文登考研数学习题课讲义.docx

北京文登网校网址： 葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿膆葿螂肁蒂莅螂膄芅蚃螁袃蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀肄蚆袆肂荿薂袆膄膂蒈袅袄莈莄袄羆膁蚂袃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀羃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇薄肀芄莃薃膂葿蚁蚃袂节薇蚂羄蒇蒃蚁肆芀葿蚀芈肃螈虿羈荿蚄蚈肀膁薀蚈膃莇蒆蚇袂膀莂螆蚀肁莆蒀袃袃莂蒀羅腿芈葿蚄羂膄蒈螇膇肀蒇衿羀荿蒆蕿膅芅薅蚁羈膁薄螃膄肇薄羆羇蒅薃蚅衿莁薂螈肅芇薁袀袈膃薀薀肃聿虿蚂袆莈蚈螄肁芄蚈袇袄膀蚇薆肀膆蚆螈羃蒄蚅袁膈莀蚄羃羁芆蚃蚃膆膂芀 前 言数学基础树的根，技巧演练靠题型.勤学苦练强磨砺，功到高分自然成.-陈文灯文登网校考研开授数学习题课的目的是为了给同学们的数学基础知识一个巩固和实践.通过本课系统的学习，可以进一步加深对概念的内涵和外延的理解，更牢固的记忆和掌握相关的公式定理，更方便快速的提高解题方法、技巧，让你的考研复习事半功倍！本课从单选题到填空题到应用题，涵盖高数、线代、概率共11讲，30多个课时，50多个考点，150多道精选例题，能让你在最短的时间里把握考研数学动向.所有内容均为陈文灯教授根据多年考研辅导经验精心安排并亲自讲授的，内容精炼易懂又直击数学考点，在你的复习路上既能奠定坚实的基础又能极大的提高学习兴趣和对自己的信心！考点知识剖析，解题技巧指导，让你足不出户尽揽考研精髓！由于成书时间仓促，不足与纰漏之处，望广大考生及同仁指正.祝考研的朋友们取得成功！编者2012考研文登网校考研群：1群 121751051 二群： 105124278- 1 -目 录前 言- 1 -考研数学高数部分- 1 -第一讲 极限与连续- 1 -第一节 无穷小的比较- 2 -第二节 未定式定值法- 2 -第三节 极限式中常数的确定- 4 -第四节 数列极限- 5 -第二讲 导数与微分- 6 -第一节 导数的定义- 6 -第二节 各类函数微分法- 7 -第三节 高阶导数- 8 -第三讲 不定积分- 8 -第一节 特殊积分- 8 -第二节 凑微分法- 9 -第四讲 定积分- 10 -第一节 概念、性质、定理及公式- 10 -第二节 特殊类型的定积分计算- 10 -第三节 有关证明题的证明- 11 -第四节 求解函数方程- 12 -第五讲 中值定理及一元微积分应用- 12 -第一节 中值定理- 12 -第二节 一元微积分的应用- 13 -第六讲 多元函数微积分- 13 -第一节 多元函数微分法- 13 -第二节 重积分- 15 -第七讲 无穷级数- 15 -考研数学线性代数部分- 17 -第八讲 线性代数（一）- 17 -第一节 行列式- 17 -第二节 矩阵- 19 -第九讲 线性代数（二）- 21 -第三节 向量组的线性相关性证明- 22 -第四节 线性方程组- 23 -第五节 方阵的特征值、特征向量与二次型- 23 -考研数学概率与数理统计部分- 25 -第十讲 概率与数理统计（一）- 25 -第一节 事件的概率- 25 -第二节 随机变量及其分布- 26 -第十一讲 概率和数理统计（二）- 27 -第三节 随机变量的数字特征- 27 -考研数学高数部分第一讲 极限与连续为了正确快速求极限必须记住：（1） 函数趋于的速度 速度越来越快例， 速度越来越快（2） 抓大头若极限式的分子分母均为多项式要抓次数最高的项.也类似.当时要抓多项式中次数最低的项. 例例设，求（3） 常见的等价无穷小，,(4)常见的极限， 特例.，重要考点：（1）无穷小的比较； （2）极限式中常数的确定； （3）未定式的定值法 （4）数列极限第一节 无穷小的比较例1.设，当时，是的（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小（C）等价无穷小 (D)同阶但非等价无穷小例2.当时，与等价的是（A） （B）（C）（D）注意：凡是比较的无穷小个数3.