高考数学大一轮复习第七章不等式7_2一元二次不等式及其解法课件理苏教版

7.2 一元二次不等式及其解法,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.“三个二次”的关系,知识梳理,(x1，x2),2.常用结论 (xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法,口诀：大于取两边，小于取中间.,x|xa,x|xa,x|axb,(1) 0(0(0). (2) 0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( ) (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) (5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.( ),考点自测,1.(教材改编)不等式x23x100的解集是_.,答案,解析,(，2)(5，),解方程x23x100得x12，x25， 由于yx23x10的图像开口向上， 所以x23x100的解集为(，2)(5，).,2.(教材改编)不等式 0的解集是_.,答案,解析,不等式 0，,不等式的解集是x|x4.,3.(教材改编)不等式 的解集为_.,(1,2),由题意得x2x21x2，故解集为(1,2).,答案,解析,4.(教材改编)若关于x的不等式ax2bx20的解集是( )，则ab_.,答案,解析,14,x1 ，x2 是方程ax2bx20的两个根，,ab14.,5.不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_.,(，44，),答案,解析,x2ax40的解集不是空集， 则x2ax40一定有解. a24140，即a216， a4或a4.,题型分类 深度剖析,题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 (2016南京模拟)求不等式2x2x30的解集.,解答,化2x2x30，,解方程2x2x30得x11，x2 ，,不等式2x2x30的解集为(，1)( ，)，,即原不等式的解集为(，1)( ，).,命题点2 含参不等式 例2 解关于x的不等式：x2(a1)xa0.,解答,由x2(a1)xa0，得(xa)(x1)0， x1a，x21， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1.,引申探究 将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集.,解答,若a0，原不等式等价于x11.,若a0，,解得x1.,若a0，原不等式等价于(x )(x1)0.,当a1时， 1，(x )(x1)0无解；,当a1时， 1，解(x )(x1)0，得 x1；,当01，解(x )(x1)0，得1x .,综上所述，当a1；,当a0时，解集为x|x1；,当0a1时，解集为x|1x ；,当a1时，解集为；,当a1时，解集为x| x1.,含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.,思维升华,跟踪训练1 解下列不等式： (1)0x2x24；,解答,原不等式等价于,借助于数轴，如图所示，,所以原不等式的解集为x|2x1或2x3.,(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集.,解答,12x2axa2，12x2axa20，,即(4xa)(3xa)0，,令(4xa)(3xa)0，,得x1 ，x2 .,当a0时， ，解集为 ；,当a0时，x20，解集为x|xR且x0；,当a0时， ，解集为 .,综上所述，当a0时，不等式的解集为 ；,当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；,当a0时，不等式的解集为 .,题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题 例3 (1)若一元二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_.,答案,解析,(3,0),2kx2kx 0为一元二次不等式，k0，,又2kx2kx 0对一切实数x都成立，,则必有,解得3k0.,(2)设a为常数，对于xR，ax2ax10，则a的取值范围是_.,答案,解析,0,4),对于xR，ax2ax10，,则必有 或a0，,0a4.,命题点2 在给定区间上的恒成立问题 例4 设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解答,要使f(x)m5在x1,3上恒成立，,即 在x1,3上恒成立.,有以下两种方法：,方法一 令g(x) ，x1,3.,当m0时，g(x)在1,3上是增函数，,所以g(x)maxg(3)7m60，,所以m ，所以0m ；,当m0时，60恒成立； 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,当m0时，g(x)在1,3上是减函数，,综上所述，m的取值范围是m|m .,方法二 因为x2x1 ，,又因为m(x2x1)60，所以m .,因为函数y 在1,3上的最小值为 ，,所以只需m 即可.,所以m的取值范围是 .,命题点3 给定参数范围的恒成立问题 例5 对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围.,解答,由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4， 令g(m)(x2)mx24x4. 由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，,故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零.,解得x3.,(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,思维升华,跟踪训练2 (1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1， 都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，,解得 m0.,(2)已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.,解答,不等式mx22xm1 ，不满足题意； 当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即,不等式组的解集为空集，即m无解.,综上可知，不存在这样的m.,题型三 一元二次不等式的应用 例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；,解答,由题意得，y,因为售价不能低于成本价，所以 800.,所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2.,(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.,解答,由题意得40(10x)(254x)10 260， 化简得8x230x130，,解得 x .,所以x的取值范围是 .,求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.,思维升华,跟踪训练3 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100(5x1 )元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；,解答,根据题意，得200(5x1 )3 000，,整理得5x14 0，,又1x10，可解得3x10. 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10.,即5x214x30，,(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.,解答,设利润为y元，则,y 100(5x1 ),9104(5 ),即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.,故当x6时，ymax457 500元.,典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_.,函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.,答案,解析,转化与化归思想在不等式中的应用,思想与方法系列14,思想方法指导,9,a|a3,(1)由题意知f(x)x2axb,f(x)的值域为0，)，,b 0，即b .,又f(x)c， c，,，得 6，c9.,(2)x1，)时，f(x) 0恒成立，,即x22xa0恒成立. 即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立. 而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减， g(x)maxg(1)3，故a3. 实数a的取值范围是a|a3.,课时作业,1.(教材改编)不等式3x25x40的解集为_.,答案,解析,原不等式变形为3x25x40. 因为(5)2434230， 所以3x25x40无解. 由函数y3x25x4的图象可知，3x25x40的解集为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(教材改编)不等式 0的解集为_.,答案,解析,原不等式等价于,故原不等式的解集为( ，1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,由题意知a0时，满足条件.,0,4,当a0时，由,得0a4，所以0a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016南京三模)记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,由题意得A(3,2)，B(a，)，AB， a3.,(，3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115， 则a_.,答案,解析,由x22ax8a20， 所以不等式的解集为(2a,4a)， 即x24a，x12a，由x2x115， 得4a(2a)15，解得a .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.若不等式x22xk220对于任意的x2，)恒成立，则实数k的取值范围是_.,答案,解析,由x22xk220，得k2x22x2， 设f(x)x22x2，f(x)(x1)23， 当x2，可求得f(x)max2，,则k2f(x)max2，所以k 或k .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知不等式ax2bx10的解集是 ，则不等式x2bxa0的解集是_.,答案,解析,由题意知 ， 是方程ax2bx10的根，,所以由根与系数的关系得,解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60， 解集为(2,3).,(2,3),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(教材改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p1602x，生产x件所需成本C50030x元.若使得日获利不少于1 300元，则该厂日产量所要满足的条件是_.,答案,解析,20,45,由题意得(1602x)x(50030x)1 300， 解得20x45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_.,答案,解析,若不等式2x22axa1有唯一解， 则x22axa1有两个相等的实根， 所以4a24(a1)0，解得a .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_.,答案,解析,x|7x3,由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)， 故f(x2)5的解集为x|7x3.,令x0，x0时，f(x)x24x， f(x)(x)24(x)x24x，,又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，,x0时，f(x)x24x，,故有f(x),再求f(x)5的解，,得0x5；,得5x0，,即f(x)5的解集为(5,5).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知f(x) 则不等式f(x2x1)12的解集是_.,答案,解析,(1,2),由题意得当x0时，f(x)0，且f(x)单调递增； 当x0时，f(x)0，且f(x)单调递增