中考四点共圆综合题归类.doc

111已知：AOB中，AB=OB=2，COD中，CD=OC=3，ABO=DCO连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=60，则PMN的形状是等边三角形，此时=1；（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=2，证明PMNBAO，并计算的值（用含的式子表示）；（3）在图2中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；确定圆的条件。专题：综合题。分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，ABO=DCO，且ABO=60，则AOB和COD都为等边三角形，又A、O、C三点在同一直线上，则PMN为等边三角形，AD=BC（2）连接BM、CN，由于ABO与MPN都为等腰三角形，且证得MPN=ABO，则PMNBAO，的值可在RtBMA中求得（3）结合图形，直接可写出COD绕点O旋转后PM的最大值解答：解：（1）连接BM，CN，AOB中，AB=OB=2，COD中，CD=OC=3，ABO=60，AOB与COD是等边三角形，又点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，BMAC，CNBD，MBO=ABO=NCO=OCD=30，PM=PN=BC，PBM=PMB，PCN=PNC，BAO=DCO=60，ABCD，ABC+DCB=180，MBP+BCN=180ABMDCN=120，BPM+NPC=3602（MBP+BCN）=120，MPN=60，PMN是等边三角形，PM=PN=MN，AD=2MN，BC=2PM，=1（2）证明：连接BM、CN由题意，得BMOA，CNOD，AOB=COD=90A、O、C三点在同一直线上，B、O、D三点在同一直线上BMC=CNB=90P为BC中点，在RtBMC中，在RtBNC中，PM=PNB、C、N、M四点都在以P为圆心，为半径的圆上MPN=2MBN又，MPN=ABOPMNBAO由题意，又在RtBMA中，AO=2AM，（3）当COAB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值PM=（AB+CO）2=（2+3）2=点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的确定条件，综合性强，较为复杂3已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明考点：旋转的性质；正方形的性质。分析：（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小等于BAC，所以不会改变，度数可知；（2）先确定这两个三角形的面积求法，即找出底边和高，然后计算这些线段之间的数量关系即可得到答案解答：解：（1）不变，其度数为：45；设对角线交于O点，由题意可知BAE=，OAQ=，所以BAE=OAQ因为ABE=AOQ=90所以ABEAOQAB：AO=AE：AQ所以AB/AE=AO/AQ，又因为BAO=EAQ=45，所以BAOEAQ，所以AEQ=ABO=45，所以AEQ的度数不变；（2）结论：SAEF=2SAPQ证明：AEQ=45，EAF=45EQA=90同理过点P作PHAF于HSAEF=APQ点评：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形面积公式和直角三角形的性质11（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，ECAB，EBCD，若SDEC=1，SABE=3，则SBCE=；若SDEC=S1，SABE=S2，SBCE=S，请直接写出S与S1、S2间的关系式：S2=S1S2；（2）如图2，ABC、DCE、GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，SABC=4，SDCE=9，试利用（1）中的结论得GEF的面积为考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积。专题：计算题。分析：（1）根据平行线的性质可得，A=CED，AEB=D，则ABEECD；作AFBE垂足为F，CGBE垂足为G，根据已知得AF：CG=3：2，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得出答案即可（2）利用等边三角形的性质易得ABDCGE，ACDEGF，由此根据（1）中的结论可得到SACD2=SABCSECD，SDCE2=SACDSDEG，SEGD2=SDCESGEF，然后把SABC=4，SDCE=9代入依次进行计算即可求出GEF的面积解答：解：（1）ECAB，A=CED，又EBCD，AEB=D，ABEECD，SABE：SECD=BE2：CD2=3：1，BE：CD=：1，又CDBE，SBCE：SDEC=BE：CD=，SBCE=SDEC=；同上面的求法一样可得到：S2=S1S2；（2）ABC、DCE、GEF都是等边三角形，ABDCGE，ACDEGF，由（1）结论得到：SACD2=SABCSECD，SDCE2=SACDSDEG，SEGD2=SDCESGEF，而SABC=4，SDCE=9，由得SACD2=49=36，SACD=6，由得，92=6SDEG，SDEG=，由得，（）2=9SGEF，SGEF=故答案为，S2=S1S2；点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方也考查了三角形的面积公式，特别是等高的两三角形面积的比等于底边的比12（2009德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。专题：压轴题。