一般讲，先写出各无穷小的等价无穷小，再比较.或先求各无穷小的导数，写出对应的等价无穷小，再比较.第二节 未定式定值法（）型解法1 通过因式分式或根式有理化，消去“0”因子，然后用极限的运算法则求解解法2 利用等价无穷小代换解法3 利用洛毕达法则解法4 作变量替换例3 求下列极限（1）（2）（3），连续例4 求下列极限（1） 求；（2） 连续，求（）型解法与型类似.例5 求.() 型.或后再用法则.例6求下列极限(1) )；(2) ；(3) () ，再用法则.设，则或一般讲：将简单的函数下放，复杂的不下放.具体讲，对数函数与反三角函数不下放.例7 求（）.，设， .记住：，是括号中1后的函数与指数幂乘积极限.， ？例8 求例9 求第三节 极限式中常数的确定例10设，确定的值例11设，求例12 设存在且不为0，确定c，并求极限例13 设，确定值关于等价无穷小代换：例：求；例：求；例：求； 例：；第四节 数列极限（）利用夹逼定理求极限例14 求下列极限（1） 求（2） 求（3）()利用单调有界数列必有极限定理.例15设03，（）利用幂级数的性质求极限.例16设1，求设：1，求（）利用函数极限求数列极限.例17 求例18 求，(五)函数的连续性例19 设试问在处是否连续例20 设连续且，令求，并讨论的连续性.例21 试画出的图形，并求出间断点并判别类型.第二讲 导数与微分考点：导数的定义； 复合函数微分法，隐函数微分法，参数方程微分法，幂指函数微分法；分段函数微分法高阶导数第一节 导数的定义例1设在的邻域有定义，则在处可导的充分条件是 (A) 存在（B）存在（C）存在 (D) 存在例2.设在内有定义，=2且对恒有求.例3 设g(x)满足方程，求.导数的应用：设在处可导，则曲线在点的切线方程：曲线在点处的法线方程，例4.设曲线在处的切线方程，求例5.设与在原点处相切，求第二节 各类函数微分法（一）复合函数微分法例6设y=sin,求例7.设，求（二）隐函数微分法.例8 设由方程=0确定，求y,(x0)例9.设有方程，求（三）参数方程微分法例10设,求曲线在（0,2）处的法线方程（四）幂指数函数微分法例11设，可导求(五) 分段函数的微分法在相邻两分界点之间的函数的导数用一般的微分法求解，在分界点处的导数：1） 若在的两侧表达式相同，则2） 若在的两侧表达式不相同则先分别求： , 再判别是否存在.例12设具有二阶连续的导数，（1） a为何值时在处连续（2） 求，判别其连续性例13. 设在x=0的邻域内有定义，且， 令, 求.例14. 设,求 .第三节 高阶导数例15. . 求 .例16设为多项式，且满足方程. ，求.例17. 设，求.注意：凡是求高阶导数在某点处的值，要想利用台劳展开式.第三讲 不定积分考点：（1）不定积分的三种运算 ）凑微分；）换元积分法； ）分部积分运算 （2）有理函数积分、简单无理函数、三角有理式积分；（3）特殊积分第一节 特殊积分例1. 设，求.例2. 设是的原函数，求.例3. 设的导数为，则 的一个原函数为(A) (B) (C) (D) 例4. 设. 求.第二节 凑微分法（一） 简单的凑微分形式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） （8） （二） 复杂形式的凑微分法.其中比复杂，若，k 为常数，则.例5. 求下列不定积分（1）； （2）；（3）（4）（5） （6）（7）例6求下列不定积分（1） （2） （3）例7. 求下列不定积分（1） （2）例8. 求不定积分.例9. 设.求.第四讲 定积分考点：（1）定积分概念、性质、定理及公式；（2）特殊类型的积分，尤其是分段函数积分、含变限积分的积分；（3）定积分的有关证明.第一节 概念、性质、定理及公式例1 求.例2 设例3 设.第二节 特殊类型的定积分计算（一）分段函数的积分例4 设 例5 设 例6 计算例7 设 （二）含有变限积分的积分方法一 利用分部积分法.变限积分选作u(x)，另一部分选作dv方法二 利用二重积分更换积分次序的办法.例8 求下列积分（1） 设（2） 设例9 设（三）对称区间上的积分想到奇偶函数积分的性质，若被积函数非奇偶，则作负变换.例10 求下列积分（1）（2）（3）例11 设例12 计算 第三节 有关证明题的证明例13 设（1）证明（2）证明例14 设 第四节 求解函数方程 例15 设例16 设 第五讲 中值定理及一元微积分应用第一节 中值定理例1 设 例2 设（1）（2）例3 ，.例4 设 例5 设例6 由微分中值定理，证明 例7 设例8 由拉格朗日中值定理，例9 当，第二节 一元微积分的应用例10设有一人以每秒2m的速度在20m高的桥上走，正下方有一条以每秒的 船垂直桥向前方行驶，求第五秒末，人与船的相互距离的速率.例11 设有一个椭圆，在其上任取一点作椭圆的切线，求以切线和轴、 轴所围三角形中面积最小者.例12 设有曲线求曲线从原点到右边第一条与x轴垂直的切线的切点之间曲线的弧长.例13 设 第六讲 多元函数微积分第一节 多元函数微分法考点：（1）多元函数微分法，尤其是抽象函数的微分法；（2）偏微分方程中常数值的确定（3）多元函数的极值与最值例1.求下列极限（1）;(2) 例2.设，令 求的间断点，的连续区间，间断点处的左右极限例3设则在原点（0，0）处，函数 是否连续，是否可导（即偏导存在）是否可微？例4.设可微，,计算例5设可微，令，, 求，.例6 设其中连续，可导，且，计 算.例7.设二阶可导，求.例8.设，具有二阶连续的偏导，求.例9.用变换将方程化为，试确定a的值.例10设，求的极值.例11.设，求在上的最大值，并由此证明，当时第二节 重积分考点：（1）更换积分次序； （2）求分段函数的积分； (3)利用对称性计算二重积分.例1.求下列积分（1）（2）例2.求下列积分(1)计算（2）计算D是由所围区域例3求下列积分（1） 计算（2） 计算第七讲 无穷级数考点：（1）级数敛散性判别； （2）幂级数求收敛域，收敛半径； （3）*将函数展成幂级数； （4）*幂级数求和函数.（一）例1设 （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散不定例2 设 （A）3 （B）7 （C）8 （D）9例3 设 （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散不定例4 .例5 设.例6 .（二）例7 设.例8 设例9 （三） 例10 例11 将（四）求和函数例12 设例13 求例14 设.（1）证明.（2）求出.考研数学线性代数部分第八讲 线性代数（一）第一节 行列式设A为n阶方阵，则或表示A对应的行列式.（1）， （2）（3） （4）=（5）（6）设是元素的代数余子式，则 （7）范德蒙行列式 （一）三五阶行列式的计算例1设， 计算例2计算例3设为三维行向量，,求.例4设为三阶方阵，为的三个不相同的特征值，且，计算.例5、设A为三阶非零阵，,其中为的代数余子式，又有非零解，计算.例6设求（1）(2) ，其中为的代数余子式.（二）n阶行列式的计算例7计算例8计算例9计算其中第二节 矩阵（一） 矩阵的性质（）逆阵的性质 （1）（2）（3）（4）()伴随阵的性质（1）（2）（3）（4）()转置阵的性质（1）（2）（3）（4）（）分块矩阵的性质（1）（2）（3）（4）(二)两个重要的公式.主换位，副变号 矩阵秩的性质：，若，则.重要题型：（）矩阵的变换 例1.设，则 (A) (B) (C) (D) () 矩阵的秩例2设，求例3.设为三阶非零阵，,则的秩为（A） 当时，必为2 （B）当时，必为1（B） 当时，必为2 （D）当时，必为1例4.设A为n阶方阵，证明.（三）方阵A逆阵的求法，可逆的证明.逆阵的求法：； ； 逆阵的证明: ;A的特征值均不为0 只有零解.A的逆阵存在性的证明及的求法. 方法：（拼凑法）例5设A为n阶方程，E为n阶单位阵，且有证明可逆，并求其逆.例6.设 ，证明B可逆，并求其逆例7 设A,B,A+B均可逆，证明存在，并求出表达式.例8设E-AB可逆，证明E-BA可逆，并求其逆.第九讲 线性代数（二）（四）方阵的n次幂设A为n阶方阵，=？方法1：利用二项式定理条件：BC=CB; 为很小的正整数方法2：将A写成列和行向量乘积形式，条件r(A)=1.方法3：利用特征值法 例9 求下列方阵的n次方幂（1）； (2) ；(3) 第三节 向量组的线性相关性证明）思路之一（定义法）设有一个向量组，存在个常数使得.