工学]第五章 频率响应法.ppt

5-3 频域稳定判据（奈氏判据）,（1）根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统 稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相 位环节(如延迟环节)也能判断。 （2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特 性来判断闭环系统的稳定性，使用方便。 （3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途 径(环节类型和参数变化)，因而这种方法在 工程上获得广泛的应用。,奈氏判据特点：,闭环传递函数为,为了保证系统稳定，特征方程 的全部根,都必须位于左半s平面。,虽然开环传递函数G(s)H(s)的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。,闭环系统稳定的充要条件：,奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应,与,联系起来的判据。因为闭环系统的稳定性可由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以该方法在控制工程中得到了广泛应用。,奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的 幅角原理的基础上 。,假设开环传递函数G(s)H(s)可以表示成s的多项式之比，对于物理上可实现的系统， 传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统G(s)H(s)的极限，或趋于零，或趋于常数。,在右半s平面内的零点数和极点数,实验表明,对于所有实际的物理系统或元件，当正弦输入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。这说明对于实际的物理系统，当w很大时，|G(jw)|一定很小。 以此为基础，解释为什么实际物理系统传函的分子阶次应比分母阶次低。假定分子的阶次比分母高，如：,结果与实际情况相矛盾,如果碰到一种元件的传函分子阶次高于分母，它指的一定是在一个指定的频率范围内的近似传函。,反证法：,预备知识,可以证明，对于 s平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在F(s)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。,F(s)平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将F(s)平面上的奈氏曲线包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。,特征方程为：,函数F(s)在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点， F(s)平面上必有一点与之对应。,这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在F(s)平面上就必有一个封闭曲线与之对应。,例如s=1+j2,则F(s)为,考虑开环传递函数：,一.奈氏判据的数学基础（幅角原理）,函数F(s)是复变量s的单值函数，s可在整个s平面上变化，对于其上的每一点，除n个有限极点以外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。F(s)的值域，也构成一个复平面，称为F(s)平面。其中s平面上关于F(s)的零点都映射到F(s)的原点； s平面上关于F(s)的极点都映射到F(s)平面的无限远点；s平面上除了极、零点之外的有限点，都映射到F(s)平面上的有限点。,幅角原理,用向量F(s)表示s平面上的点在F(s)平面上的映射，有,向量F(s)的幅角为,考虑s平面上不经过F(s)极、零点的一条封闭曲线 。当s沿 顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上映射出一条封闭曲线 。在s平面上，用阴影表示的区域称为 的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。,在F(s)平面上，由 映射得到的封闭曲线 的形状和位置，严格取决于 。在这种映射关系中，不需知道围线 的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的F(s)的零点和极点的数目，就可预知映射 是否包围坐标原点和包围原点的次数;反过来，根据 是否包围原点以及包围原点的次数，也可推测出 的内域中有关零、极点数的信息。,1.围线 既不包围零点也不包围极点,当s沿围线 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角 变化量都为0即 即映射 在 F(s)平面上沿A,B,C,D,E,F,G,H,A变化一周后的幅角变化 量应等于0。这表明，围线 不包围原点。,2.围线 只包围零点不包围极点,当s沿围线 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角 变化分别为-3600和00即 即 映射 在F(s)平面上顺时针包围原点一周。 推广：当围线 包含F(s)的Z个零点，在F(s)平面上的 映射 应顺时针包围原点Z次。,3.围线 只包围极点不包围零点,当s沿围线 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角 分别为00 和-3600即 即映射 在F(s)平面上逆时针包围原点一周。 推广：当围线 包含F(s)的P个极点，在F(s)平面上的映射 应逆时针包围原点P次。,4.围线 包围 Z 个零点和 P 个极点,由上述分析，如果围线 包围Z个零点和P个极点，那么 当s沿 顺时针绕行一周时， 应顺时针包围原点Z-P次， 也即 顺时针包围原点的次数为： N=Z-P,应当指出，s平面上极点或零点的位置，不论是在 s右半平面还是左半平面都没有区别，但是包围的是极 点还是零点却是有区别的。,N0表示顺时针包围原点 N0表示逆时针包围原点,二.复变函数F(s)的选择,控制系统的稳定性判定是在已知开环传函的条件下进 行的，为应用幅角原理，选择,1.F(s)的零点为闭环传函的极点,F(s)的极点为开环传函的极点 2.由于开环传函的分母阶次大于分子阶次，故F(s)的零点数和极点数相同,二.复变函数F(s)的选择(续),3.s沿闭合曲线 运动一周所产生的两条闭合曲线 和 只 相差常数“1”，即闭合曲线 可由 沿实轴正方向平移一 个单位长度获得。闭合曲线 包围F(s)平面原点的圈数等于 闭合曲线 包围F(s)平面(-1，j0)点的圈数。,由F(s)的特点可以看出F(s)取上述特定形式具有两个优点： 建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零、极点之间 的直接联系； 建立了闭合曲线 和闭合曲线 之间的转换关系。 在已知开环传函G(s)H(s)的条件下，上述优点为应用幅角 原理创造了条件。,三 s平面闭合曲线 的选择,当知道开环传函的极点，也 就是F(s)的极点，如何判断F(s)在 s平面的右半部有无零点的问题， 也就是闭环传函在s平面的右半面 有无极点的问题。,如果在s平面上选择一条能够整个包围s右半平面的封闭曲线，则幅角原理就可用来分析系统的稳定性。,1.正虚轴： 2.半径为无穷大的右半圆： 3.负虚轴：,上述封闭曲线 将包围整个s右半平面，称此封闭曲线 为奈氏路径，考虑到奈氏路径应该不通过F(s)零极点的 要求，这里假定F(s)没有为0的极点，也即开环系统不含 积分环节。 现设： 1.F(s)在s右半平面的零点数(即闭环特征方程在s右半平面 的特征根数)为Z； 2.极点数(即开环特征方程在s右半平面的特征根数)为P； 则根据幅角原理，当s沿上述奈氏路径顺时针运动一 周时，映射到F(s)平面上的围线 顺时针包围原点的次 数N=Z-P。 系统稳定的充要条件为在s右半平面上闭环特征方程 的特征根数为0，也就是F(s)在s右半平面上的零点数为0， 即Z=0，于是系统稳定的充要条件为：N=-P,1.关于N的说明,N表示F(s)=1+G(s)H(s)平面上围线 沿顺时针方向包 围原点的次数。由于G(s)H(s)与F(s)只相差一个常数1，所 以只要将F(s)平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位， 就可得到G(s)H(s)平面坐标系，于是原来在F(s)平面上的围线 就变成了G(s)H(s)平面上的围线 。 与此相对应，在F(s)平面上围线 对原点的包围就变成在G(s)H(s)平面上的围线 对点(-1,j0)的包围。其中N0表示在G(s)H(s)平面上的围线 顺时针包围点 (-1,j0)的次数；N0表示 逆时针包围(-1,j0)点的次数,曲线对原点的包围，恰等于,曲线对(-1,j0)点的包围,虚轴向右平移1,0,F(s)平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位，就可得到G(s)H(s)平面坐标系,2.关于P的说明,P表示F(s)=1+G(s)H(s)在s右半平面上的极点数。由 F(s)的表达式可知1+G(s)H(s)的极点就是G(s)H(s)的极点。换言之，P表示开环传函G(s)H(s)在s右半平面上的极点数。 当开环传函G(s)H(s)在s右半平面上没有极点时P=0,由 N=Z-P可知闭环系统稳定的充要条件是N=0.也即对于开环 稳定的系统，在G(s)H(s)平面上的围线 不包围(-1,j0) 点，是闭环系统稳定的充要条件。 确定闭环系统稳定性的关键，就在于确定G(s)H(s)平面上围线 是否包围(-1,j0)点，而围线 就是系统的 开环频率特性 的极坐标图,0型系统,1.正虚轴： 2.半径为无穷大的右半圆： 3.负虚轴：,s沿半径为无穷大的半圆运动时，在G(s)H(s)平面上只映射 为围线 上的原点或(K,j0)，只有当s从 沿虚轴运动到 时，才在 G(s)H(s)平面上映射出 整个 ，围线 称为奈氏曲线。,综上，当G(s)H(s)在s平面的虚轴上不含极点时，奈氏 稳定判据可表示为： 对于开环稳定的系统，G(s)H(s)在s右半平面上无极点， 闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围(-1, j0)点。 对于开环不稳定系统， G(s)H(s)在s右半平面上有P个 极点，闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线当 从 时，以逆时针包围(-1, j0)点P次。 若闭环系统是不稳定的，则该系统在s右半平面上的极点 数为Z=N+P,N为奈氏曲线以顺时针包围(-1, j0)点的次数。 若奈氏曲线顺时针方向包围(-1, j0)点，则不论开环系统 稳定与否，闭环系统总是不稳定的。 在奈氏曲线上的行进方向规定为 。 所谓不包围(-1, j0)点，是指行进方向的右侧不包围它。,例1.