2019届高考数学专题一函数第4讲函数的零点问题学案.docx

第4讲函数的零点问题 1. 函数的零点问题是高考的重点和难点内容，由于它和函数、方程有着密切的联系，所以需要我们熟悉函数的图象与性质，理解函数与方程等思想2. 在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断在这个区间上零点的个数1. 函数f(x)lg x的零点是_答案：解析：因为lg x0，所以lg x，所以x10.2. (2018汇龙中学)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是_答案：(0，3)解析：因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a3.3. (2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知函数f(x)其中m0，若函数yf(f(x)1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_答案：(0，1)解析：令f(f(x)1，得f(x)或f(x)m10，进一步得x或xm0或x.因为已知m0，所以只要m1即可，即得0m1.4. (2018南京师大附中)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2a3，3b2，则n的值是_答案：1解析：依题意得a1，0b1，f(1)1b0，f(1)f(0)2c2b，试问：导函数f(x)在区间(0，2)内是否有零点？并说明理由解：因为f(x)ax2bxc，f(1)a，所以abca，即3a2b2c0.因为3a2c2b，所以3a0，2b0，b0.于是f(1)a0时，因为f(0)c0，f(1)a0，则f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点 当c0时，因为f(1)a0，则f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点故导函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点点评：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1) 定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2) 图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点已知函数f(x)x3x2.求证：存在x0(0，)，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)xx3x2，因为g(0)，g()，所以g(0)g()0.又函数g(x)在(0，)上是连续曲线，所以存在x0(0，)，使g(x0)0，即f(x0)x0.,二) 求零点的个数,2) 设函数g(x)ax2bxc(a0)，且g(1).(1) 求证：函数g(x)有两个零点；(2) 讨论函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数(1) 证明：因为g(1)abc，所以3a2b2c0.所以cab，所以g(x)ax2bxab，所以(2ab)22a2.因为a0，所以0恒成立故函数g(x)有两个零点 (2) 解： 根据g(0)c，g(2)4a2bc，由(1)知3a2b2c0，所以g(2)ac. 当c0时，有g(0)0，因为a0，所以g(1)0，所以函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，所以函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点 当c0时，g(1)0，g(0)c0，g(2)ac0，所以函数g(x)在区间(1，2)内有一个零点综上所述，函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点点评：判断函数零点个数的方法：(1) 方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2) 零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点已知在区间4，4上g(x)x2x2，f(x)给出下列四个命题： 函数yf(g(x)有三个零点； 函数yg(f(x)有三个零点； 函数yf(f(x)有六个零点； 函数yg(g(x)有且只有一个零点其中正确命题的个数是_答案：4解析：画出函数f(x)，g(x)的草图，如图， 设tg(x)，则由f(g(x)0，得f(t)0，则tg(x)有三个不同值，由于yg(x)是减函数，所以f(g(x)0有 3个解，所以正确； 设mf(x)，若g(f(x)0，即g(m)0，则mx0(1，2)，所以f(x)x0(1，2)，由图象知对应f(x)x0(1，2)的解有3个，所以正确； 设nf(x)，若f(f(x)0，即f(n)0，nx1(3，2)或n0或nx22，而f(x)x1(3，2)有1个解，f(x)0对应有3个解，f(x)x22对应有2个解，所以f(f(x)0共有6个解，所以正确； 设sg(x)，若g(g(x)0，即g(s)0，所以sx3(1，2)，则g(x)x3.因为yg(x)是减函数，所以方程g(x)x3只有1个解，所以正确故四个命题都正确,三) 根据函数零点的存在情况求参数,3) (2018南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_答案：解析：先画出x0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x0时的图象令y0得f(x)m.令yf(x)，ym，由图象可得要有四个不同的零点，则m.