2018年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算学案新人教A版.docx

第3课时三角形中的几何计算学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)自 主 预 习探 新 知1三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)Sabsin Cbcsin_Acasin_B；(3)S(abc)r(r为内切圆半径)思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示(1)适用三角形的面积公式对任意的三角形都成立(2)能利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解2三角形中常用的结论(1)ABC，；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，sin cos ，cos sin .基础自测1思考辨析(1)公式Sabsin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()答案(1)(2)(3)提示：已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错2下列说法中正确的是_(填序号)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S(abc)r；(2)在ABC中，若cb2，SABC，则A60；(3)在ABC中，若a6，b4，C30，则SABC的面积是6；(4)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则AB. 【导学号：91432075】(3)(1)中三角形的面积S(abc)r.(2)由Sbcsin A可得sin A，A60或120.(4)在ABC中由sin 2Asin 2B得AB或AB.3在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积_9由题知A1801203030，由知b6，Sabsin C189.4在ABC中，ab60，SABC15，ABC的外接圆半径为，则边c的长为_. 【导学号：91432076】3由题知SABCabsin C15得sin C.又由2R得c23.合 作 探 究攻 重 难三角形面积的计算在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A，b.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积解(1)角A，B，C为ABC的内角，且B，cos A，CA，sin A.sin Csincos Asin A.(2)由(1)知sin A，sin C.又B，b，在ABC中，由正弦定理得a.ABC的面积Sabsin C.规律方法1由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算跟踪训练1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，求ABC的面积解由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.三角恒等式证明问题在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：.思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开证明法一：(边化角)由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，整理得：.依正弦定理有，.法二：(角化边).规律方法1三角恒等式证明的三个基本原则：(1)统一边角关系(2)由繁推简(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形跟踪训练2在ABC中，求证：. 【导学号：91432078】证明由正弦定理得右边左边原等式成立解三角形中的综合问题探究问题1.如图1235所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？图1235提示：在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC的内角，又是ABD的内角2在探究1中，若sin Bsin ADB，则ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知ABm，DCn，如何求出AC?提示：若sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中求出AC，也可以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积.【导学号：91432079】思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解解(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，所以sin Bsin Csin Bcos B，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，因为0B，0C，从而BC.(2)因BCA，所以B，C.由a，A得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面积Sbcsin Asin sin cos sin .母题探究：(变条件，变结论)将例题中的条件“A，bsincsina”改为“ABC的面积S(a2b2c2)”求：(1)角C的大小；(2)求sin Asin B的最大值解(1)由题意可知absin C2abcos C.所以tan C，因为0C，所以C.(2)由已知sin Asin Bsin Asinsin Asinsin Acos Asin Asin，当A，即ABC为等边三角形时取等号所以sin Asin B的最大值为.规律方法1解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用当 堂 达 标固 双 基1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A.B.C. D.C因为SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故选C.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆直径为()A4B60 C5D6CSABCacsin Bcsin 45c2，c4，b2a2c22accos 4525，b5.ABC的外接圆直径为5.3设A是ABC中最小的内角，则sin Acos A的取值范围是() 【导学号：91432081】A(，) B，C(1，) D(1，Dsin Acos Asin.A为ABC中最小内角，A，A，sin，sin Acos A(1，4在ABC中，已知B，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6，则AB的长为_5在ADC中，AD10，AC14，DC6，cosADC.又ADC(0，)，ADC，ADB.在ABD中，由正弦定理得，AB5.5已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin