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数学解题的基本过程陕西师范大学数学系 罗增儒 710062029-85308872-mail：zrluo snnueducn我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯大家对这四个阶段应该都不陌生，但是，能够给学生说清楚、讲明白吗？比如大家都知道解题首先要审题，但是审题“审什么？怎么审？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题的关键是思路探求，但是探求“探什么？怎么探？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题书写很重要，但是书写“写什么？怎么书？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但是反思“思什么？怎么思？”能够给学生说清楚、讲明白吗？下面，我们一起来经历解题过程，从做一道最新高考题开始1 数学解题的热身例1 设，若时均有，则_（2012年数学高考浙江卷理科第17题，4分） 先请独立求解，然后分析两个学生的解法，最后交流你们的解法1-1 两个解法请辨析1-1-1 解法呈现 解法1 分为以下两种情况（两式同时非正或同时非正）：（1）当时，由已知，对有，两式相加消去，得，对成立这是不可能的，取就矛盾，即在这种情况下无解（2）当，由已知，对有，两式相加消去，得，对成立这是不可能的，取就矛盾，即在这种情况下无解所以，本题无解（或是一道错题）解法2 对分两种情况讨论（1）当时，由，有，从而 有 ，这时对，及， 有 ，得（2）当时，由，（）得 ，（）但时，故 ，（）取 ，即是方程的解，有 解得 合并得（请大家把想法写下来）1-1-2 解法分析第1、解法1的分析（1）解法1是“会而不对”思路有合理成分，但叫做“会而不对”一个反例便可说明其结论错误（必要性）取，由已知有，得反之（充分性），当时，对有 恒成立所以，本题有解，不是无解、更非错题（2）解法1的错误内容（主要说三点）：错误1：不能推出指由已知“不能推出”（1）、（2）仅当时，才能够由已知推出；仅当时，才能够由已知推出而当时，可以大于0、等于0、小于0（分五种情况，比较麻烦，但可以改写为两种情况，参见代数解法）错误2：构成矛盾无效其实分两种情况讨论的同时，也对作了两种情况的区分对第一种情况有，得 可见，这时取是无效的 对第二种情况有得 ，可见，这时取是无效的 所以，两种情况下构成矛盾都是盲目的、无效的错误3：心理沿袭和监控缺失分两种情况讨论的同时，也把分成与两种情况，其实在解法1有明显的透露：由，可得；由，可得但是解法1对此熟视无睹，两种情况下都依然沿袭，并由此出发去构成无效矛盾，这除有知识盲点、逻辑盲点外，还有视而不见的心理沿袭和反思监控的思维缺失 （3）解法1错误的性质：既有知识性错误，又有逻辑性错误，还有心理性错误，主要是逻辑性错误 第2、解法2的分析（1）解法2是“对而不全” 得出是对的，但过程有问题，叫做“对而不全”（2）解法2的错误内容主要出现在的情况错误1：在时，函数没有最大值，函数没有最小值，分别是上、下确界为（中学没有上、下确界，讲不清楚）错误2：在条件下推出，两者是互相矛盾的（3）解法2的错误性质：错误1是知识性错误，错误2是逻辑性错误 1-1-3 解法交流第一部分、代数解法代数解法1 分5种情况讨论（1）（）（2）（），（3）（），（4）（）（5）（）比较麻烦还可能避不开上下确界代数解法2 分2种情况讨论（1）当时，得矛盾无解（2）当时，得，且对均有所以得代数解法3 更换主元，看成关于的不等式，有（）比较的大小知：当时，有；当时，有（1）当时，解关于的不等式有，得 ，得（2）当时，解关于的不等式有，得 ，得综上的得当时，对均有所以为所求第二部分、数形结合数形结合 1 作出函数，的图像可以发现（如图1）， 图1（1）两函数图像都过定点（2）在的右半平面上，绕定点旋转直线可以看到，满足条件的图形只能是：两函数图像或同在下半平面、或同在上半平面，即两函数图像的另一交点在轴上 对函数，令，得零点，其中；把零点代入，得，解之，取大于1的解，得数形结合2 将看成主元，由原不等式可得，有 图2即直线介于两函数的图像之间( 如图2所示) ，故直线过两图像的交点( 2，3) ，有 ，得 第二部分、小题小解难得不会想简单的（必要性），取，有，得取，有，得反之（充分性），当，时 所以得其实，上面的解法都指向，抓住江湖上人称“一剑封喉”2 解题过程的讲解如上所说，科学把握好“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”这四个阶段是一种良好的解题习惯这也是高考解题的基本过程，平时要四步全面抓，别忘了“回顾反思”，考试临场则重在前三步“理解题意、思路探求、书写表达”2-1 理解题意理解题意也叫做“审题”或“弄清问题”，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息审题审什么？