2017年中考数学《一元二次方程与分式方程》专题练习含解析.doc

一元二次方程与分式方程一、选择题1下列命题：若a+b+c=0，则b24ac0；若ba+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3其中正确的是（）A只有B只有C只有D只有2四边形ABCD中，ABCD，且AB、CD长是关于x的方程x23mx+2m2+m2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A矩形B平行四边形C梯形D平行四边形或梯形3正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（12a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不能确定二、填空题4已知方程（m24）x2+（2m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是5已知关于x的二次方程（12k）x22x1=0有实数根，则k的取值范围是6菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为7若关于x的方程有增根，则m的值是8方程的解是；若关于x的方程1=0无实根，则a的值为三、解答题9阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：10已知：关于x的一元二次方程mx2（3m+2）x+2m+2=0（m0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2）、若y是关于m的函数，且y=x22x1，求函数的解析式，并画出其图象（画草图即可，不必列表）11若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于12如图，直线l的解析式为y=x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0t4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记MPN和OAB重合部分的面积为S2；当2t4时，试探究S2与之间的函数关系；在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为OAB的面积的？13A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象14某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值15要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化（1）设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由16如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP已知动点运动了x秒（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒x1秒，试求MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值（3）若0秒x3秒，MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题1下列命题：若a+b+c=0，则b24ac0；若ba+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3其中正确的是（）A只有B只有C只有D只有【考点】抛物线与x轴的交点【专题】压轴题【分析】小题利用移项与变形b24ac与0的大小关系解决；处理第小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况【解答】解：b24ac=（ac）24ac=（ac）20，正确；若ba+c，则的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；b24ac=4a2+9c2+12ac4ac=4（a+c）2+5c2，因为a0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b24ac0，正确；二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确故选B【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数2四边形ABCD中，ABCD，且AB、CD长是关于x的方程x23mx+2m2+m2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A矩形B平行四边形C梯形D平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形【分析】AB、CD长是关于x的方程x23mx+2m2+m2=0的两个实数根，即判别式=b24ac0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状【解答】解：a=1，b=3m，c=2m2+m2=b24ac=（3m）241（2m2+m2）=（m2）2+40方程有两个不相等的实数根ABCD，ABCD，四边形ABCD是梯形故选C【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解3正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（12a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）0，求出a的范围，结合一元二次方程的，来判断根的情况【解答】解：由题意知，（a+1）0，解得a1，4a4因为方程x2+（12a）x+a2=0的=（12a）24a2=14a50，所以方程有两个不相等的实数根故选A【点评】（1）正比例函数y=kx，当k0，图象过二、四象限；k0时，图象过一、三象限（2）一元二次方程的0时，有两个不相等的实数根（3）本题要会把a1转化为14a5二、填空题4已知方程（m24）x2+（2m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m2【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可【解答】解：方程（m24）x2+（2m）x+1=0是关于x的一元二次方程，m240，m2【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程5已知关于x的二次方程（12k）x22x1=0有实数根，则k的取值范围是0k1且k【考点】根的判别式【专题】压轴题【分析】二次方程有实数根即根的判别式0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围【解答】解：因为关于x的二次方程（12k）x22x1=0有实数根，所以=b24ac=（2）24（12k）（1）=44k0，解之得，k1又因为k0，12k0，即k，所以k的取值范围是0k1且k【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质【专题】几何图形问题；压轴题【分析】边AB的长是方程x27x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长【解答】解：解方程x27x+12=0得：x=3或4对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；菱形的边长为4菱形ABCD的周长为44=16【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可7若关于x的方程有增根，则m的值是2【考点】分式方程的增根【专题】计算题【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值【解答】解：方程两边都乘（x1），得m1x=0，方程有增根，最简公分母x1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2故答案为：2【点评】增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值8方程的解是x=0；若关于x的方程1=0无实根，则a的值为1【考点】分式方程的解【专题】计算题【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x2），去分母，化为整式方程求解分式方程1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解【解答】解：方程两边同乘2（x2），得2x2=x2，解得x=0经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1（x1）=0，即a+1（11）=0解得a=1（2）方程两边都乘（x1），得ax+1（x1）=0，化简得：（a1）x=2当a=1时，整式方程无解综上所述，当a=1时，原方程无解【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形三、解答题9阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：【考点】解分式方程【专题】阅读型【分析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+=c+的解为x1=c，x2=，据规律解题即可【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，方程成立；的解是x1=c，x2=；（2）由得，x1=a1，x1=a，x2=【点评】解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：x+=c+的解为x1=c，x2=10已知：关于x的一元二次方程mx2（3m+2）x+2m+2=0（m0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2）、若y是关于m的函数，且y=x22x1，求函数的解析式，并画出其图象（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程公式法；解一元二次方程因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式【专题】计算题；证明题【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x22x1中，得出关于m的函数关系式，根据m0，画出函数图象【解答】解：（1）若m=1，方程化为x25x+4=0即（x1）（x4）=0，得x1=0或x4=0，x1=1或x2=4；证明：（2）mx2（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，=（3m+2）24m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2m0，（m+2）20，即0方程有实数根；解：（3）由求根公式，得或x=1=2+m0，=2+2x1x2，x1=1，即为所求此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目11若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75或15【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30，则底角是75；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30，则底角是15；所以此三角形的底角等于75或15【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形12如图，直线l的解析式为y=x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0t4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记MPN和OAB重合部分的面积为S2；当2t4时，试探究S2与之间的函数关系；在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为OAB的面积的？【考点】一次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）在解析式y=x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MNAB，得到OMBOAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2t4和当0t2两种个情况进行讨论【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4A（4，0），B（0，4）；（2）MNAB，OM=ON=t，S1=OMON=t2；（3）当2t4时，易知点P在OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN=2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则4h=44，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2t4时，点P在OAB的外面F点的坐标满足，即F（t，4t），同理E（4t，t），则PF=PE=|t（4t）|=2t4，所以S2=SMPNSPEF=SOMNSPEF，=t2PEPF=t2（2t4）（2t4）=t2+8t8；当0t2时，S2=t2，t2=，解得t1=0，t2=2，两个都不合题意，舍去；当2t4时，S2=t2+8t8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为OAB的面积的【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质是一个难度较大的综合题13 A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象【考点】一次函数的应用【专题】压轴题【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b把图象经过的坐标代入求出k与b的值（2）根据路程与速度的关系列出方程可解（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇再由1得出y=90x+300设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b 图象经过点（0，300），（2，120），解得，y=90x+300即y关于x的表达式为y=90x+300方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120所以，这条高速公路长为300千米甲车2小时的行程为300120=180（千米）甲车的行驶速度为1802=90（千米/时）y关于x的表达式为y=30090x（y=90x+300）（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米甲乙相遇用时为：300（90+60）=2，当0x2时，函数解析式为s=150x+300，2x时，S=150x300x5时，S=60x；（3）在s=150x+300中当s=0时，x=2即甲乙两车经过2小时相遇因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=90x+300中，当y=0，x=所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为2=2（小时）乙车与甲车相遇后的速度a=（300260）2=90（千米/时）a=90（千米/时）乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力14某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值【考点】二次函数的应用；一次函数的应用【专题】压轴题【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=3x+3000（x0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（3x+3000）=24x2+21600x+2400000=24（x450）2+7260000，当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一15（2009潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化（1）设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质【专题】几何图形问题【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（603硬化路面的宽），宽为（402硬化路面的宽），由等量关系SP+SQ=S矩形ABCD4求得并检验（2）两等量关系2O1到AD的距离=40；2圆的半径+2圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（603x）（402x）=6040，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米（2）设想成立设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r