[理学]线性代数文模拟试卷.doc

线性代数(文)模拟试卷(一)一.填空题(每小题3分,共12分)1.设,则= .2.已知向量,设,其中是的转置,则= .3.若向量组,线性相关,则= .4.若阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,则行列式= .二.单项选择题(每小题3分,共18分)1.矩阵在( )时,其秩将被改变. () 乘以奇异矩阵() 乘以非奇异矩阵 () 进行初等行变换() 转置2.要使,都是线性方程组的解,只要系数矩阵为( ). () () () () 3.设向量组:,可由向量组:,线性表示,则( ). () 当时,向量组必线性相关 () 当时,向量组必线性相关 () 当时,向量组必线性相关 () 当时,向量组必线性相关4.设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ). () 若仅有零解,则有唯一解 () 若有非零解,则有无穷多解 () 若有无穷多个解,则仅有零解 () 若有无穷多个解,则有非零解5.若矩阵与相似,则( ). () () () ,有相同的特征向量() 与均与一个对角矩阵相似6.设矩阵的秩为,为阶单位矩阵,下述结论中正确的是( ). () 的任意个列向量必线性无关 () 的任意阶子式不等于零 () 若矩阵满足,则 () 通过初等行变换,必可以化为的形式三.(本题6分) 设行列式,求第四行各元素余子式之和的值.四.(本题10分) 设,且满足,求矩阵.五.(本题12分) 已知,为3阶矩阵,且满足,其中是3阶单位矩阵. (1)证明:矩阵可逆,并求其逆矩阵; (2)若,求矩阵.六.(本题10分)设向量组,(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别用此极大无关组线性表出.七.(本题12分) 问,为何值时,线性方程组 有惟一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.八.(本题15分)若矩阵相似于对角阵,试求常数的值,并求可逆矩阵使.九.(本题5分) 设向量可由向量组,线性表示,但不能由向量组,线性表示,证明:不能由向量组,线性表示.线性代数(文)模拟试卷(二)一.单项选择题(每小题2分,共16分)1.若,则等于( ). ()()()() 2.下列阶行列式的值必为零的是( ). ()主对角元全为零 ()三角形行列式中有一个主对角元为零 ()零元素的个数多余个 ()非零元素的个数小于零元素的个数 3.已知矩阵,则下列运算可行的是( ). ()() ()() 4.若,均为阶非零矩阵,且,则必有( ). (),为对称矩阵() ()() 5.设齐次线性方程组有非零解,则的值为( ). ()()()() 6.若向量组线性相关,则一定有( ). ()线性相关 ()线性相关()线性无关 ()线性无关 7.设是同阶实对称矩阵,则是( ). ()对称矩阵()非对称矩阵 ()反对称矩阵()以上均不对8.设为一个可逆矩阵,则其特征值中( ). ()有零特征值()有二重特征值零 ()无零特征值()以上均不对二.填空题(每小题3分,共18分) 1.行列式 . 2.,均为3阶方阵,且,则 . 3.若,为可逆矩阵,则分块矩阵的逆矩阵为. 4.设,则 .5.设,则线性 关. 6.设,则的所有特征值为 . 三.(本题6分)计算行列式的值. 四.(本题6分) 设,求. 五.(本题8分) 解矩阵方程,其中,. 六.(本题10分)试求向量组,的一个最大无关组,并写出其余向量用此最大无关组的线性表示式. 七.(本题12分) 设方程组 ,解此方程组,并用其导出组的基础解系表示全部解. 八.(本题14分) 设,求的特征值,特征向量. 九.(本题5分)设是齐次线性方程组的一个基础解系,证明:,也是的一个基础解系. 十.(本题5分) 证明:如果,但不是单位矩阵,则必为奇异矩阵.线性代数(文)模拟试卷(三) 一.填空题(每小题2分,共20分) 1.设四阶行列式,则= . 2. . 3.设.4.三阶矩阵按列分块为,且,则= . 5.为三阶矩阵,为的伴随矩阵,已知,则 . 6.设,则= . 7.为三阶矩阵,且,则= . 8.设,且有,则 ; ; . 9.若向量组,线性相关,则 .10.设的特征值为,则= . 