点评：已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(2018南通中学练习)已知函数g(x)若函数yg(g(x)2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_答案：解析：当x0，此时g(g(x)(x1)21x22x，当0x1时，g(x)x210，所以问题等价于在x1，)有解令p2x，则p2，令up，则u在p2，)上单调递增，因此，u，.设r(u)u，任取u1u2，则u1u20，r(u1)r(u2)(u1)(u2).若u1u22，则u1u24，所以r(u1)r(u2)，即r(u)在2，)上单调递增；若2u1u2，则u1u24，所以r(u1)r(u2)，即r(u)在上单调递减，所以函数r(u)在u2时取得最小值，且最小值r(2)4, 所以r(u)4，)，从而，满足条件的实数的取值范围是4，). 设函数f(x)则函数g(x)xf(x)6在区间1，22 017内的所有零点的和为_答案：(22 0171)解析：当1x时，f(x)8x8，所以g(x)8(x)28，此时当x时，g(x)max0；当x2时，f(x)168x，所以g(x)8(x1)220.由此可得1x2时，g(x)max0.下面考虑2n1x2n且n2时，g(x)的最大值的情况当2n1x32n2时，由函数f(x)的定义知f(x)f()f()，因为1，所以g(x)(x2n2)28，此时当x32n2时，g(x)max0；当32n20，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_答案：，)解析：由yloga(x1)1在0，)上单调递减，得0a1.又由f(x)在R上单调递减，得a.由y|f(x)|与y2的图象(图略)可知，在区间0，)上，方程|f(x)|2有且仅有一个解，故在区间(，0)上，方程|f(x)|2同样有且仅有一个解，则3a2，所以a.当3a2时，两函数图象只有一个交点，不合题意所以a，)4. (2018天津卷)已知a0，函数f(x) 若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数根，则a的取值范围是_答案：(4，8)解析：当x0时，方程化为x2ax2a0，即x2ax2a0，由根与系数的关系知，若此方程有实数根，则两根之和为正，两根之积为正，满足条件；当x0时，方程化为x2axa0，同理，两根和为负，两根积为正，也满足条件，要使方程f(x)ax恰有两个互异实根，两方程判别式必一正一负，由1a28a，2a24a，则120，即a2(a4)(a8)0，故4a8.5. 设函数f(x)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_答案：2，)解析：当a0或a2时，f(x)2xa，x1与x轴无交点，故此时f(x)4(x23ax2a2)，x1与x轴应有2个交点，所以解得a1，故此时a2.当0a2时，f(x)2xa，x1与x轴有1个交点，故此时f(x)4(x23ax2a2)，x1与x轴应有1个交点，所以或f(1)0，解得a或a1，即a1.综上，实数a的取值范围是2，)(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数g(x)ax22ax1(a0)的值域为2，)，设函数f(x)2.(1) 判断函数f(x)的奇偶性；(2) 若对于任意xR，都有f(2x2kx)f(21x)0成立，求实数k的取值范围；(3) 令h(x)f(|2x1|)t(3)2，当t0，所以对于任意xR，都有2x2kx2x1成立(8分)设F(x)2x，则F(x)在R上是单调增函数，所以有x2kxx1，即对任意的xR，都有x2(k1)x10成立，所以(k1)240，即1k3.故实数k的取值范围是(1，3). (12分)(3) 令h(x)f(|2x1|)t(3)20，即3t20.令u0，则u2(3t2)u4t10(*)记(u)u2(3t2)u4t1，因为t1.因为 所以方程(*)的根为u1，u2，有0u11u2.(14分)因为u，所以原方程有三个相异实根，即当t2时，函数h(x)有三个零点(16分)1. 已知方程2x4x的根在区间(k，k1)(kZ)上，则k的值为_答案：1 解析：设f(x)2xx4，则f(x)在(，)上递增因为f(1)10，所以方程的根在(1，2)上，即k1.2. 已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1) 判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2) 若yf(x)在区间(1，0)及(0，)内各有一个零点，求实数a的取值范围解：(1) “对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2) 依题意，要使yf(x)在区间(1，0)及(0，)内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围是.3. 已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b1)在区间2，3上有最大值4，最小值1，设f(x).(1) 求a，b的值；(2) 不等式f(2x)k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；(3) 方程f(|2x1|)k(3)0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围解：(1) g(x)a(x1)21ba，当a0时，g(x)在2，3上为增函数，故当a0时，g(x)在2，3上为减函数，故 b1， a1，b0.(2) 由(1)知g(x)x22x1，f(x)x2.故不等式f(2x)k2x0可化为2x2k2x，1()22k，令t，可得kt22t1