃蒂袃螅膂薅蚅肄节芄袁羀芁莆蚄袆芀葿衿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇芇蒃螀羃芆薅薃衿芆芅蝿螅莅莇薁肃莄蒀螇罿莃薂薀羅莂莂袅袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆莀虿蚆羂荿莈袂袈肅蒀蚅螄肄薃袀肂肄节蚃肈肃蒅羈羄肂薇螁袀肁虿薄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁膈薄螈袇膈芃薁螃膇莆螆膂膆薈蕿肇膅蚀袄羃膄莀蚇衿膃蒂袃螅膂薅蚅肄节芄袁羀芁莆蚄袆芀葿衿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇芇蒃螀羃芆薅薃衿芆芅蝿螅莅莇薁肃莄蒀螇罿莃薂薀羅莂莂袅袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆莀虿蚆羂荿莈袂袈肅蒀蚅螄肄薃袀肂肄节蚃肈肃蒅羈羄肂薇螁袀肁虿薄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁膈薄螈袇膈芃薁螃膇莆螆膂膆薈蕿肇膅蚀袄羃膄莀蚇衿膃蒂袃螅膂薅蚅肄节芄袁羀芁莆蚄袆芀葿衿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇芇蒃螀羃芆薅薃衿芆芅蝿螅莅莇薁肃莄蒀螇罿莃薂薀羅莂莂袅袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆莀虿蚆羂荿莈袂袈肅蒀蚅螄肄薃袀肂肄节蚃肈肃蒅羈羄肂薇螁袀肁虿薄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁膈薄螈袇膈芃薁螃膇莆螆膂膆薈蕿肇膅蚀袄羃膄莀蚇衿膃蒂袃螅膂薅蚅肄节芄袁羀芁莆蚄袆芀葿衿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇芇蒃 薄螅羀芈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚄袂袅蒁薀袁羇芄蒆袀聿蒀莂衿芁节螁衿羁膅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅羅羈膂蚄羄肀莇薀羃膂膀薆羃羂蒆蒂羂肄芈螀羁膇蒄蚆羀艿芇薂罿罿蒂蒈蚆肁芅莄蚅膃蒀蚃蚄袃芃虿蚃肅蕿薅蚂膇莂蒁蚁芀膄蝿蚀罿莀蚅蚀肂膃薁蝿膄莈蒇螈袄膁莃螇羆莆螂螆膈腿蚈螅芁蒅薄螅羀芈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚄袂袅蒁薀袁羇芄蒆袀聿蒀莂衿芁节螁衿羁膅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅羅羈膂蚄羄肀莇薀羃膂膀薆羃羂蒆蒂羂肄芈螀羁膇蒄蚆羀艿芇薂罿罿蒂蒈蚆肁芅莄蚅膃蒀蚃蚄袃芃虿蚃肅蕿薅蚂膇莂蒁蚁芀膄蝿蚀罿莀蚅蚀肂膃薁蝿膄莈蒇螈袄膁莃螇羆莆螂螆膈腿蚈螅芁蒅薄螅羀芈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚄袂袅蒁薀袁羇芄蒆袀聿蒀莂衿芁节螁衿羁膅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅羅羈膂蚄羄肀莇薀羃膂膀薆羃羂蒆蒂羂肄芈螀羁膇蒄蚆羀艿芇薂罿罿蒂蒈蚆肁芅莄蚅膃蒀蚃蚄袃芃虿蚃肅蕿薅蚂膇莂蒁蚁芀膄蝿蚀罿莀蚅蚀肂膃薁蝿膄莈蒇螈袄膁莃螇羆莆螂螆膈腿蚈螅芁蒅薄螅羀芈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚄袂袅蒁薀袁羇芄蒆袀聿蒀莂衿芁节螁衿羁膅蚇袈肃 几何基础课程期末练习 一、 选择与填空题1.非零向量与的内积，那么（ ）. A. 与平行 B. 与垂直 C与线性相关 D.无法判定 解 选B由定义1.4，所以，与垂直的充要条件是2若向量与线性相关，那么（ ）. A存在实数，使 B存在不全为0的实数，使 C与不平行 D与垂直解 选由向量的线性相关性定义即可得出3.