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小学数学应用题解决的理论模型：基于阅读视角11级课程与教学论 陈筱媛 引言培养学生的问题解决能力是义务教育数学课程的重要目标之一，应用题不仅可以训练小学生的数学思维，而且可以提高小学生的问题解决能力。美国数学教育家波利亚（George Polya）在怎样解题中提出了解题的四个步骤：理解问题，制定方案，实施计划，回顾检查。理解问题是解题的第一步，也就是审题，审题即是学生对应用题进行文字理解，获得信息的认知过程。可见，小学生对数学应用题解决所面临的问题，不仅仅是数学计算技能，而更大的是对于应用题文字的理解，如何将应用题文字转译为数学符号和数学算式，因此，数学应用题的阅读理解成为关注的重要一隅。而这一问题在实践中究竟应该怎样教学？这是对于教育研究者和一线教师都值得思考的问题。最近，美国的研究者罗伯特卡普拉罗（Robert M. Capraro）等人，研究了1974年到2009年有关数学应用题解决与阅读认知研究的相关文献，在此基础上提出了阅读与数学的理论模型，这个理论的形成和建立在数学和阅读的认知过程的相互关系，把阅读作为一种工具，增强数学应用题的解决能力。本文介绍了其提出阅读和数学认知模式，并对之加以评析，以期为我国的应用题教学策略获得启发意义。 一、研究背景（缘起） 数学应用题又称为数学文字题(mathematical word problems)，是以现实世界中的事件与关系为题材，用自然语言叙述，以执行数学运算为主的问题 康园园.近年国内小学数学应用题解决研究的评述J.成都大学学报:教育科学版,2008,22(10):20-23.。小学数学应用题的研究一直是数学教育研究中重要的主题。涉及应用题解题的认知心理研究，应用题教学策略研究等。数学作为一种特殊的语言，而数学应用题是以文字信息呈现的问题，包含特殊的语义关系和数学变量关系，如果学生阅读能力不足，会导致数学应用题解题困难。 （一）应用题语句中渗透变量关系 整个小学阶段的应用题教学内容主要是以算术应用题为主，可分为涉及加减运算的加减应用题和涉及加减乘除运算的算术应用题。如一个两步运算的应用题包含两个变量名的数字关系。第一个句子包含关于第一个变量名的赋值语句，第二个句子包含第二个变量名和第一个变量名之间关系的关系语句，第三个句子会针对第二个变量名的数量提问（如小明有4个苹果，小红比小明多5个苹果，请问小红有多少个苹果？）。 （二）应用题包含不同程度的语义关系 Greeno、Riley等根据增加、减少、合并、比较等概念知识，按语义关系将加减算术应用题归为三种类型：（1）引起变换问题( cause- change problems)。变换问题描述了加减这种操作引起的事物在数量上的增加或减少。比如“乔有3个弹球，汤姆给了他5个弹球。乔现在有多少个弹球？”（2）组合问题(Combination problems)。组合问题中有一个并不变化的量，问题解决者需要做出合并或分解。比如“乔有3个弹球，汤姆有5个弹球。他们俩一共有多少个弹球？”（3）比较问题(Comparison problems)。比较问题是比较两个不变的量的大小。比如“乔有3个弹球，汤姆比他多5个弹球。汤姆有多少个弹球？”这种区别的价值在于能直观地确定问题的难度，因为尽管有些问题有相同的算术结，但概念结构不同，因而对于儿童来说，难度就不同。 （三）阅读能力不足导致小学生解题障碍 阅读理解在数学学习过程中十分重要。一线教师通过多年教学实践发现，在做数学应用题时，如果由教师读题，学生们一般都能顺利理解题意，而由他们独立完成题目，则往往会出现各种不同的错误 刘 佳.小学生在数学题阅读方面的问题及对策J小学生教学实践.2011(6). 。这说明，小学生的数学阅读能力存在着不足之处，以至于不能准确理解题意，从而导致应用题解题障碍。