已知单位反馈系统的开环传函为 用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解(1)：绘制开环系统的极坐标图,当K52时，奈氏曲线为： 此时，系统的开环极点均 在s左半平面，即P=0,从图 中看出，奈氏曲线顺时针 包围(-1,j0)点2次。所以闭环 系统不稳定，并且在s右半 平面有两个极点。,若要系统稳定，则要求极坐标图与实轴的交点：,用Routh判据也可得，只是要写出闭环特征方程,对于含有积分环节的系统，开环传函为,此时不能直接应用幅角原理。为了使奈氏路径不通过原点处的极点，但仍能包围整个 s 右半平面，现以原点为圆心做半径为无穷小的右半圆绕过原点处的极点。,1.正虚轴： 2.半径为无穷大的右半圆： 3.负虚轴： 4.半径为无穷小的右半圆：,直线 曲线 大圆原点 小圆大圆,对于1型和2型系统，当 时，频率特性曲线趋于无穷远处当 时，频率特性曲线也趋于无穷远处。 将 带入开环传函有,例2.已知开环传函，判断使闭环系统稳定时K的取值范围,解：绘制系统的奈氏图,由于开环系统无右半平面极点，即P0，因此系统稳定 的充要条件是极坐标图不包围（-1, j0）点，即要求极坐 标图与负实轴的交点满足下列关系：,若开环系统在虚轴上有极点，应将奈氏路径做相应的修 改，如下图所示，在虚轴的极点处做半径为无穷小的右 半圆，使得奈氏路径不通过虚轴上的极点当仍能包围整 个s右半平面，奈氏判据仍可适用。 如果奈氏曲线穿过(-1, j0)点，说明闭环系统处于稳定和 不稳定的边界上，即所谓临界稳定，这是闭环系统将有 极点在虚轴上。,奈氏稳定判据在使用时可能遇到以下两种情况：,一种简易的奈氏判据 （1）正、负穿越的概念 G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。 所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。 正穿越：从上而下穿过该段一次(相角增加)，用 表示。 负穿越：由下而上穿过该段一次(相角减少)，用 表示。 正穿越 负穿越,若G(j)H(j)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有 次正穿越和 次负穿越。,次正穿越,次负穿越,如果G(j)H(j)按逆时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j) 包围(-1, j0)的圈数。故奈氏判据又可表述为： 闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负 实轴上的正负穿越之差为 P/2 圈。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2N= P-2(N+-N-) 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0. 注意：这里对应的变化范围是 。,稳定性分析举例,(1)开环传递函数不含积分环节（0型系统）,直接采用Z=P-2N的稳定性判据,例1 给出三个开环传递函数不含有积分环节的奈氏 曲线，试判断系统的稳定性。,P=0, N=N+-N-=0 Z=P-2N=0,该闭环系统稳定。,（a）P0 奈氏曲线,(b),P=0, Z=P-2N=2,闭环不系统稳定。,(c),P=1, Z=P-2N=0,闭环系统稳定。,奈氏曲线图,(2)开环传递函数含 个积分环节-型系统,绘制开环幅相曲线后，应从频率0+对应的点开始，逆时针补画/4个半径无穷大的圆。,(a)=1,从,补画半径为无穷大的1/4圆。 P=0, N=N+-N-=0，Z=P-2N=0，所以，闭环系统稳定。,例2-1 给出含有1个积分环节的开环系统幅相曲线，试判断系统的稳定性。,点逆时针,奈氏曲线图,P=0, N=0，Z=0，,(b)由于2，从 点逆时针,补画半径为无穷大的半园。,例2-2 给出含有两个积分环节的开环系统幅相曲线， 试判断系统的稳定性。,所以，闭环系统稳定。,奈氏曲线图,P=0, N=N+-N-=0-1=-1， Z=P-2N=2,该闭环不系统稳定。,P=1, N= N+-N- = 0-1/2， Z=1-2(-1/2)=2,虚线的终端落在负实轴上,该闭环系统不稳定。,(c)由于2，从 点逆时针,补画半径为无穷大的半圆。,(d)=1,从 点逆时针,补画半径为无穷大的1/4圆。,例3.设有一闭环系统，其开环传函为： 研究该闭环系统的稳定性,解：,开环传函在s右半平面内有一个极点(s=1),即P1。 开环系统不稳定。,开环系统具有一个位于s右半平面的极点“1”， 开环不稳定；但是闭环系统稳定。,P=1, N=N+-N-=1-1/2=1/2， Z=P-2N=1-21/2=0,例4: 某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极 点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面,即P=2， G(j)H(j)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正 穿越，1次负穿越，因为： 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。 .,例5:开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析,临界稳定条件：,求得：,例6:系统的开环传递函数: 应用Nyquist稳定判据确定闭环系统临界稳定时参数的值；,解：,开环传函在s右半平面内有