二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设是的解,是的解,则( ). ()是的解()是的解 ()是的解()是的解 2.向量组线性无关的充分条件是( ). ()均不是零向量 ()中有部分向量线性无关 ()中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示 ()有一组数,使得 3.设是阶可逆矩阵,是阶不可逆矩阵,则( ). ()是可逆矩阵()是不可逆矩阵 ()是可逆矩阵()是不可逆矩阵 4.与相似的矩阵为( ). ()() ()() 5.已知为可逆阵,则=( ). ()()()() 三.(本题5分) 计算行列式的值. 四.(本题6分) 已知,求. 五.(本题10分) 设向量组,.求它们的秩,及其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组表示. 六.(本题6分) 已知,求. 七.(本题6分) 设,求. 八.(本题6分)已知线性无关,设,判断是线性相关的. 九.(本题12分) 对于线性方程组 ,讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解. 十.(本题8分) 设矩阵,问能否对角化?若能,试求可逆阵阵,使得为对角阵. 十一.证明题(本题6分)已知可逆,试证也可逆,且.线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一.填空题(每小题3分,共12分)1.设,则=.解 = =.2.已知向量,设,其中是的转置,则=.解 注意到,故 =. 注 若先写出,再求,将花比前更多的时间.3.若向量组,线性相关,则=.解 由,线性相关,则有 =.由此解得.4.若阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,则行列式=.解 因为与相似,所以,有相似的特征值,从而有特征值,.故. 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若可逆,的特征值为,则的特征值为.(2)若是的特征值,则的特征值为,其中为任意关于的多项式.(3)若阶矩阵有个特征值,则.二.单项选择题(每小题3分,共18分)1.矩阵在( )时,其秩将被改变. () 乘以奇异矩阵() 乘以非奇异矩阵 () 进行初等行变换() 转置2.要使,都是线性方程组的解,只要系数矩阵为( ). () () () () 解 我们知道,若,是齐次线性方程组的个线性无关的解向量,的任一解为向量,的线性组合,则,为的基础解系,且所含解向量的数目,其中为矩阵的列数. 由于,为的解,知.又因与是线性无关的,故.因而,而()、()、()、()四个选项中满足的矩阵只有()项中的.3.设向量组:,可由向量组:,线性表示,则( ). () 当时,向量组必线性相关 () 当时,向量组必线性相关 () 当时,向量组必线性相关 () 当时,向量组必线性相关解 根据定理“若,可由,线性表出,并且,则,必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选().4.设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ). () 若仅有零解,则有唯一解 () 若有非零解,则有无穷多解 () 若有无穷多个解,则仅有零解 () 若有无穷多个解,则有非零解解 方程组与其对应的齐次线性方程组的解之间有密切的关系.正确作答本题要求掌握以下结论:(1)非齐次线性方程组有解的充要条件为方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩.(2)在非齐次线性方程组有解的条件下,解惟一的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解.(3)非齐次线性方程组的任意两个解之差是齐次线性方程组=的解. 由于题干及()、()项中均未指明有解,即的秩不一定等于增广矩阵的秩,故()、()两项为干扰项.由结论(3)知()为正确选项.5.若矩阵与相似,则( ). () () () ,有相同的特征向量() 与均与一个对角矩阵相似解 由与相似,知存在可逆矩阵,使得.