因此，如何培养学生的数学阅读能力，通过阅读促进小学生的问题解决能力，成为了研究者和数学教师关注的问题。 二、小学数学应用题解决的理论模型 根据近期（2009），美国教育进展评估的资料显示，自从2007年开始小学四年级学生的数学成绩整体没有提高。这使得小学四年级的数学教学备受关注。美国的研究者罗伯特卡普拉罗（Robert M. Capraro）等人，综述了以往有关数困生（mathematics difficulties）和共症生（mathematics and reading difficulties）的研究发现，数困生问题解决能力超过共症生，共症生应用题解题表现最差1，进一步说明我们应关注与应用题相关联的阅读问题。另一方面，研究发现小学低年级的数学学困生比共症生占有更大的比例(Jordan 等2002），数困生仅仅趋向于缺乏某一方面的数学思维，而共症生在数学思维上有普遍缺乏的现象（Jordan和Hanich2000)。研究需要进一步，来确定哪一个认知过程在很大程度上使得仅数困生(MD)和共症生（MD / RD）表现不同，以及那个认知过程使得阅读障碍或者是语音加工障碍，在调节上表现差异2。阅读与数学学习有着密切的联系，在实证研究和理论研究中需要一个整合数学和阅读的理论框架。因此，近期美国的研究者罗伯特卡普拉罗（Robert M. Capraro）等人对前人有关整合阅读与数学认知成分的研究进行了元分析，包括实证研究和理论研究，保留实证研究中最大效应的认知成分，以及理论研究中有预期结果和假设的适用于小学生的整合数学和阅读的明确模式，进行分析和简化，形成了一个集成的认知策略，通过发展和细化一个可行的理论框架，促进阅读来解决数学问题，用以提高数学概念的理解。 这一理论框架的提出是基于一定的理论基础。 （一） 理论基础 数学不仅是用于发现的工具，而且是一门交流的语言，然而，数学的语义特征和句法结构使得学生难以掌握 (Esty 1992)。小学高年级的学生从非语境化算法的解释转移到复杂情景化问题解决的理解，数学学习开始从算法的焦点转移到数学思想的理解和数学概念的归纳(Ashlock 2001)，小学高年级学生都处于数学学习的关键期，这说明通过阅读理解和推理能力，派生出数学算术表达式，提高应用题解决的迫切性和必要性；其次，数学和阅读认知存在共享的认知技能，这使得整合理论成为可能。 1. 小学高年级学生处于数学学习的关键期 小学高年级学生学习期望是，通过使用阅读认知策略，能够发展和深化内容知识。也就是说，处理数学应用题，理解内容文本意味着能够成功地解释对文本的理解，并且为执行过程策略做好部署(Scammacca et al. 2007; Vaughn and Coleman 2004)。研究表明小学高年级数学和阅读困难的学生，通过提高阅读能力，加强解决复杂问题的认知表征，可以使他们成功解决数学问题 (Baxter and Reddy 2007; Geary 1993; Heilman et al. 2002)。1.1 小学高年级数学课程对阅读认知的要求很多数学学习很好的小学生可能会经历“四年级衰退”(Chall et al. 1990)，因为阅读需求已经转变为阅读学习。小学生进入高年级，数学和阅读技巧两者因素，使得他们在数学学习上产生差异(Fuchs et al. 2004; Swanson and Jerman 2006)。一方面，小学高年级的数学和阅读内容经历了较大的课程变化，这对学生阅读和从文本中学习提出了更高的认知技能(Chall 1996)。另一方面，小学高年级课程，数学算法内容变得较少，学生解决复杂的问题更多依赖于解释文本和阅读理解。 1.2小学高年级阅读和数学认知的语境化因为小学生阅读文本刚刚开始形成语境化，数学发展和认知还处于新生的水平，教师对高年级学生应用题转变教学是最合适的时间，也就是维果茨基(1978)所谓的学生的最近发展区，他认为在这个范围能够最快速度的促进学生发展。