怎么审？我们说，要抓好审题的“三个要点、四个步骤”（1）审什么的“三个要点” 要点1：审清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站 要点2：审清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的要点3：审清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思应该是循环往复、不断深化的过程 题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示（2）怎么审的“三四个步骤”步骤1：读题弄清字面含义审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做步骤2：理解弄清数学含义看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解 步骤3：表征识别题目类型信息在大脑的呈现叫做表征弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶段思路探求解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来步骤4：深化接近深层结构简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“理解题意”因而，“理解题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“理解题意”、努力接近问题的深层结构 经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”（审题要慢、书写要快）题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连续进行、一气呵成的思考练习1：请思考下面各题中条件是什么、结论是什么例2 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 （2012数学高考江苏卷理科第10题，5分）三个条件？（1）设是定义在上且周期为2的函数；（2）在区间上，其中；（3）其实，（2）中有一个（隐含条件），可得解 因为，所以，可得由及，得，可得 也可以联立解出得这里有方程观点例3 设，若直线与圆相切，则的取值范围是（A） （）（C） （D）（2012年高考数学天津卷理科第8题）条件是什么？两个条件？（1）；（2）动直线与定圆相切 相切是文字语言，无法运算、难以推理，要明确其 “数学含义”如圆心到直线的距离等于半径（点到直线距离公式）联立方程得二次方程判别式等于0那么，算条件还是结论？我们算条件：（3）并非所有的都能使直线与定圆相切，题目的意思是，如果“存在”这样的，使直线与定圆相切，那么就把它们加起来求“和”，这个“和”组成一个集合，题目叫做“取值范围”结论是什么？求的取值范围文字语言“取值范围”的数学含义可以作两个方面的理解（充分必要）： 必要性 满足条件的和都在这个“范围”里；充分性 这个“范围”里的都满足条件解 直线与圆相切，则圆心到直线的距离为圆的半径1得 由基本不等式，有，即 ，解得 问题1 如果作为解答题要不要验证 时，直线与圆相切？是验证“所有的”，还是验证“存在”？ 问题2 原题可否改写为：例3-1 直线与圆相切的充要条件是问题3 是否赞成怎样的改写：例3-2 存在，使直线与圆相切，则之和的取值范围是（A） （）（C）（D）例3-3 存在，使直线与圆相切的充要条件是2-2 思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题可以分两步走：（如图）（1）努力在已知与未知之间找出直接的联系化归为已经解决过的基本问题对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改（运用解题策略：差异分析、以退求进、区分种种情况、正难则逆、以及自始至终的数形结合等） 图3 差异分析：通过分析条件与结论之间的异同、并不断减少目标差来完成解题的思考方法叫做差异分析法使用差异分析法有3个步骤：通过分析题目中所出现的元素及特征去寻找异同点，对目标差运用基础理论与基本方法作出减少目标差的某种反应，把减少目标差的调节积累起来、直至消除以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问题的一部分，看清楚、想明白了再进退是手段、进是目的，“难的不会想简单的”是个好主意在具体实践中，常常是进退互化区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决在具体实践中，常常是分合并用正难则逆：正面思考有困难时，可以调整思考的方向，转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反证法）在具体实践中，常常是正反相辅数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势（3）模式识别在求解高考题中的具体化：化归为课堂上已经解过的问题化归为往届高考题因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？中考解题一定要抓住“课本”这个根本因为课本是中考命题的基本依据有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求可以说，抓住了“化归为课堂上已经解过的题”就抓住了多数考题“化归为课堂上已经解过的题”的实质是化归为课堂上学过的内容与方法，以不变应万变思考练习2：请思考下列各题中的解题思路例4-1 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率为已知点到这个椭圆上的点的最远距离是求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的最远距离等于的点的坐标（1990数学高考文科26题、理科第25题，12分） （会而不对、对而不全的很多，如果把改为）例4-2 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点使得直线L：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由（2012数学高考广东卷理科第20题，14分）例5 余弦定理的两个话题例5-1 余弦定理记得住、会证明吗？（2011陕西高考题）思路1（向量证明）思路2（坐标证明） 如图4，在中，设，由向量数量积的定义,有 图4 （把向量变为坐标）（坐标运算，保持分母一致） （保持分子一致），（把向量变为数量）得 可见，余弦定理是向量数量积定义的一个特例或说向量数量积定义的合理性是余弦定理 如果在单位圆上，记，则 可见，余弦差角公式也是向量数量积定义的一个特例余弦定理、向量数量积定义、余弦差角公式三者是相通的（数学的统一性）例5-2 余弦定理的逆命题（怎样叙述，真假如何） 对应余弦定理的符号等式，交换条件与结论，可以给出逆命题为： 逆命题1 若为正实数，有，则对应的线段构成一个三角形，且边的对角为，边的对角为，边的对角为证明（略）逆命题2： 对于正实数，及，若有，则对应的线段构成一个三角形，且边的对角为证明 以，为两边夹角作三角形，有余弦定理得第三边为，但，故第三边就是，所以对应的线段构成一个三角形，且边的对角为例6 （）如图5，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；（8分）（）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明，12分） 图5 （2012年数学高考陕西卷理科第18题，12分）解法1 （略） 解法2 （略） 证明3 （三垂线定理及其逆定理的统一证明）如图6，记直线的方向向量为，有，又， 有， 得，即 图6（有了数量积的分配律三垂线定理就很简单了）例7 数列满足，则的前项和为 （2012年数学高考新课标卷理科第16题，5分）解法1 特殊化，取，则由有归纳知，的奇数项是恒为1的常数列；偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，故的前项和为 解法2 特殊化，取，则由有归纳知，是常数列0；是首项为1，公差为8的等差数列，是常数列2；是首项为7，公差为8的等差数列，故的前项和为 解法3 由已知有，得 所以，的前项和为解法2 设，由已知有 ，取，得，有同样，由已知有 ， ， ，由+，得，即 所以，的前项和为 说明 可见，数列的结构是这样的：（化归为等差、等比数列）分为四个子数列是常数列是首项为，公差为8的等差数列是常数列是首项为，公差为8的等差数列设 2-3 书写表达就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事意或不同意你看法的人）这当中可能会有某一步骤因忽视了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或触发新的灵感在实现计划中“怎样书写表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题我们建议（1）平时抓“15字口诀”和“24字要领”：抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范（2）临场抓“书写要快”和“分段得分”：在宏观上要有争分夺秒的速度意识，选择题、填空题要争取在一二分钟内解决（选择题“小题小做”、填空题“以快为上”），解决不了的就先跳过去（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考）；解答题中容易的题也不妨边想边写，节省草算时间，一般地，选择题、填空题与解答题的时间比可分配为4：6其次，具体到每一道题，一旦找到解题思路，