巧用几何变换解决四边形问题.doc

衿芃蒂蒀螅节膂蚅蚁芁芄蒈肀芀蒆蚃羆芀薈薆袂艿芈螂螈袅莀薅蚄袄蒃螀羂袃膂薃袈羃芅螈螄羂莇薁蚀羁蕿莄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芆蚆羁肆莈葿袇肅蒀蚄螃肄芀蒇蝿肃莂螃蚅肂蒄薅羄肂膄螁袀肁芆薄螆膀荿蝿蚂腿蒁薂羁膈膁莅羇膇莃薀袃膆蒅蒃蝿膆膅虿蚅膅芇蒁羃膄莀蚇衿芃蒂蒀螅节膂蚅蚁芁芄蒈肀芀蒆蚃羆芀薈薆袂艿芈螂螈袅莀薅蚄袄蒃螀羂袃膂薃袈羃芅螈螄羂莇薁蚀羁蕿莄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芆蚆羁肆莈葿袇肅蒀蚄螃肄芀蒇蝿肃莂螃蚅肂蒄薅羄肂膄螁袀肁芆薄螆膀荿蝿蚂腿蒁薂羁膈膁莅羇膇莃薀袃膆蒅蒃蝿膆膅虿蚅膅芇蒁羃膄莀蚇衿芃蒂蒀螅节膂蚅蚁芁芄蒈肀芀蒆蚃羆芀薈薆袂艿芈螂螈袅莀薅蚄袄蒃螀羂袃膂薃袈羃芅螈螄羂莇薁蚀羁蕿莄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芆蚆羁肆莈葿袇肅蒀蚄螃肄芀蒇蝿肃莂螃蚅肂蒄薅羄肂膄螁袀肁芆薄螆膀荿蝿蚂腿蒁薂羁膈膁莅羇膇莃薀袃膆蒅蒃蝿膆膅虿蚅膅芇蒁羃膄莀蚇衿芃蒂蒀螅节膂蚅蚁芁芄蒈肀芀蒆蚃羆芀薈薆袂艿芈螂螈袅莀薅蚄袄蒃螀羂袃膂 巧用几何变换解决四边形问题1.反射变换（轴对称）例1.试说明等腰梯形的两条对角线相等.方法一：（全等的观点）如右图，由等腰梯形的性质，可等（边角边），从而等到.方法二：（轴对称的观点）如右图，等腰梯形是轴对称图形，直线为其对称轴，则点，点关于直线成轴对称，（点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为）则线段关于直线成轴对称（线段可由线段通过反射变换得到），从而根据保形变换的特征，变换前后对应线段相等得到.2.平移变换例2.试说明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形方法一: （全等的观点）如右图,已知四边形中,试说明四边形是平行四边形.由得,再根据,公共边,可知(边角边),从而得到,.根据平行四边形的定义可知四边形是平行四边形.方法二:（平移的观点）通过平移变换来构造一组对边平行且相等的四边形,然后通过平移的特征得到所证的四边形是平行四边形.按照下面的步骤，画一个有一组对边平行且相等的四边形.步骤1：画一线段步骤2：平移线段到步骤3：连结得到四边形，其中由平移的特征（平移前后对应线段相互平行且相等）可知,即所得四边形满足一组对边平行且相等.而此时同样由平移的特征（平移前后连接对应点的连线相互平行）得到,则根据平行四边形的定义可知四边形是平行四边形.3.旋转变换例3已知正方形和正方形在的外侧,是边的中点,试说明线段与线段的数量关系和位置关系.方法一: （全等的观点） 分析:如右图,延长到点,使得,设法证明由此连接,则四边形为平行四边形,可得,由已知得,所以有,从而可得,（边角边）故有.由延长交于,可知,得到.具体过程略.方法二: （旋转的观点） 分析:把绕着点逆时针旋转,得到,由旋转的特征可知.则问题化归为考察线段和线段的数量和位置关系. 具体说明过程:延长到点,使得,连接.把线段绕着点逆时针旋转得到,连接.因为四边形是正方形,即所以可以看成由绕着点逆时针旋转得到.从而是由绕着点逆时针旋转得到.则,(旋转前后对应线段,对应角相等) 又因为, 所以四边形为平行四边形,进而得到,由正方形得到,即有,联合,得到. 又由正方形和正方形,得到由平行四边形得到从而,联系. 所以,即得,联系得到四边形为平行四边形,所以. 又因为,(旋转角)所以,即.四、对用几何变换来解决四边形问题的反思1.利用几何变换解决四边形问题的教学富有深刻的几何教学意义.对比利用全等三角形知识来解决四边形问题，利用几何变换解决四边形问题展示了欧氏几何动态的变换观念，充分体现了其内在的魅力.在传统的几何教学中往往是通过分析平面图形的组成和性质来培养学生的想象能力，要求学生能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系，这的确能培养学生的空间观念，但这只是空间观念的一个方面.描述图形的运动和变化是空间观念的又一重要方面.当图形在空间发生变换时学生要能想象并运用适当的形式描述图形的运动过程，以及图形在运动前后的变化.而利用几何变换来解决四边形问题的教学为我们提供了一个很好的载体，对学生进行空间观念这一方面的教育.2.几何变换为解决一些复杂问题提供了一种简洁的途径.根据三种保形变换的特征（反射、平移、旋转是三种保形变换），我们可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，这为我们解决有关几何位置关系的问题提供了一种简洁的途径.例如，要说明两条直线相互垂直，若把其中一条直线旋转，只要说明旋转后的直线与另一条直线相互平行即可.而要说明两条直线相互平行，平行四边形这个模型为我们提供了很多的途径（例3）.由此可见几何变换与平行四边形的内在联系也迫切要求我们用几何变换的知识来解决四边形的问题.3.用几何变换解决四边形问题时需要一些辅助技能.例如,能说明“三点共线”.例4 如右图，四边形是正方形，点分别为的中点，连接，试说明的位置关系.分析：由于，则可以把绕着点逆时针旋转得到，则，（在这里旋转前后对应线段所在的直线的夹角即为旋转角）只要说明，即可以得到.要说明只要说明四边形为平行四边形，这里是通过说明实现.而得到是因为，及点三点共线.事实上，由于（旋转前后对应角相等），故，即点三点共线. 薀袅衿芁螅螁袈莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒅袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿蒁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇肅膇莁袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羆芇莃蚀袂芆蒅蒃螈芅膅蚈螄袂莇薁蚀袁葿螇罿袀腿薀袅衿芁螅螁袈莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅蒅袄羂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿蒁蒂羁肈膁螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇肅膇莁袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁膁芄莈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羆芇莃蚀袂芆蒅蒃螈芅膅蚈螄袂莇薁蚀袁葿螇罿袀腿薀袅衿芁螅螁袈莄薈蚇羈蒆莁羆羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒀蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃羈羃莅