将其展开，利用题设条件，判别的取值情况从而得出的线性相关性，或者对，作某种变换，然后判别的取值情况，从而得出的线性相关性；）思路2 化为齐次线性方程组解的讨论例1 设A为n阶方阵，为n维列向量，,，证明： 线性无关.例2 设向量组：线性无关，向量组：可由线性表示，即（），证明：向量组线性相关的充要条件：的秩.例3 设为个维线性无关的列向量组，为两个不同的维列向量，它们与向量组正交，证明线性相关.EX:设A为阶矩阵，B为阶矩阵，. ,为阶矩阵，证明的个列向量组线性无关.第四节 线性方程组 称为齐次方程组 称为非齐次方程组 称为增广矩阵.1)，有非零解2)，有解 3）Ax=b，则无解.向量组的相关性或线性表示，往往是转化为方程组来研究.例1设 ，1）为何值时不能由线性表示.2）为何值时可由唯一线性表示，并写出表示式.例2.设有两个线性方程组.（） （）1）利用方程组（）的导出组的基础解系，表示出方程组（）的通解.2）为何值时方程（）与（）解系同解.第五节 方阵的特征值、特征向量与二次型（一）重要的性质与公式1）设为的个特征值，则2）设是A的个不相等的特征值所对应的特征向量，则线性无关.3）设为方阵对应于的特征向量，则.若，则也为的属于的特征向量.4）设为的不同特征值对应的特征向量，则不是的特征向量.5）设为的属于的两个不同的特征向量.若，则也是的属于的特征向量.6）设为正整数，为的特征值，则的特征值为.例1.设x为方阵A对应于的特征向量，则对应于的特征向量是_例2.设为三阶方阵，,求例3.设是的特征向量，（1）求对应的特征值，的值；（2）是否可对角化.例4.设三阶实对称矩阵的三个特征值为6,3,3，对应于的特征向量为， 1）求的对应于的特征向量2）求出的表达式例5.设有一个二次型通过正交变换，化为标准型.（1）确定的值；）求正交阵；（3）求在上的最大值.考研数学概率与数理统计部分第十讲 概率与数理统计（一）第一节 事件的概率（一） 古典的概率有利于A的基本事件数 = . 基本事件总数（A） 设有一座14层楼房，一层电梯间启动时有10名乘客，各乘客在哪层下是等可能的.求下列各事件的概率： “表示10人在同一层下”； “表示10人在不同楼层下”； “表示恰有4个人在第八层下”.例2设有一个二阶行列式|. 元素可能取0,1.取到0或1的概率均为，求行列式取正数的概率.（二） 几何概率 A的度量（长度、面积、体积） 样本空间的度量（长度、面积、体积）（B） 在区间（0，1）内任取两个数.求A“两数之和小于”的概率.（三） 条件概率和乘法公式.即.例4. 模拟空战，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2，乙机未被击落进行反击，击落甲机的概率为0.3，甲机未被击落再反击乙机，击落乙机的概率为0.4，求甲机，乙机被击落的概率.例5. 为了安全，在矿井中安装甲、乙两种警报系统，甲、乙单独使用时，有效率分别为0.92，0.93.在甲失灵时乙有效的概率为0.85，试求：（1） 发生事故时至少有一个系统有效的概率；（2）乙失灵时甲有效的概率.牢记：（四） 贝努里概型例6. 设事件A在n次试验中至少发生一次的概率为.求事件A在n次试验中至多发生一次的概率.例7. 设某机床厂生产某种机床，该机床分别以概率0.7，0.3表示可直接出厂和需要调试；又以概率0.8，0.2表示调试后可出厂和以废品论不能出厂.设该厂独立生产台机床，试求：（1） 台机床全部可出厂的概率；（2）台中恰有两台不能出厂的概率；（3）台中至少有两台不能出厂的概率.（五）全概率公式与逆概公式全概与逆概的区分：由因导果，属于全概；由果索因，属于逆概.如何判别某事件是属于全概？（4） 从做题角度；（5） 如果能找到完备事件组；（6） 如果我们的事件，在求解的过程中能够分成两步去处理：第一步，多种情况发生，很复杂；第二步，只有单纯的一种事情发生. 他们就是全概.例8. 设某商店经销尚未完全过关的电子产品10件.其中有7件正品，3件次品，现已销售出2件，问去买一件正品的概率.例9. 要验收一批微机（100台）.验收的方案：从中任取3台，进行测试.规定：当至少有一台次品时，拒绝接收.