设与是两个非零向量，则下列结论正确的是（）A B CD解 选因为，所以4平行射影保持如下哪种关系和量不变（）。A垂直关系 B平行关系C长度 D角度解 选因为平行射影是仿射对应，由定理，二直线的平行性是仿射不变性质5平行射影把（ ）.A.平行线投影为平行线 B.把平行线投影为相交线 C.保持线段的长度不变D.保持图形面积不变解 选因为平行射影是仿射对应，由定理，二直线的平行性是仿射不变性质6在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。A角度 B交比C 面积 D 长度解 选由定理，两个点列经过中心投影交比不变 7在中心射影下，（ ）.A.交比不变. B.平行线变成平行线. C.直角三角形变成直角三角形 D.平行四边形变成平行四边形.解 选由定理，两个点列经过中心投影交比不变8点列之间的射影对应是由（）A三对对应点唯一确定 B 两对对应点唯一确定C四对对应点唯一确定 D 无限对对应点唯一确定解 选因为已知两个一维图形的三对对应元素可以确定唯一一个射影对应 9仿射变换把正方形变成( ).A正方形 B矩形C平行四边形 D不能确定解 选由定理，两直线间的平行性是仿射不变性而角度不是仿射不变量10仿射对应下，哪些量不变。（）A长度B角度 C单比D 面积解 选由定理，共线三点的简比（单比）是仿射不变量11仿射对应是平行射影的充分必要条件为（ ）A象点与原象点的连线平行 B 象点与原象点的连线交于一点C 不可判定 D象点与原象点不平行解 选由平行射影的定义即可得出12在实轴上，三点坐标分别为，那么三点的单比为（ ）.A.B. C.D. 解 选由单比公式13线段AB的中点C与AB上哪一点调和共轭（）。AABBC AB上无穷远点DC解 选两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点 14.在射影平面上，两直线与的交点为（ ）.A. B.C.D.解 选取，代入得 ，将和代入得注意：齐次坐标不是唯一的15.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线（ ）. A.有一个交点B.没有交点C.有无数个交点D.无法判定解 选因为两条不平行的有穷远直线若交于有穷远点，两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点16.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.A.三角形与圆B.圆与椭圆C.四边形与正方形D.等腰三角形与直角三角形解 选因为在射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在 17 A、B、C、D为直线上的互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（AB，CD）（ ）A 大于零 B小于零C 等于零D 无穷大18方程表示的点为（）A（1，1，2）B （2，1，1）C（1，1，1）D （1，1，2）19. 直线上 A、B、C、D为互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（AB，CD）（ ）A 大于零 B 小于零C 等于零D不确定解 选由定义的公式即可得出20无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（）A半径B 直径 C 渐近线D 切线解 选由定义即可得出21若点在二次曲线上，那么它的极线一定是的（）A切线 B 直径C 半径D渐近线解 选由定理5.12即可得出22极线上的点与极点（）A共轭 B不共轭C可能不共轭D不可判定 解 选由极线与极点的定义即可得出23. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（）A一条二次曲线B 一条直线C一个点 D 两个点解 选由二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是一条二次曲线 24.在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线是（ ）. A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解 选由定义5.6即可得出 25.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（ ）. A.平行公理不同B.长度的算法不同 C.结合公理不同D.角度的算法不同解 选26三角形内角和等于180度（）A 与欧氏平行公设等价 B与罗氏平行公设等价 C与椭圆几何平行公设等价 D不可判定解 选 二、计算题1 已知向量，计算，的模长与夹角解 ，的模长分别为，的夹角余弦所以夹角为2 设通过与两点的直线被直线截于点，求单比解法求出点的坐标，利用过，两点的直线方程为即解方程组得直线与直线的交点，因为点位于点与点之间，所以，于是注意：两条有向线段相比时，同向为正，反向为负解法设，其中为分点，则将，代入直线方程得于是3 求点P1（3，1），P2（7，5）与P3（6，4），P4（9，7）的交比 分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明计算解法 解法2 将，写成齐次坐标，则，可以写作，于是，所以4 计算直线上无穷远点的齐次坐标解取，代入直线方程，得令，于是直线上无穷远点的齐次坐标为注意：直线上无穷远点的齐次坐标不是唯一的5 计算下列各点的非齐次坐标：A（2，4，1），B（0，4，3），C（0，1，1）解欧氏平面内点的笛氏坐标为，满足，的三元数组叫做点的齐次坐标，记为叫做点的非齐次坐标于是三点的非齐次坐标依次为，和欧氏平面上直线的方程为，求出该直线在齐次坐标下的方程.解由齐次坐标与非齐次坐标的关系：，代入直线方程，即，整理得求过点A（2，4， 6）与B（2，4，2）的直线方程，若与轴及轴的交点分别为C，D，求出交比 解 设过点A（2，4， 6）与B（2，4，2）的直线的方程为，于是令，则有解之得，于是直线的方程为与轴的交点C为（1，0，1），与轴的交点D为（0，1，1），AB CD四点的交比为8在射影平面上，求直线在射影变换： 下的象直线的方程解 把直线改写为由可得代入上面方程得=0所以，象直线的方程为求二次曲线在点处的切线方程.解将点代入二次曲线，因为 ，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为即为所求的切线方程求二次曲线在（1，2，1）点的切线方程解将点代入二次曲线，因为 ，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为即为所求的切线方程求二次曲线在（）点的切线方程解将点代入二次曲线，因为 ，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为即为所求的切线方程 求二次曲线与轴的交点，并求出过交点的切线方程解二次曲线与轴的交点由方程组确定，解之得（0，0，1），过该点的切线方程为化简后为，切线方程为求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程解两个线束可以写成即消去，得所以，即为所求的二次曲线 三、证明题证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点.