由此可得 =.6.设矩阵的秩为,为阶单位矩阵,下述结论中正确的是( ). () 的任意个列向量必线性无关 () 的任意阶子式不等于零 () 若矩阵满足,则 () 通过初等行变换,必可以化为的形式解 应选(). 由于,表明矩阵的秩等于行数,即的行向量必线性无关.根据矩阵秩的性质:行向量的秩等于列向量的秩,因此的列向量的秩等于.由于(列数),故一定存在个列向量线性无关,但并不是任意个列向量线性无关,故()不成立. 根据矩阵秩的等价定义,表明至少存在一个阶子式不等于零,但并不要求任意一个阶子式均不等于零,故()不成立.()也是不成立的.若()成立,则存在个行变换,使=,即A=,说明的后列均为零向量,显然题目未作这种要求. ()为正确选项.设的个列向量为,则,线性无关,因此,方程组仅有零解.若,是维行向量满足,即,即故.三.(本题6分) 设行列式,求第四行各元素余子式之和的值.解 设()为第四行各元素余子式,对应代数余子式记为(=),则= = =1 =.四.(本题10分) 设,且满足,求矩阵.解 由可得.矩阵.又 ,故可逆,从而. 下面用初等行变换法求. = .于是 .因此 . 注 因为,也可以不求而用初等行变换直接求出.方法如下: = =.即 .五.(本题12分) 已知,为3阶矩阵,且满足,其中是3阶单位矩阵. (1)证明:矩阵可逆,并求其逆矩阵; (2)若,求矩阵.解 (1)由知 ,从而或,故可逆,且=. (2)由(1)知,而 ,故 . 注 如果只要证明可逆,那么由 得 .因为可逆,知,故 ,由此证出可逆.六.(本题10分)设向量组,(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别用此极大无关组线性表出.解 = .所以向量组的秩为3. ,为其一个极大无关组,且.七.(本题12分) 问,为何值时,线性方程组 有惟一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换: = . 当时,方程组有惟一解. 当,时,方程组无解. 当,时,方程组有无穷多组解,这时,得同解方程组: 令,由此得到一个特解为:. 另外,原方程组的对应齐次线性方程组的同解方程组为: 依次令,;,得到一个基础解系:,=.于是原方程组的通解为: .八.(本题15分)若矩阵相似于对角阵,试求常数的值,并求可逆矩阵使.解 由矩阵的特征多项式 =,得知的特征值为,. 由于相似于对角阵,而是二重特征值,故应有两个线性无关的特征向量,因此矩阵的秩必为,从而由 知. 当时,由, ,得到矩阵属于特征值的特征向量为 , . 当时,由, ,得到属于特征值的特征向量为 .那么,令 ,则 .九.(本题5分) 设向量可由向量组,线性表示,但不能由向量组,线性表示,证明:不能由向量组,线性表示.证 用反证法.若 ,(1)又已知 ,(2)将(2)代入(1),整理得 .这与不能由向量组,线性表示的假设矛盾,所以得证不能由向量组,线性表示.线性代数(文)模拟试卷(二)参考答案一.单项选择题(每小题2分,共16分)1.若,则等于( ). ()()()() 解 根据行列式的性质,有 =.故选(). 2.下列阶行列式的值必为零的是( ). ()主对角元全为零 ()三角形行列式中有一个主对角元为零 ()零元素的个数多余个()非零元素的个数小于零元素的个数 3.已知矩阵,则下列运算可行的是( ). ()()()() 解 两矩阵可以相乘的条件是:矩阵的列等于矩阵的行,依此条件,应选(). 4.若,均为阶非零矩阵,且,则必有( ). (),为对称矩阵()()() 解 因为,矩阵的乘法一般不满足交换律,只有当(与可交换)时,上式成立,故选(). 5.设齐次线性方程组有非零解,则的值为( ). ()()()() 解 该齐次线性方程组有个方程,个未知数,则根据克莱姆法则,当系数行列式 =时,有非零解.故选(). 6.若向量组线性相关,则一定有( ). ()线性相关()线性相关()线性无关 ()线性无关 解 本题要求掌握以下结论: (1)若在向量组中,由部分向量构成的向量组线性相关,则整个向量组必线性相关(部分相关整体必相关); (2)若向量组线性无关,则任意抽取部分向量构成的向量组必无关(整体无关部分必无关).因此,()、()均不能肯定,()也是不一定的.故选(). 7.