其次，认知科学家一直认为，学习发生在一定的情境中是至关重要的(Godden and Baddeley 1975)。（Collins et al.1989）认为，当所教的技能和概念独立于学生的现实生活环境和情境时，认知能力没有获得太大的发展。就如他们(Brown et al. 1989, p. 32)所说“情境通过活动也许可以共生知识，学习和认知是否能够共同发展，从根本上，这值得讨论。” 2. 数学和阅读共享的认知技能阅读和数学之间存在着共享的认知技能，包括连接已知知识、词汇知识和元认知策略。 2.1 阅读解码词语，连接已知知识阅读所需要的技能，同样是阅读数学问题所需要的，学生必须能够解码多音词语，与他们已知的新概念进行连接，总结选择的概念，组织信息和读取记忆(Readance et al. 1998)，数学教科书中没有支持学生获得和使用，以及在学习中需要转化的这些技能。例如，了解线性方程和代数关系是学生成功学习高等数学概念的基础。小学高年级学习或者中年级学生需要为深刻理解和流畅性理解线性方程，开发专业技能 (Silver 2000)。因此，理解学生熟练地将书面和口头线性方程转化为，更为概括化的形式和解决方案是很重要的。 2.2 词汇认知负荷影响数学问题解决在数学问题中的词汇是高度专业化，富有挑战性的认知，更需要的是读者的评判性阅读技巧(Gardner 2007)。通常不熟悉的词汇承载着大量的内容负荷，之前没有看过或者听过，并且会有多个含义。例如，一篇100字的叙述文中，学生不识的单词多达10个，也可以保持足够的理解。一篇数学文本，准确地认识其中90%的单词，可能会造成理解不顺畅，因为在那些未知的词语可能对于解决这个问题至关重要。学生必须能够解码词语和了解词语对于问题的作用，此外，他们必须理解专业数学词汇，以便数学地交流和数学地思考 (Bryant et al. 1999;Samuels and Flor 1997; Zevenbergen 2000)。国家评估局已经反复显示，年轻的和年老的学生发现数学问题，包含了困难的无关信息(Carpenter et al. 1988; Kouba et al. 1988; Kouba and Wearne 2000)。大量数学问题解决研究着手于问题解决中词语意义的心理表征，然而，很少的工作是关注于学生用来区分什么是无关紧要信息的认知策略。因此，数学问题阅读中还需要区分无关信息的认知策略。 （二）理论模式 两个认知理论模式包涵不同的认知组件，侧重点也不一样，识别模式是基于分步练习的直接教学，体现的是影响学生应用题阅读的词语识别的认知成分；而生成模式是应用题解决的认知需要，是关于应用题故事结构的组织，解释故事文本，提炼数学问题，体现的是影响学生产生应用题解决方案的认知成分。 1. 识别模式这个识别模式中的认知成分是基于分步练习的直接教学(Blair et al. 2007)。学生在阅读和口头重复述文章时，获得指导和反馈能使得他们能够成为更好的阅读者。嵌入数学概念的口头重复阅读能够大大促进他们阅读相似数学内容的文字识别、速度、准确性和流利度，在阅读其他信息文本时也同样如此。这些组件增强学生数学里阅读的经验，从而导致整体识别文字的数量不断增长，从而使学生建立几十个常用数学词语的自动刺激反应模式。1.1 识别模式的认知组件研究表明，应用题阅读中文字识别、词汇和语义、语法的认知特征至关重要(Capraro et al. 2007)。这些认知特征可能影响学生阅读的流利度（例如，反复阅读，押韵，歌曲），和理解语言结构（例如，动词，主语或者名词一致性和语素） 。并且能支持和加强数学问题概念化。 菲尔德和李塞尔 (Littlefield and Riesers1993) 研究了识别信息的语义功能特征模式，强调这些特征的极其重要性。