浅谈立几计算中的图形变换.doc

芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂羀芆蚃蚂膆膂艿螄羈肈莈袇膄莆莇薆羇节莇虿膂芈莆袁羅膄莅羃袈蒃莄蚃肃荿莃螅袆芅莂袈肂膁蒁薇袄肇蒁虿肀莅蒀螂袃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膅芄薅蚀羈膀薄螃膃肆薃袅羆蒅薂蚅蝿莁薁螇肄芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂羀芆蚃蚂膆膂艿螄羈肈莈袇膄莆莇薆羇节莇虿膂芈莆袁羅膄莅羃袈蒃莄蚃肃荿莃螅袆芅莂袈肂膁蒁薇袄肇蒁虿肀莅蒀螂袃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膅芄薅蚀羈膀薄螃膃肆薃袅羆蒅薂蚅蝿莁薁螇肄芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂羀芆蚃蚂膆膂艿螄羈肈莈袇膄莆莇薆羇节莇虿膂芈莆袁羅膄莅羃袈蒃莄蚃肃荿莃螅袆芅莂袈肂膁蒁薇袄肇蒁虿肀莅蒀螂袃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膅芄薅蚀羈膀薄螃膃肆薃袅羆蒅薂蚅蝿莁薁螇肄芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂 浅谈立几计算中的图形变换在立体几何的求值问题中，我们常常由于作图困难或作图不当而难求其解，有些问题虽说也能够求出结果但往往计算复杂，能否通过科学的作图，巧妙地变换而简化计算结果呢？本文通过几个具体的例子介绍几种常见的变换方法。（一）完形法：有些立几问题，所给图形特征不够明显，如果将相关图形进行延展，作出完整的截面图形，往往能简化计算过程。例1：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，N是CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，求三棱锥D-PEN的体积分析：在三棱锥D-PEN中，过D作平面PNE的垂线段，垂足不易确定，且三角形PEN的面积计算也较繁，但如果将PEN延展，PEN所在平面被正方体AC1所截得的截面图形为A1BCD1，因此过D作平面DNE的垂线，实际上就是需作平面A1BCD1的垂线，即作CD1的垂线即可，此时SPEN也很容易求略解：过D作D1C的垂线DFBC平面DC1DF平面DC1DFBCDFD1CDF平面BCD1A1BCD1C而P、E、F所在平面与BCD1A1为同一平面，DF平面PENDFa=2aaDF=SPEN=V=（二）转换法：有些立几问题根据所给图形直接计算，比较繁琐，但如果适当转换，往往能事半功倍。例2：已知四面体P-ABC中，PA=BC=10，PB=AC=，PC=AB=5，求此四面体的体积；分析：该题直接计算，比较复杂，主要是P到平面ABC的距离很难求，但如果过B作AC的平行且相等的线段BE，连接CE，则易知P-ABC与P-BCE的体积相等，而P-BCE的体积则易求得多。略解：取PE中点G，连接BG、CGPB=BE= BGSE 同理CGPE PE平面BCG连接AE交BC于N，则N是BC中点在 ABEC中，AE2+BC2=2（AB2+BE2） AE2=2（125+65）-100=280 PBC ABCAN=PN=NEAPPEPE2=AE2-PA2=180PE=在RtBEG中，BG=在RtGCE中， CG=BG2+CG2=BC2BGCGSBGC=V=BGCPE=例3:在三棱锥P-ABC中,PA=BC=m,PA与BC成角,PA与BC的距离为m,求VP-ABC分析:直接依据图形计算体积，起始条件不好利用，但如果过A作BC的平行且相等的线段AD，连接CD、PD，易知：VP-ADC=VP-ABC，而三棱锥P-ADC的体积易求，略解：由分析可知：PAD或其补角为PA与BC所成角PA与BC的距离为m，BC/平面PAD，C到平面PAD的距离为BC与PA的距离mVP-ADC=VC-PAD=SPADPA=（三）、分离法：有些立几问题，或由于条件众多或由于直观感较差，我们常常找不到解题捷径，但如果我们把所关注的部分从原图中分离出来，既便于直观观察，也便于集中分析，往往能收到较好的效果。例4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD中心，点M、N、G分别为棱CC1、A1D1、BC的中点，求求AG与平面NDG所成的角；四面体D-MNB1的体积（1）分析：由于原图中条件较多，观察困难，直接过A作平面NDG的垂线，垂足不易确定，但如果将A-NDG从原图中分离出来，问题就要容易很多。问题可以变化成：已知：AG=DG=AN=ND=，AD=a，NG=,求AG与平面NDG所成的角；略解：取NG中点K，连接KD、AKGD=ND=AG=ANAKGNDKGNGN平面ADK平面ADK平面GND过A作ALDK则AL平面NGD易求AK=KD=在AKD中，cosAKD=AL=AK 连接GL 则AGL是AG与平面DNG所成的角SinAGL=AGL=arcsin当然，如果用等积变形的方法，可以不确定垂足的具体位置，直接求出A到平面DNG的距离AL（2）分析由于四面体O-B1MN的四个面都不在正方体的某个面上，我们首先考虑能否通过转化，将其等积变换成有一个面在正方体的某一个面上的情形，为此过O作B1N的平行线交BC于T，则易知：VO-B1MN=VT-B1MN=VN-B1MT，欲求上述结果，求B1MT的面积成为问题关键。由于B1M是已知点，所以T点的确定成为问题的关键，而在原图中的位置不易观察，如果将正方形ABCD、A1B1C1D1的直观图画出来，则问题会迎刃而解。由图（一）知：T是BC的四等分点，由图（二）知，SB1TM=S正方形BCC1B1-SB1BT-STCM-SB1C1M详解（略）（四）割补法有些立几问题不是我们所熟悉的柱、锥体，有关计算没有现成的公式。可用，此时我们可通过割补的办法，将其转化成柱、锥体、有时为了方便计算，也可能将斜棱柱，通过割被变成直棱柱，普通棱锥变成正棱锥；例5：三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面四边形A1BD面积为S，CC1到侧面A1B的距离为h，则V=sh证明（略）例6：斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CEF是三棱柱的直截面，AA1的长为m，（1）若CEF的面积为S，则VABC-A1B1C1=ms；（2）若CEF的周长为m，则三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为nm证明（略）例7：在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，求VABCDEF分析：ABCDEF不是我们熟悉的规则几何体，要通过切割将其变成熟悉的柱体或锥体，为此：过A作AK/BF交EF于K，连接KD，原几何体被切割成三棱柱BCF-AKD与三棱锥A-DKE略解：取AD中点G，连接KG、EGAKD、DEA均为正三角形 KGAD、EGADAD平面KEG取EK中点H，连接HG，则HGEF HGADHG平面ABCDVABCDEF=VA-DKE+VBCF-ADK= 蒁螆芃膃蚆蚂袀芅葿薈衿蒇蚅羇袈膇薈袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅袆蒄荿羄袅膄薄袀羄芆莇螆羃莈薂蚂羂肈莅蚈羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿蚆螅肅芁蒈螁肅莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁肂芈薅螇肁莀莈蚃膀肀薃蕿腿膂莆袈腿莄薂袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄膅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀芅葿薈衿蒇蚅羇袈膇薈袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅袆蒄荿羄袅膄薄袀羄芆莇螆羃莈薂蚂羂肈莅蚈羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿蚆螅肅芁蒈螁肅莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁肂芈薅螇肁莀莈蚃膀肀薃蕿腿膂莆袈腿莄薂袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄膅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