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，更别画蛇添足（导致倒扣分），用阅卷教师的行话来说，就是要写出“得分点”，就数学题而言，一个原理写一步就可以了，至于不是题目要直接考查的过度知识，特别是那些初中知识，可以直接写出结论，须知，多写一步就是多出现一个犯错误的机会，就是多占用了后面高分题的一点思考时间，这意味着“隐含失分”或“潜在丢分”为了节约书写，我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件分段得分一道高考题做不出来，不等于一点想法都没有，不等于所涉及的知识一片空白，尚未成功不等于彻底失败问题是，如何将片段思路转化为得分点，从而“分段得分”分段得分的基本内容是：防止“分段扣分”，争取“分段得分”“会做的题不丢分，不会做的题拿足分”会做的题目，要力求不丢分情况表明，对于考生会做的题目，阅卷教师更注意找其中的毛病，分段扣回一二分，这时要特别解决好“会而不对、对而不全” 力求不丢分相反，对考生未能正确解答或未能完整解答的题目，阅卷教师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”部分理解的题目，要力求多得分对于多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分，其实质是多出现几个相关的知识点 从原则上讲，每一个考生做每一道题都不会一无所知，得零分的原因无非两条：没有时间做；不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了 分段得分的技术基础是解题策略分段得分的技术基础是解题策略在考试中的应用，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，暴露解题思考的真实过程就是分段得分的全部秘密分段得分的总体功能对于一道拿不下来的题目，实施分步得分的初衷是得部分分，但实施的过程也是解题策略的运用过程，正确策略的运用就带来了全题解决的前景所以，运用解题策略同时具有分段得分与全题解决的双重功能：进可全题解决，退可分段得分分段得分的主要技术有：缺步解答； 跳步解答；退步解答；倒步解答；辅助解答 思考练习3：请思考下面各题如何书写表达例8-1将个同学任意分两组，给两组之间的每两个同学都拉上一条绳子(同一组内的同学不拉绳子)，继续这过程，只要某组的同学数大于1，就把这组同学再随意分成两组，并给两组之间的每两同学再拉一条绳子，直至每组只有1个同学为止求过程结束时绳子的总数（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？）讲解 （1）探索：特殊化分组，发现结果对个同学作分组，用条绳子对个同学作分组，用条绳子依此类推，最后对2个同学作1+1分组，用1条绳子对这个特殊的分组，绳子的总数为（条）由此发现，这与“数线段”的结果是一样的当然，对任意分组是否成立还需要证明，但是，证明的目标已经有了命题 （数线段基本问题）平面（或空间）上有个点 ，两两连一条线段，共有条（2）类比：记得“数线段”的求解有一个乘法原理的视角：每一个点都与另外个点连线，个点计算便有条连线，但在这个计算中，每条线都重复计算了1次，故得现在来作类比，点对应着人，连线对应着拉绳子，每一个点都与另外个点连线对应着每一个人都与另外个人拉绳子，这样一来，思路应该是通的但是，怎么书写呢？先想一想 （3）证明：将个同学记为，任取其中1个同学（），当全体同学被分成两组时，与另一组中的每一个同学都拉有绳子，当所在的组继续分成两小组时，又与另一小组中的每一个同学都拉有绳子，依此类推，直至每组只有1个同学时，就与之外的个同学都拉有绳子令，可得但在这个计算中，每条绳子都重复计算了1次，故得绳子总数为条（4）感悟 本例中的同学拉绳子就是“数线段”中的点连线段，两两拉一条绳子的过程（两两连一条线段）会有多种方式，例8-1给出了其中一种方式如果把每一次分组拉绳子的条数再求和，则有例8-2将平面上的个点任意分成两堆，记下这两堆点数的乘积继续这一过程，只要某堆的点数大于1，就把这堆点再随意分成两小堆，并记下两小堆点数的乘积，直至每堆只有1个点为止求上述所有乘积之和解 将个点记为，当全体点被分成两堆作乘法时，我们将中每一个点都与中的点作连线，内部不连线，内部不连线，则连线的条数就是两堆点数的乘积任取其中1个点，并设点在内，则与内每一点都有连线，当继续分成两堆时，点又与另一堆中的每一点都有连线，依此类推，直至每堆只有1个点时，就与之外的个点都有连线令，可得条连线但在这个计算中，每条连线都重复计算了1次，故得连线总数为，即所有乘积之和为例9 多种方法求出图中有多少个小正方形（两组线均为等距平行线） 图7（这个图有一种对称性结构，可以有多种不同的书写，反映出来的思维层次是有区别的，写出你的解法） 讲解 思路1：从上到下求和解法1 代数求法：解法2 几何求法：变为正方形 图8思路2：从左到右求和解法3 代数求法：解法4 几何求法：图7对折为正方形图9 图9思路3：将图形对应为，由相似三角形面积比等于边长的平方比，有 ，得 ， 图10即所以，分成个小三角形例10 函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标。