学生成功地分析问题文本和问题语义单位，包括行为，实施者（实施行为的人或事物），影响的对象（这些通常与测量单位相对应），还有时间和行动的地点。学生通过搜索问题文本发现相关信息，并且匹配那些问题文本中问题要求的语义特征的价值。这些策略与那些有好的文字识别技巧但缺乏认知理解的阅读者的策略是相同的。这些学生表现的文字水平特征，反映他们不能激活先前知识而获得意义(Afflerbach et al.2008; Jetton et al. 1995)。图1：识别模式的认知组件 1.2 提高应用题词语识别的学习策略 1.2.1应用题完形填空修改完形程序是一个实例，学生必须超越表层意义的理解，在每个空格中填写正确的单词，解决应用题，并且经常要通过使用在空格中词语或者数学来解释确定其概念化。这样的特性都集中在文本和意义特征的语法和语义上，和字词/数字选择的图形特征上。字词选择不仅语法上要正确，而且要使得数学问题概念产生意义（语义上）。例如，_个男孩去商店买糖果，每个糖果1元，他们一共有10.00元钱。_个人分两个糖果棒，_个人分一个糖果棒。他们需要买_个糖果棒。 1.2.2词语分类分类是另一种与这三种语言特征（语法、语义和文字识别/词汇）联系紧密的策略。增加文字识别能力的一个非常成功的技巧，就是鼓励学生单个或者小组进行词语分类，从而学会这些词。词语分类就是一种把词语卡分类到各种属性类别中（例如和，多少，总共，所有一起）。这些单词分类有助于学生识别模式，连接词类，并且鼓励数学编码。语言成分关注于语义线索类别的意义，这可以使得读者更好地理解和领会数学中的阅读。这些线索类别是数学概念化的关键。这些线索类别是数学概念化必不可少的梅尔(Mayer 1998)。Johnson and Pearson (1984)分类这些主要类型的语义线索供读者使用。这些类别修改之后如下：一、标志词语。学生在阅读数学文本中遇到的是这些词，如相等，是，和结合。诸如此类的词语通常用来提醒读者相等或者操作。二、同义词和反义词。当学生遇到未知数学词语，我们的教学将使用同义词或者反义词(例如，减法是加法的一种反义词，他们最近发展区支持他们问题解决的发展。三、总结报表。基于连接数学故事信息可能有多个解决方案，基于认知推理它们是可以预防的。 1.2.3理解语素学生理解语素也成为识别模式中一个重要的主题。词缀(前缀、后缀和屈折的结尾)绑定语素，必须附加上一个自由语素或基本单词。一些常见的前缀和后缀（词缀），基本单词和词根可以帮助学生辨别，数学中遇到的许多可能有点深奥单词的精确含义。例如，如果学生只是学习英语的最普遍的四种前缀(相反，重，表示不)(un-, re-, in-, dis-)，所有有前缀英语单词，其中的三分之二，对他们来说，将有重要意义的线索(Armbruster et al. 2001)。 1.2.4反复朗诵流利度是阅读认知成分中的重要特征。流利度涉及阅读理解的范围是80 - 140个单词/分钟 (Kuhn 2005; Kuhnand Stahl 2003)，使读者信息块成加工处理成有意义的单位。流利度从事导致理解的词语识别、词汇、语法和语义(见图1)的编排工作。反复朗诵的出现成为有效的技巧，(1)学生阅读和重读一个文本直到他们发展为熟练(通常每分钟80到100字文本板块需要加工处理为可理解的单元)和(2)通过使用录音带，教师和同行的指导增强朗诵实践。 2. 生成模式 生成模式的认知成分反映了学校阅读理解教学的基本特征。读者应该理解：（1）使用他们的背景知识，评价他们所读的内容。（2）使用知识目标和意图阅读整理出什么是重要的什么是不重要的。（3）了解文本的结构，帮助鉴别文章中的重要信息。这些特征反映阅读数学应用题的认知需要；学生应该确定他们所读的对于应用题解决方案的重要性。 2.1 生成模式的认知组件 生成模式（如图2所示）是读者关于通常如何组织故事的期望。故事的内部组织通过保留故事信息记忆加强读者的过程印迹，直到使这个故事有意义。