高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3_2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值课件理苏教版

3.2 导数的应用,第2课时 导数与函数的极值、最值,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,题型分类 深度剖析,题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值 例1 (1)(2016淮安模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是_.,答案,解析,由f(x)图象可知，x0是函数f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点.,(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2).,答案,解析,由题图可知，当x0； 当22时，f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.,命题点2 求函数的极值 例2 设a为实数，函数f(x)x33xa. (1)求f(x)的极值；,解答,令f(x)3x230， 又因为当x(，1)时，f(x)0； 当x(1，)时，f(x)0. 所以f(x)的极小值为f(1)a2， f(x)的极大值为f(1)a2.,得x11，x21.,(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.,解答,因为f(x)在(，1)上单调递减， 且当x时，f(x)； 又f(x)在(1，)上单调递减， 且当x时，f(x)； 而a2a2，即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于0时，有极小值小于0， 此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点， 即方程f(x)0恰好有两个实数根， 所以a20，a2，如图1.,当极小值等于0时，有极大值大于0， 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点， 即方程f(x)0恰好有两个实数根， 所以a20，a2.如图2. 综上，当a2或a2时方程恰好有两个实数根.,命题点3 已知极值求参数 例3 (1)若函数f(x) 在x1处取极值，则a_.,答案,解析,又函数f(x)在x1处取极值，,f(1)0.,121a0，,a3.验证知a3符合题意.,3,(2)(2016南京学情调研)已知函数f(x) x3x22ax1，若函数f(x)在 (1，2)上有极值，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,几何画板展示,方法一 令f(x)x22x2a0，,因为x1(1，2)，因此则需1x22，,方法二 f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为x1，则f(x)在(1，2)上是单调递增函数，,(1)求函数f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.,思维升华,跟踪训练1 (1)函数f(x)(x21)22的极值点是_.,答案,解析,x1或1或0,f(x)x42x23， 由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1. 又当x0. 当01时，f(x)0， x0，1，1都是f(x)的极值点.,3,当x0或x0； 当1x0时，y0. 当x1时，y取极大值3.,答案,解析,题型二 用导数求函数的最值 例4 已知aR，函数f(x) ln x1. (1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；,解答,即x4y4ln 240.,(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值.,解答,令f(x)0，得xa. 若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增， 此时函数f(x)无最小值. 若00，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，,所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a. 若ae，则当x(0，e时，f(x)0， 函数f(x)在区间(0，e上单调递减， 所以当xe时，函数f(x)取得最小值 . 综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值； 当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a； 当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为 .,求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,思维升华,跟踪训练2 设函数f(x)x3 2x5，若对任意的x1，2，都有 f(x)a，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,由题意知，f(x)3x2x2， 令f(x)0，得3x2x20，,题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f(x) (1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；,解答,当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x .,(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.,解答,所以f(x)在1，1)上的最大值为2. 当1xe时，f(x)aln x， 当a0时，f(x)在1，e上单调递增， 则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a. 故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a； 当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.,当a0时，f(x)0；,求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,思维升华,3，0),答案,解析,几何画板展示,由题意，得f(x)x22xx(x2)， 故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数， 在(2，0)上是减函数， 作出其图象如图所示，,典例 (16分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值.,(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意定义域. (2)先研究f(x)在1，2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值. (3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.,思维点拨,利用导数求函数的最值,答题模板系列3,规范解答,答题模板,几何画板展示,2分,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；,又f(2)f(1)ln 2a，,当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a. 14分 综上可知， 当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a. 16分,返回,用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.函数f(x) x34x4的极大值为_.,答案,解析,f(x)x24(x2)(x2)， f(x)在(，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减， 在(2，)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(2) .,2.(2016四川改编)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.,答案,解析,2,f(x)x312x，f(x)3x212， 令f(x)0，得x12，x22. 当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增； 当x(2，2)时，f(x)0，则f(x)单调递减， f(x)的极小值点为a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.若函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为_.,答案,解析,71,f(x)3x26x93(x3)(x1). 由f(x)0，得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5， f(x)mink7671.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,(，3)(6，),f(x)3x22ax(a6)， 由已知可得f(x)0有两个不相等的实根. 4a243(a6)0，即a23a180. a6或a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*5.(2016扬州模拟)函数f(x)ax3bx2cx34(a，b，cR)的导函数为f(x)，若不等式f(x)0的解集为x|2x3，f(x)的极小值等于115，则a的值是_.,答案,解析,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由已知可得f(x)3ax22bxc， 由3ax22bxc0的解集为x|2x3可知a0， 且2，3是方程3ax22bxc0的两根，,当x(，2)时，f(x)0，f(x)为增函数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当x(2，3)时，f(x)0，f(x)为增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016南京模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0，2)时，f(x)ln xax(a )，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a_.,答案,解析,1,由题意知，当x(0，2)时，f(x)的最大值为1.,解得a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)_.,答案,解析,18,函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(x)3x22axb， f(1)10，且f(1)0，,f(x)x34x211x16，f(2)18.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值 范围是_.,答案,解析,f(x)3x23a23(xa)(xa)， 当aa或x0，函数递增. f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,由f(x)0得xa，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2,可得f(x)x22x1，,即f(x)在0，1上的最小值为f(1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,10.(2016南京模拟)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f(m)的最小值为_.,答案,解析,4,f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0. 即342a20，故a3. 由此可得f(x)x33x24. f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1，0)上单调递减， 在(0，1)上单调递增， 对m1，1时，f(m)minf(0)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知函数f(x)xln x.若对于任意x ，e，不等式2f(x)x2ax3 恒成立，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当x(1，e时，h(x)0，h(x)单调递增.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0，6). (1)确定a的值；,解答,因为f(x)a(x5)26ln x，,令x1，得f(1)16a，f(1)68a， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y16a(68a)(x1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令f(x)0，解得x2或3. 故f(x)在(0，2)，(3，)上为增函数； 当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2，3)上为减函数.,当03时，f(x)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.已知函数f(x)ax2bxln x(a0，bR). (1)设a1，b1，求f(x)的单调区间；,解答,由f(x)ax2bxln x，x(0，)，,a1，b1，,令f(x)0，得x1. 当x1时，f(x)0，f(x)单调递增. f(x)的单调递减区间是(0，1)；,当0x1时，f(x)0，f(x