由于设备条件，测试水平，将一台次品判为次品的概率为0.95，将一台正品误判为次品的概率为0.01.已知这100台微机有四台次品，试问这批微机被接受的概率.第二节 随机变量及其分布（3） 一维随机变量例1 抛掷两枚骰子，表示出现的点数之和，求的分布律.例2 设盒中有形状大小功率均相同的10个灯泡，其中7个螺口，3个卡口，从中要取一个螺口灯泡，若先取到卡口，不放回，再取，表示取到一个螺口前，取出卡口灯泡数，求的分布律，并求的分布函数.例3 设甲、乙两名射手，向同一目标射击，甲先射，直到有人命中，甲、乙的命中率分别为，.（1）甲、乙射击次数，的分布律；（2）表示甲、乙射击次数之和.求的分布律.（二）二维随机变量的分布律.边缘分布律，条件分布律，边缘分布密度.例4. 设某射手的命中率为，向目标射击，直到命中2次为止，表示首次命中需要进行的射击次数，表示命中两次需要射击的次数.求的联合分布律，边缘分布律，条件分布律.例5. 设随机变量相互独立.且均服从参数为的（0-1）分布.令 （1） 求的联合分布律.（2） 为何值时，E取最小值.第十一讲 概率和数理统计（二）例6. 设二维随机变量在由（0,0）,A（1,2），B（2,1）为三角形顶点的区域D上服从均匀分布，求的边缘分布密度.（三）分布函数的求法.利用分区分析法求例7. 设二维随机变量在由直线,轴，轴所围成的三角形D上服从均匀分布，求的联合分布函数.例8. 设是独立同分布.,求方程有实根的概率.第三节 随机变量的数字特征（3） 一维随机变量的数字特征.1） ， ， 2）为连续型.的分布密度，.数学期望EX与方差DX的性质：E（C）=C D（C）=0 E（CX）=CEX， D（CX）= 当X,Y互相独立时常见的几个分布的数学期望与方差：例4 两点分布.例5 二项分布（即贝努里分布， EX=np, DX =np(1-p)例6 泊松分布., .例7 几何分布 ， .例8 设 ， ， .例9 指数分布 ， 例10 正态分布 ，几个重要公式：DX= E（）协方差 COV（X,Y）=E（X,Y）-（EX）（EY）相关系数例1. 设有两支球队进行比赛，两队获胜的概率均为，规定其中一队胜4场比赛宣告结束，求比赛场数X的数学期望.例2. 设某汽车站于8:00-9:00；9:00-10:00 各有一趟车进站，各车进站是相互独立的，且哪一时刻进站是随机等可能的，两车进站的规律：现有某先生于8:20到站，求他候车时间的数学期望？（一）随机变量函数的数字特征例3. 设某个商店经销某种节令商品，在节气内每售出一公斤这种商品获利a元，过了节气处理这种商品，每售出一公斤纯亏损b元，该商店的销量为X，X在上服从均匀分布，现问该商店进多少这种商品才可使获得利润的数学期望最大.例4. 设在线段上插入个分点，求最远两点距离的数学期望.（二）二维随机变量的数学特征.例5. 设，的相关系数，令.（2） 求E（Z), D(Z).（3） 与Z的相关系数.（4） 与Z是否相互独立，为什么？（三）大数定律与中心极限定理有关中心极限定理解题的步骤：（1） 分析题意，设随机变量X（2） 分析题意，求E（X），D（X）.（3） 标准化.例 设某保险公司有10000人投保，每人每年交12元保险，一年中投保人死亡率为0.006，投保人死亡公司赔偿1000元.（1） 保险公司亏损的概率；（2） 保险公司每年利润不小于40000元的概率；（3） 保险公司每年的平均利润.（四） 数理统计例 设总体X的分布密度，其中为未知参数.为X的容量为n的简单随机样本.要利用矩估计法和极大似然估计法，求参数的估计量. 腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂肄薇薃螁膆莀葿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁袅膇芈蚆袄艿蒃薂袃罿芆薈袂膁薂蒄袁芃莄螃袁羃薀虿袀肅莃薅衿膈薈蒁羈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿蚂羅芄膂薈羅羄蒈蒄羄肆芀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄肁羁蒄蒀肀肃芇蝿聿膅蒂螅聿莈芅蚁肈肇薁薇蚄腿莄蒃蚃节蕿螁蚃羁莂蚇螂