证明 若三点形与的对应边与的交点，与的交点，与的交点共线，考虑三点形，由于与，交于，由笛沙格定理知，三组对应边的交点，O共线，于是，共线利用向量方法证明三角形三条中线交于一点证明在三角形（见第题图）中，取为坐标原点，并设a，b设，交于，为待定数注意ab，b(ab)，以及，于是a bab ab，整理得ab因为a，b线性无关，所以，解得这说明交点分为和，并且:若设与的交点为，由上面的证明可知，分为和，并且:，所以，是同一点于是三条中线交于一点，并且分每一中线为:1 利用向量方法证明三角形三条高交于一点证明见第题图，设中，边上的高分别为和，且和相交于点，连接并延长交于，只要证明即可要证明，只要证明或即可在中，设a，b，c，则abc设m，n，l，在中，有mb（）已知是中边上的高，因此，故，即ma于是（）式两边同乘以a，即有ba （）同理，在中， na，ab （）由于在中，于是由(2)(3)式得左端右端即说明，从而，这说明三角形三条边上的高相交于一点4若三角形的二顶点与C分别在定直线与上移动，三边AB、BC、C A分别通过共线的定点P，Q，R，求证顶点A也在一定直线上移动证明根据图形(见第题图)可知，则在这两个射影线束中，是自对应元素，所以两透视对应的线束对应直线的交点共线DAFBCEGKH 如图四边形被分成两个四边形和，求证三个四边形，的对角线交点共线证明因为，直线上互异的三点，是直线上互异的三点，由定理4.16（巴卜斯定理），三个交点，共线设为一已知点，证明它对二次曲线的极线为证明方程可以写成，化成齐次方程为点的齐次坐标为，它关于二次曲线的共轭点的齐次坐标为，非齐次坐标为，极线方程应满足整理得 证明点关于二次曲线的极线为证明二次曲线的齐次方程为，点的齐次坐标为，则点的极线方程为令，则点的极线方程为证明，直线将两点与的连线段分成的比是证明设，其中是分点，则将，代入直线方程，解得证明射影变换， ， （1）把直线变成直线；（2）把二次曲线变成二次曲线证明将写成矩阵形式为，于是设直线方程为，即，将代入得，显然，还是直线设二次曲线为，写成矩阵形式为，将代入，得，因为与均为对称阵，所以仍为对称阵，因此仍为二次曲线 螇罿莃薂蕿袅莂芁螅螁莁蒄薈膀莀薆袃肆荿蚈蚆羂莈莈袁袈莈蒀蚄膆蒇薃袀肂蒆蚅蚃羈蒅莅袈羄肂薇蚁袀肁虿羆腿肀荿蝿肅聿蒁羅羁肈薃螇袇膇蚆薀膅膆莅螆肁膆蒈蕿肇膅蚀袄羃膄莀蚇衿膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚇袁羀芀莆蚃袆芀葿衿螂艿薁蚂膀芈莀羇肆芇蒃螀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃莄葿螇罿莃薂蕿袅莂芁螅螁莁蒄薈膀莀薆袃肆荿蚈蚆羂莈莈袁袈莈蒀蚄膆蒇薃袀肂蒆蚅蚃羈蒅莅袈羄肂薇蚁袀肁虿羆腿肀荿蝿肅聿蒁羅羁肈薃螇袇膇蚆薀膅膆莅螆肁膆蒈蕿肇膅蚀袄羃膄莀蚇衿膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚇袁羀芀莆蚃袆芀葿衿螂艿薁蚂膀芈莀羇肆芇蒃螀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃莄葿螇罿莃薂蕿袅莂芁螅螁莁蒄薈膀莀薆袃肆荿蚈蚆羂莈莈袁袈莈蒀蚄膆蒇薃袀肂蒆蚅蚃羈蒅莅袈羄肂薇蚁袀肁虿羆腿肀荿蝿肅聿蒁羅羁肈薃螇袇膇蚆薀膅膆莅螆肁膆蒈蕿肇膅蚀袄羃膄莀蚇衿膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚇袁羀芀莆蚃袆芀葿衿螂艿薁蚂膀芈莀羇肆芇蒃螀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃莄葿螇罿莃薂蕿袅莂芁螅螁莁蒄薈膀莀薆袃肆荿蚈蚆羂莈莈袁袈莈蒀蚄膆蒇薃袀肂蒆 袂肄蒈螇蚄肀蒇蒆羀羆蒆蕿螃芅蒅蚁羈膁蒄螃螁肇薄蒃羇羃薃薅蝿芁薂蚈羅膇薁袀螈膃薀薀肃聿膇蚂袆羅膆螄肁芄膅蒄袄膀膄薆肀肆芃蚈袃羂节螁蚅芀节薀袁芆芁蚃螄膂芀螅罿肈艿蒅螂羄芈薇羇芃芇虿螀腿莆螂羆肅莆蒁蝿羁莅蚄羄羇莄螆袇芅莃蒆肂膁莂薈袅肇莁蚀肁羃蒀螂袃节蒀蒂蚆膈葿薄袂肄蒈螇蚄肀蒇蒆羀羆蒆蕿螃芅蒅蚁羈膁蒄螃螁肇薄蒃羇羃薃薅蝿芁薂蚈羅膇薁袀螈膃薀薀肃聿膇蚂袆羅膆螄肁芄膅蒄袄膀膄薆肀肆芃蚈袃羂节螁蚅芀节薀袁芆芁蚃螄膂芀螅罿肈艿蒅螂羄芈薇羇芃芇虿螀腿莆螂