（）证明：；（）求数列的通项公式。（2012 年全国高考理科数学 22 题，12分）讲解 据知，本题0分7319%，最高分5分，平均043分原因是第（）问过不去，第（）问没开始其实可以先做第（）问，用第（）问证第（）问（跳步解答）2-4 回顾反思有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思，另一个学会解题层面的回顾反思 （1）解题层面的回顾反思：主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的有的检验是解题的必要步骤，检验之后，解题才算完成；有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关（2）学会解题层面的回顾反思：表现为解题后对数学题目本身及解题方法的重新认识如，解题中用到了哪些知识？哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法? 更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息，它的长期积累会升华为数学才华这是更深层次的回顾反思，已经涉及学会解题了 （3）高考要“立足一次成功，重视复查环节”高考的时间很紧张，不可能做大量细致的解后检验，所以，答题要立足于一次成功，稳扎稳打，字字准确，步步有据，努力提高解题的成功率，最好是每进行一步书写时，都用眼睛的余光扫视上下两行，顺便检验有无差错（步步检验）！有的考生上一行写，下一行变为 ，想填（），却填了（），还有是试卷翻页时忙中出错造成“方法全对，结论全错”，心是手非，实在可惜！如其匆匆忙忙做6题对5题，不如扎扎实实做5题对5题在这个基础上，还要有最后把关的检验这是解决“会而不对，对而不全”的一个有效措施检验应“以粗为主，粗细结合”，粗检验主要看题目有无遗漏，题意有无弄错，要求是否符合，具体到每一道题，要看解题过程是否合理，解题步骤是否完整，解题结果是否科学细检验就要具体看每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否正确无误？定理的条件满足了吗？公式的记忆准确吗？符号、数据抄对了吗？特别是在出现“”号的地方，一定要多留意，不要在移项、去括号时忙中出错为了提高检验的效率，还应熟悉检验的一些基本方法，防止每道题都简单地重复再算一次，我们建议大家尝试如下的复查方法：复查核对、代值检验、多解对照、逆向运算、观测估算、量纲检查、特值检验、条件检验、逻辑检验等例11 设数列的前项和为，满足，且成等差数列（）求的值；（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有（2012年数学高考广东卷理科第19题，14分）解 （）由，即 当时，得（）由，即所以，数列是首项为3，公比也为3的等比数列，故（）因为，（所以 以上过程自始没有至终用到“成等差数列”这一条件，显然这一条件是多余的（中学数学研究（广州），2012年第7期P19）你的看法如何？如果改为：“设数列的前项和为，满足，且成等差数列求的值” 情况如何？例12 已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点（2012高考数学福建卷理科第20题，14分） 讲解 （）由知，曲线在处的切线斜率为，得，即此时，由，得，有（1）当时，函数单调递减，故单调递减区间为（2）当时，函数单调递增，故单调递增区间为你对第（）问的求解有什么看法？说明 当时，问题来了：计算得出过点在轴上，该处的切线重合于轴，与题目说的“在点处的切线平行于轴”到底有没有矛盾？有人说“同一平面内，且没有公共点的直线叫平行线”，而重合有无数个公共点，有矛盾，是错题；有人说“重合可以是平行的特例”，虽然不承认“错题”，也只肯定到“不要紧”这至少在客观上有了歧义（歧义题），若提前发现肯定会修改比如改为：在点处的切线斜率为0，或在点处的切线垂直于轴第（）问（略）（被上了黑榜）3 数学解题的完整示例2012年高考数学陕西卷文、理科最后一题（第21题）都有一问是“双变量恒成立题型”，我们将其整理为：例13已知二次函数，若对任意的，有，求的取值范围此处重点探讨“双变量恒成立题型”的解题思路，分步作讲解如下3-1 弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有2个： （1）给出上的二次函数这时，二次函数的相关性质可以视为已知比如，图象的开口向上，对称轴为，最大值为，最小值需分类讨论：或为（当时）、或为（当时）等这些性质在尔后的解题中可能用到、也可能用不到，没关系，理解题意时都要进行广泛的收集与动员（2）这个二次函数满足：对任意的，有这句话可以运算为，但继续操作有困难（细节决定成败见解法3），因此，对这句话的数学含义作更便于操作的理解是本题求解的一个关键我们说，