届总复习-走向清华北大--19三角恒等变换.ppt

第十九讲 三角恒等变换,回归课本,1.三角恒等变换主要包括 角的变换函数名称的变换常数的变换幂的变换和式子结构的变换.,3.万能公式,4.积化和差公式 (1)sincos= sin(+)+sin(-); (2)cossin= sin(+)-sin(-); (3)coscos= cos(+)+cos(-); (4)sinsin=- cos(+)-cos(-).,5.和差化积公式 (1)sin+sin=2sin (2)sin-sin=2cos (3)cos+cos=2cos (4)cos-cos=-2sin,考点陪练,答案:B,答案:A,答案:C,4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于() A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x 解析:f(sinx)=2+2sin2x, f(x)=2+2x2. f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x. 答案:C,答案:2,类型一 三角函数式的化简 解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一减少角的个数);二是三角函数名称的变换(即尽量减少统一函数名称,如“切化弦”).具体问题中可双管齐下,整体变换.,反思感悟三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.,类型二 三角函数式的求值 解题准备:三角函数式的求值 三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值给值求值给值求角. 给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.,给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的. 给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.,反思感悟给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角和差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是常用工具.,类型三 已知三角函数值求角 解题准备:已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:第一,定角的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二,求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调);第三,根据角的范围写出所求的角.其中在第二步中,具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确定,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正余弦函数值,选正余弦函数;,若角的范围是 正余弦函数均可;若角的范围是(0,),一般选余弦函数;若角的范围是 则一般选正弦函数等.,答案A,类型四 三角函数式的证明 解题准备:三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式. 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同. 条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形,直到得到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代入条件,最终推导出所证等式.,错源一 合理运用公式的能力差,错解由sin+cos= 得 (sin+cos)2=1+sin2= 所以sin2= . 因为0,所以022. 由sin22+cos22=1 得cos2= 故选C. 剖析由于选择了sin22+cos22=1,求cos2的值时符号不能确定,造成解题错误.,正解由sin+cos= 得(sin+cos)2=1+sin2= 所以sin2= . 因为sin2=2sincos0. 因为(sin-cos)2=1-sin2= , 所以sin-cos= ,由得:sin2-cos2= , 即cos2=cos2-sin2= 故选B. 答案B,错源二 忽视角的范围 【典例2】若、是锐角,且sin-sin=- ,cos-cos= ,求tan(-).,技法 三角恒等变换的六种意识 一降幂意识 主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况,常常通过配方或者利用倍角公式进行求解.,【典例1】当+=30时,求sin2+cos2+cossin的值.,二统一意识 三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时,应敏锐地观察题目中角名称运算等之间的差异,然后设法消除差异实现统一.,【典例2】已知sin(2+)+2sin=0,且coscos(+)0,求证:tan=3tan(+). 证明因为2+=+,=+-, 所以sin(+)+2sin(+-)=0, 即sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos-2cos(+)sin=0, 所以3sin(+)cos=cos(+)sin, 又因为coscos(+)0,可两边同时除以coscos(+)即可得证.,三整体意识 如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可用整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.,【典例3】化简: cos2(+15)+cos2(-15)- cos2. 解题切入点由于观察到此式中的角出现+15,-15与2,要达到角的统一,需将角+15,-15向角2进行转化,因此,可考虑二倍角的变形公式.,四代换意识 代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代换1的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一个函数式中同时出现sinxcosx与sinxcosx,可考虑设t=sinxcosx等.,五消元意识 消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时,消去非特殊角;证明条件等式