高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3_2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题课件 理 苏教版

3.2 导数的应用,第3课时 导数与函数的综合问题,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,题型分类 深度剖析,题型一 导数与不等式有关的问题 命题点1 解不等式 例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有 0的解集是_.,答案,解析,(，2)(0，2),又(2)0，当且仅当00，,此时x2f(x)0.,又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数.,故x2f(x)0的解集为(，2)(0，2).,命题点2 证明不等式 例2 (2016全国丙卷)设函数f(x)ln xx1. (1)讨论f(x)的单调性；,解答,由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x) 1，令f(x)0，解得x1.,当00，f(x)单调递增； 当x1时，f(x)0，f(x)单调递减.,(2)证明：当x(1，)时，1 x；,证明,由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0. 所以当x1时，ln xx1. 故当x(1，)时，ln xx1，,(3)设c1，证明：当x(0，1)时，1(c1)xcx.,证明,由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，,当x0，g(x)单调递增； 当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减.,又g(0)g(1)0，故当00.,所以当x(0，1)时，1(c1)xcx.,命题点3 不等式恒成立或有解问题,解答,几何画板展示,函数的定义域为(0，)，,令f(x)0，得x1；,当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；,当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减.,(2)如果当x1时，不等式f(x) 恒成立，求实数k的取值范围.,解答,所以h(x)h(1)1，所以g(x)0， 所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2， 故k2.所以实数k的取值范围是(，2.,引申探究 本题(2)中，若改为存在x01，e，使不等式f(x) 成立，求实数k的取值范围.,解答,(1)利用导数解不等式的思路 已知一个含f(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式. (2)利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x). (3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围. 也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.,思维升华,跟踪训练1 (2015福建)已知函数f(x)ln x . (1)求函数f(x)的单调递增区间；,解答,证明,(2)证明：当x1时，f(x)x1；,令F(x)f(x)(x1)，x(0，).,当x(1，)时，F(x)0， 所以F(x)在(1，)上单调递减， 故当x1时，F(x)F(1)0， 即当x1时，f(x)x1.,(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1).,解答,由(2)知，当k1时，不存在x01满足题意. 当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)， 则f(x)k(x1)， 从而不存在x01满足题意. 当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，,由G(x)0，得x2(1k)x10.,当x(1，x2)时，G(x)0， 故G(x)在(1，x2)内单调递增. 从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0， 即f(x)k(x1). 综上，k的取值范围是(，1).,题型二 利用导数研究函数零点问题 例4 (2016扬州模拟)设函数f(x)xexasin xcos x (aR，其中e是自然对数的底数). (1)当a0时，求f(x)的极值；,解答,几何画板展示,当a0时，f(x)xex，f(x)ex(x1)， 令f(x)0，得x1. 列表如下：,(2)若对于任意的x0， ，f(x)0恒成立，求a的取值范围；,解答,当a0时，由于对于任意x0， ，有sin xcos x0，,所以f(x)0恒成立，即当a0时，符合题意； 当01时，f(0)1a0，,设f()0，其中是f(x)0中最接近x0的零点. 所以f(x)在(0，)上为减函数，此时f(x)1时，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是(，1.,(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间(0， )上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.,解答,当a1时，f(x)ex(x1)acos 2x. 令g(x)ex(x1)acos 2x， 则g(x)ex(x2)2asin 2x，,且当x(0，x0)时，f(x)0；,即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，,当x(0，x0)时，f(x)f(0)0，即f(x)在(0，x0)上无零点；,综上所述，不存在实数a，使得函数f(x)在区间(0， )上有两个零点.,利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.,思维升华,跟踪训练2 (2016南通模拟)已知函数f(x)a ln x(aR). (1)求f(x)的单调区间；,解答,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,(2)试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.,解答,所以此时函数f(x)的零点个数为0.,当a0时，,从而当a0时，函数f(x)的零点个数为1；,题型三 利用导数研究生活中的优化问题 例5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,由(1)可知，该商品每日的销售量为,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,210(x3)(x6)2，3x6. 从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点. (4)回归实际问题作答.,思维升华,解答,解得40x6. 因为1x14，所以1x6. 设该商品的月销售额为g(x)，,由g(x)0，得x8， 所以g(x)在6，8)上是增函数，在(8，14)上是减函数，,(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.,解答,因为a0，所以f(x)在区间(1，14)上是增函数， 若该商品的均衡价格不低于6百元，则函数f(x)在区间6，14)上有零点，,答 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是(0， .,典例 (16分)设f(x) xln x，g(x)x3x23. (1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值 范围.,一审条件挖隐含,审题路线图系列,规范解答,审题路线图,(1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M (正确理解“存在”的含义) g(x1)g(x2)maxM 挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质 g(x)maxg(x)minM 求得M的最大整数值,(2)对任意s，t ，2都有f(s)g(t) (理解“任意”的含义) f(x)ming(x)max 求得g(x)max1 xln x1恒成立 分离参数a axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值,ah(x)maxh(1)1 a1,返回,解 (1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM. 2分,g(x)maxg(2)1.,则满足条件的最大整数M4. 7分,所以a1，即实数a的取值范围是1，). 16分,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.函数f(x)(x1)2(x2)2的极大值是_.,答案,解析,f(x)(x1)2(x2)2， 令f(x)0，得可能的极值点x11，x2 ，x32. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)2(x1)(2x3)(x2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.已知曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为_.,答案,解析,(1，1),函数yx2aln x(a0)的定义域为x|x0，,当且仅当x1时，“”成立， 将x1代入曲线方程得y1， 故所求的切点坐标是(1，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,答案,解析,(0，1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.,答案,解析,3,y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.(2017南京质检)直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为_.,答案,解析,42ln 2,由题意得，AB|ex1(2x1)|ex2x2|，令h(x)ex2x2， 则h(x)ex2，所以h(x)在(，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，)上单调递增， 所以h(x)minh(ln 2)42ln 20， 即AB的最小值是42ln 2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.已知函数f(x) 若|f(x)|ax，则a的取值范围是 _.,答案,解析,2，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立. 当x0时，aR； 当x0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数， 所以h(x)h(0)0恒成立；,所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,当00， 满足h(x0)ln(x01)ax00成立.,故a0.,由可知a的取值范围是2，0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.若函数f(x)ax24x3在0，2上有最大值f(2)，则a的取值范围是_.,答案,解析,1，),f(x)2ax4，由f(x)在0，2上有最大值f(2)， 则要求f(x)在0，2上单调递增， 则2ax40在0，2上恒成立. 当a0时，2ax40恒成立； 当a0时，要求4a40恒成立，即a1. a的取值范围是1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.(2016苏州模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为_.,答案,解析,设g(x)exf(x)ex(xR)， 则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1， f(x)f(x)1，f(x)f(x)10， g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增， exf(x)ex3，g(x)3， g(x)g(0)，x0.,(0，),又g(0)e0f(0)e0413，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,9.已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0且x00，则a的取值范围是_.,答案,解析,(，2),当a0时，f(x)3x21有两个零点，不合题意， 故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，,若a0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a0.,又a0，所以a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10.已知函数f(x)ax33x1对x(0，1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,4，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：,因此g(x)的最大值为4， 则实数a的取值范围是4，).,1,2,3,4,5,