一位读者的内部组织，对于回忆阅读了什么也是非常重要的。虽然叙事材料遵循一个传统故事结构，但是说明的写作组织可能会造成不同的潜在的困扰(Gordon and Braun 1983)(Gordon and Braun 1983)。解释性或是呈现信息风格的内容文本，应该更加紧凑，详细和更具解释性。然而，相对于解释性而言，数学问题的构件中更具有叙述性，语言特征典型代表了文本的叙述特征，并且其中嵌入了三个基本数学组件(Teubal 1975)：言语的概念化，数学关系，数学关系的象征。在小学高年级的数学问题进一步分析中，指出了他们的语言特性，他们的逻辑数学属性和符号表征。语言属性，例如是这个问题的字数或句子的平均长度(Lepik 1990)。逻辑数学属性例如，问题数量翻译成已知的数量，在解决问题的中间阶段需要被发现的确定值(Verschaffel et al . 2000)。 图2：生成模式认知组件 2.1.1故事组织故事组织成分在数学上最突出的认知是情节(Heilman et al. 2002)。故事情节的子部件，事件的起因，操作和结果都代表着一个插曲。数学问题大多数是在每个章节以时间情境呈现有关概念信息的文本，只有识别和理解这些情节才能获得解决问题的办法 (Kymes 2005)。故事情节的特性在这些数学问题具有类似之处，这些问题有初始状态、目标状态，和合法的问题解决操作者(sweller1988)。事件开端可能是事件发生的一个情节，或者由事件发生的角色的一个动作。行动是这个故事人物的计划如何来实现他或她的目标。结果是角色行动之后会发生什么结果。插话式的数学应用题依赖于算法关系。在数学中，一旦读者理解字面意义，通过他们解决问题建立个人的视觉表征。情境经验是建立在个人的经验和认知能力是为了(1)书面文本，(2)阅读内容，和(3)文本如何组织（Alexander and Jetton 2000）。巴顿和黑德玛(Barton and Heidema 2002)则认为，“数学很大程度上依赖于概念的理解，因此，一个有效的读者对数学概念要有一个清晰的理解，他们彼此是如何建立的，以及他们之间的关系是怎样的(p.11)。 2.1.2总结策略阅读和数学的总结策略是阅读和使得数学问题概念化的重要部分。在阅读中，总结要求读者(1)确定什么是重要的，(2)通过删除无关细节浓缩信息，(3)用自己的语言表达。在数学概念化中总结过程是相同的；然而，“用自己的语言表达“是从故事的信息衍生出问题的解决方案 (Rupley and Willson 1997)。 2.1.3元认知策略元认知需要知道如何实现预期目标，知道什么时候达到了一个目标。当过程分解时，阅读监控策略可以使得读者理解和明了(Cross and Paris 1988)。元认知是与生成模式相关的另外一个关键因素。自我监控(监测和控制)是元认知理论的三大领域之一。这个问题在认知活动和解决问题中是一个资源分配。工作记忆(思考“完成”)收到它两个方面内容，感觉缓冲和长期记忆。工作记忆或者短期记忆最重要的方面是其有限容量。元认知策略为解决数学问题的记忆过程提供支撑，通过支撑工作记忆，数学概念知识以支持解决方案的继续进展。在阅读领域的元认知是一个支持数学问题概念化和数学问题解决中工作记忆。 2.2 应用题的生成模式例举数学应用题是将概念信息嵌入情景中而呈现的文本，这一点我们必须认识和了解以便获得解决问题的方案(Kymes 2005)。首先，事件开始是这样一个情节。它可能是由一个人物或一个事件的动作发生(比利希望得到一辆自行车作为生日礼物)。其次，有一个内在反应，感觉、思想、目标，或计划(但他并没有，因此决定为自己买一辆自行车制定一个计划)。再次，行动就是故事的人物是如何计划实现他或她的目标(他决定工作在附近打7天零工，设法攒下足够的钱来买他的自行车)。第四，人物行动会发生什么结果(他周一赚了2美元，周二赚了4美元，周三8美元，周四赚了16美元，周五赚了32美元)。