分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AG=CG；再证出DMGFNG，得到MG=NG；再证明AMGENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG（3）结论依然成立还知道EGCG解答：（1）证明：在RtFCD中，G为DF的中点，CG=FD，同理，在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG，AG=CG；在DMG与FNG中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNG，MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在AMG与ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG，AG=EG，EG=CG证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在DCG与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MF=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC为直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG（3）解：（1）中的结论仍然成立即EG=CG其他的结论还有：EGCG点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质15已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM（1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为BD=BM；（2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质。分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知BD=BM，（2）先证明MDEMFC，得出AD=ED=FC，再作ANEC于点N，证出DBF是等腰直角三角形，根据点M是DF的中点，得出BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=BM解答：解：（1）BD=BM，（2）结论成立，证明：过点C作CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDEMFC，DM=FM，DE=FC，AD=ED=FC，作ANEC于点N，由已知ADE=90，ABC=90，可证得DEN=DAN，NAB=BCM，CFED，DEN=FCM，BCF=BCM+FCM=NAB+DEN=NAB+DAN=BAD，BCFBAD，BF=BD，DBA=CBF，DBF=DBA+ABF=CBF+ABF=ABC=90，DBF是等腰直角三角形，点M是DF的中点，则BMD是等腰直角三角形，BD=BM点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大21如图一，在ABC中，分别以AB，AC为直径在ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点（1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：DO1FFO2E；（2）如图二，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若ACB=90，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；（3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA证明：PA是半圆O1的切线考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。专题：综合题。分析：（1）利用中位线定理可得BO1F=CO2F，进而可得DO1F=FO2E，易得O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，可得：DO1FFO2E；（2）易得ACE和ACQ，ABD，APD均为等腰直角三角形，那么可得AB，AC的长，利用勾股定理可得BC的长，利用顶点A及AB边构造和PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的长即为PQ的长；（3）需证6+8=90，那么证明5+7=90即可；利用四点共圆的性质可得DBRDAM，进而可得5=9，即可求证解答：（1）证明：如图一，O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点，O1FAC且O1F=AO2，O2FAB且O2F=AO1，BO1F=BAC，CO2F=BAC，BO1F=CO2F点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，BO1D=90，CO2E=90，BO1D=CO2EDO1F=FO2EDO1FFO2E；（2）解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE点E是半圆O2圆弧的中点，AE=CE=3AC为直径AEC=90，ACE=EAC=45，AC=，AQ是半圆O2的切线，CAAQ，CAQ=90，ACE=AQE=45，GAQ=90，AQ=AC=AG=，同理：BAP=90，AB=AP=，CG=，GAB=QAP，AQPAGBPQ=BG，ACB=90，BC=，BG=，PQ=；（3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CSMF于S，过B作BRMF于R，连接DR、AD、DMF是BC边的中点，SABF=SACFBR=CS，由（2）已证CAQ=90，AC=AQ，2+3=90FMPQ，2+1=90，1=3，同理：2=4，AMQCSA，AM=CS，AM=BR，同（2）可证AD=BD，ADB=ADP=90，ADB=ARB=90，ADP=AMP=90A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且DBR+DAR=180，5=8，6=7，DAM+DAR=180，DBR=DAMDBRDAM，5=9，RDM=90，5+7=90，6+8=90，PAB=90，PAAB，又AB是半圆O1直径，PA是半圆O1的切线点评：综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键5（2006武汉）（北师大版）已知：将一副三角板（RtABC和RtDEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角（090），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H（1）当=30时（如图2），求证：AG=DH；（2）当=60时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当090时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质。专题：几何综合题。分析：（1）由题意易证出AG=AD，DH=DB，而AD=DB，可得A