设是同阶实对称矩阵,则是( ). ()对称矩阵()非对称矩阵 ()反对称矩阵()以上均不对8.设为一个可逆矩阵,则其特征值中( ). ()有零特征值()有二重特征值零 ()无零特征值()以上均不对 解 因为,若可逆,则,所以均不能为零,故选(). 二.填空题(每小题3分,共18分) 1.行列式. 解法1 利用反对角行列式=. 解法2 由于此行列式只有4阶,也可以按某一行(列)展开后计算结果. 2.,均为3阶方阵,且,则. 解 因为,所以. 3.若,为可逆矩阵,则分块矩阵的逆矩阵为. 解 应记住以下几个常用结论: (1)若,且均可逆,则. (2)若,且均可逆,则. (3)若,且,均可逆,则. (4)若,且,均可逆,则. (5)若,且,可逆,则. (6)若,且,可逆,则. 4.设,则. 解 因为 ,所以的秩为2.5.设,则线性 相 关. 解 因为 ,所以线性相关.6.设,则的所有特征值为. 解 设的特征值为,特征向量为,则 =, =.因为=,则=,即.又为非零向量,所以,即=. 三.(本题6分)计算行列式的值. 解 原式=. 四.(本题6分) 设,求. 解 =, . 五.(本题8分) 解矩阵方程,其中,. 解 由,可得,而 , X=. 六.(本题10分)试求向量组,的一个最大无关组,并写出其余向量用此最大无关组的线性表示式. 解 由 () . 所以,取,为一个最大无关组,且. 七.(本题12分) 设方程组 ,解此方程组,并用其导出组的基础解系表示全部解. 解 .令,由此得到原方程组的一个特解: .令,;,得到导出组的一个基础解系: , .所以,原方程组的解为,其中,为任意常数. 八.(本题14分) 设,求的特征值,特征向量. 解 因为的特征多项式为 ,所以的特征值为, 当时, ,所以 .对应的特征向量 (,不同时为零). 当时, .所以 .对应的特征向量为 (). 九.(本题5分)设是齐次线性方程组的一个基础解系,证明:,也是的一个基础解系. 证 令,即 , .因为是的一个基础解系,则线性无关,所以 .解得 所以线性无关,且基础解系中所含的向量的个数为3,命题得证. 十.(本题5分) 证明:如果,但不是单位矩阵,则必为奇异矩阵. 证 用反证法.假设可逆,且其逆矩阵为.因为.所以 ,即 . 由此得,=,这与不是单位矩阵矛盾!因此不可逆,即,所以必为奇异矩阵.线性代数(文)模拟试卷(三)参考答案 一.填空题(每小题2分,共20分) 1.设四阶行列式,则=. 解 2. 解 按第一行或第一列展开即可. 3.设. 解 设,则 , .于是 .4.三阶矩阵按列分块为,且,则=. 解 交换该行列式中两列的位置,则 原式= =. 5.为三阶矩阵,为的伴随矩阵,已知,则. 解 . 6.设,则=. 解 , . 7.为三阶矩阵,且,则=. 解 原式=. 8.设,且有,则;. 9.若向量组,线性相关,则. 解 因为向量组,线性相关,则有 ,解得. 10.设的特征值为,则=. 解 矩阵的特征多项式为 .因为是的特征根,所以,是的两个根,把代入得. 二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设是的解,是的解,则( ). ()是的解()是的解 ()是的解()是的解解 根据非齐次方程组解的性质可知选(C). 2.向量组线性无关的充分条件是( ). ()均不是零向量 ()中有部分向量线性无关 ()中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示 ()有一组数,使得 解 选项(),()都只是向量组线性无关的必要条件,而不是充分条件.选项()是错误的,若将“有一组数”改为“当且仅当”时才为正确.所以选(). 3.设是阶可逆矩阵,是阶不可逆矩阵,则( ). ()是可逆矩阵()是不可逆矩阵 ()是可逆矩阵()是不可逆矩阵解 由题设知,所以,即是不可逆矩阵,应选().但是当可逆,不可逆时,是否可逆不能一概而论,例如,若取,则可逆,不可逆,但是不可逆的.若取,则不可逆的,但是可逆的.故是不正确的. 4.与相似的矩阵为( ). () () () () 解 因为中矩阵的特征值为,所以不能与相似. ()中矩阵的特征值为,但对二重根,因,所以不能对角化,也不能与相似.()中矩阵的特征值为,对二重根,因,所以可对角化,故成立. 5.已知为可逆阵,则=( ). ()()()()