第五，反馈是一个结果或更早的行动的反应，以及他们之间密切相关(他有足够的钱买一辆价值250美元自行车吗？他还有钱剩下吗？)。三、小学数学应用题解决理论模式的评析 识别模式和生成模式对于数学应用题解决具有重要的意义，但是有一些问题仍然值得我们思考，以免进入实践的误区。（一）词语的多重含义混淆数学问题 识别模式组件，强调文字和词语识别，这容易使学生完全理解手头的任务，但是有时难以理解从而反过来混淆数学问题。例如，一项研究确定问题而进行高风险测试，一个州近85%的六年级学生回答错误。被确认为有问题的一个词语，导致大约63%应对问题错误。当问题是重组概念化的和更改为一个更常见的词语，只有23%的一个代表性样本回答错误(Matteson 2007)。潜在地担忧就是，词语的多重含义造成理解障碍。这在小学用题中有时是出现的，例如 （二）故事图式转化为数学算法要注意意义的获得 学生在故事图式和文本组织中，开始将语言组织成有意义的数学思想。文本组织在语法上是不同的，所以这个是故事图式。故事图式的思想显然不同于阅读段落，但这里的目的是通过让学生有能力解释故事图式和理解文本组织的语法差异，并能将这些词语编码成为“数学摘要”或一个数学方程从而产生可接受的解决方案。阅读摘要的目的在于读者用自己的语言简短地解释段落。数学摘要采用的形式是数学方程式，这是一种和语言表达一样的意思的方式，伴随着简约的数学句法和语义(Capraro et al.)。学生们需要将所有的模式成分放到一起能够总结出数学摘要，以及能够认识到如何方程在数学上等价于这个文字问题。(解码+分块+理解)=数学算法，也就是说数学算法等于解码的数量，分块，再加上理解(cf.Rupley 2006)。从方程上看，文本翻译成词语，证明数学语言遵循自己的语法和符号，并与学习阅读是平行的。然而，这个方程，像文本中提取词语一样，意义只是很少的一部分。也就是，当学生不理解算法（规则）时，他们不能获得有意义的信息。因此，文本使得写下的文字和数学的句子有意义。儿童必须学会连接阅读和数学认知策略使得如今的解决问题活动有意义。（三）适用人群的局限性 这个理论模式对于特定文章总体的元分析，这种模式并不一定是适用于一般人群的教育，因为元分析的文章中缺乏有关普通学生的研究。所以，该模型更适应于童年早期的教学，以及一般适用于那些以阅读作为中介学习的数学学困生。所以，期待进一步的研究可能探索普遍的适用性，以及学生的阅读困难程度。 四、对我国小学数学应用题教学的启示 数学的应用题教学不能仅仅只关注程序性知识的教学，还应该关注“在真实情境中,对于这些运算以及这些运算所具有许多不同但又相关意义的整合理解。我国应用题教学一直是研究研究者和一线教师关注的话题，我们一直更多的是关注于数学算法，帮助学生知道采用什么样的数学方法计算，而为什么采用这种方法，以及如何从应用题中获取算法的意义，需要我们进一步探讨。而这一理论模式对我国小学数学应用题教学具有启发意义。 （）引导学生养成认真审题的习惯应用题教学中教学生审题，解答应用题的首要环节和前提就是理解题意，即审题。读题必须认真，仔细。通过读题来理解题意，掌握题中讲的是一件什么事?经过怎样？结果如何？通过读题弄清题中给了哪些条件？要求的问题是什么？研究表明，很多数学学困生不会解题往往缘于不理解题意。一旦经过老师的引导了解题意后，其数量关系也就变得更加清晰了。因此，从这个角度上讲，理解了题意就等于做出了题目的一半。教师在教数学学困生审题的时候，可以告诉他几个步骤：通读题目，了解大意；找出已知条件；明确所要求的结果；思考是否存在隐含条件和多余条件。明白三个转化：文字向事理的转化，事理向算理的转化，算理向算式的转化。让学生记住这几个步骤，可以更好、更全面地审题，深入分析题目中的各种数量关系。 （二）用自己的语言分析应用题信息 首先，再读一遍问题，在读中对问题的理解更深入一层