河南省洛阳市2015-2016年高二下期末理科数学试卷(A)含解析.doc

2015-2016学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=lg，集合B=x|y=，则AB=（）A（，1） B（1，1C1，2） D（2，+）2复数在复平面内对应的点落在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3下列叙述正确的个数是（）若ab，则ac2bc2；若命题p为真命题题，命题q为假命题，则pq为假命题；若命题p：x0R，xx0+10，则p：xR，x2x+10A0 B1 C2 D34对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于15已知双曲线y2=1（a0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=2x6已知数列an为等差数列，a1=1，公差d0，a1、a2、a5成等比数列，则a2015的值为（）A4029 B4031 C4033 D40357计算：（x3）dx=（）A2 BC D28设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2”成立”那么，下列命题总成立的是（）A若f（2）4成立，则当k1时，均有f（k）k2成立B若f（4）16成立，则当k4时，均有f（k）k2成立C若f（6）36成立，则当k7时，均有f（k）k2成立D若f（7）=50成立，则当k7时，均有f（k）k2成立9长方体ABCDA1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A B C D10已知函数f（x）=x3ax2，且关于x的方程f（x）+a=0有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A（，）（0，） B（，0）（，+） C（，） D（，）（，+）11定义点P到图形C上每一个点的距离的最小值为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A（A在圆C内且不与圆心C重合）的距离相等的点的轨迹是（）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线的一支12定义在R上的函数f（x），f（x）是其导数，且满足f（x）+f（x）2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（x）4+2ex（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（1，+） B（，0）（1，+） C（，0）（0，+） D（，1）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13已知随机变量服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.4，则P（2）=14若实数x，y满足条件，则z=4x3y的最大值是15（ax+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（用数字作答）16已知an，bn均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意nN*有=，则使为整数的正整数n的集合为三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积18设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an3n，（nN*）（1）证明数列an+3为等比数列（2）求Sn的前n项和Tn19某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的分布列及数学期望20在如图的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点（） 求证：AB平面DEG；（） 求证：BDEG；（） 求二面角CDFE的余弦值21已知点F（0，1），直线l：y=1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求的最大值22已知函数f（x）=lnxa（1）（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）0，对任意的x1均成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（）1008e2015-2016学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=lg，集合B=x|y=，则AB=（）A（，1） B（1，1C1，2） D（2，+）【考点】交集及其运算【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中y=lg，得到0，即（x+1）（x2）0，解得：1x2，即A=（1，2），由B中y=，得到1x0，即x1，B=（，1，则AB=（1，1，故选：B2复数在复平面内对应的点落在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的坐标得答案【解答】解：=，复数在复平面内对应的点的坐标为（），落在第二象限故选：B3下列叙述正确的个数是（）若ab，则ac2bc2；若命题p为真命题题，命题q为假命题，则pq为假命题；若命题p：x0R，xx0+10，则p：xR，x2x+10A0 B1 C2 D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据不等式的关系进行判断，根据复合命题真假关系进行判断，根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：若ab，当c=0时，ac2=bc2则ac2bc2不成立，故错误，若命题p为真命题，命题q为假命题，则pq为真命题；故错误若命题p：x0R，xx0+10，则p：xR，x2x+10故正确，故选：B4对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1【考点】线性回归方程【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，），正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确故选：C5已知双曲线y2=1（a0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=2x【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的离心率求出a的值，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可【解答】解：双曲线y2=1（a0）的离心率，e=，即c2=3a2，即1+a2=3a2，得a2=，即a=，则双曲线的渐近线方程为y=x=x，故选：C6已知数列an为等差数列，a1=1，公差d0，a1、a2、a5成等比数列，则a2015的值为（）A4029 B4031 C4033 D4035【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知结合a1、a2、a5成等比数列求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案【解答】解：在等差数列an中，由a1、a2、a5成等比数列得，（1+d）2=1（1+4d），解得d=2（d0），a2015=1+20142=4029故选：A7计算：（x3）dx=（）A2 BC D2【考点】定积分【分析】根据定积分的运算性质，奇函数在对称区间内的定积分为0，偶函数等于单侧定积分的2倍，只需求dx的值即可【解答】解：（x3）dx=x3dxdx=2dx=2=，故答案选：C8设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2”成立”那么，下列命题总成立的是（）A若f（2）4成立，则当k1时，均有f（k）k2成立B若f（4）16成立，则当k4时，均有f（k）k2成立C若f（6）36成立，则当k7时，均有f（k）k2成立D若f（7）=50成立，则当k7时，均有f（k）k2成立【考点】四种命题间的逆否关系【分析】由题意对于定义域内任意的k，若f（k）k2成立，则f（k+1）（k+1）2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成立，结合逆否命题的真假性相同，对选项中的命题分析、判断即可【解答】解：对于A，当k=1时，不一定有f（k）k2成立；A命题错误；对于B，只能得出：对于任意的k4，均有f（k）k2成立，不能得出：任意的k3，均有f（k）k2成立；B命题错误；对于C，根据逆否命题的真假性相同，由f（6）36成立，能推出当k6时，均有f（k）k2成立；C命题错误；对于D，根据逆否命题的真假性相同，由f（7）=5049，能得出对于任意的k7，均有f（k）k2成立；D命题正确故选：D9长方体ABCDA1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A B C D【考点】异面直线及其所成的角【分析】建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算【解答】解析：建立坐标系如图则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）=（1，0，2），A=（1，2，1），cos所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为故选B10已知函数f（x）=x3ax2，且关于x的方程f（x）+a=0有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A（，）（0，） B（，0）（，+） C（，） D（，）（，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令g（x）=f（x）+a=x3ax2+a，把方程f（x）+a=0有三个不等的实数根转化为函数g（x）的极大值大于0且极小值小于0，联立不等式组求得实数a的取值范围【解答】解：令g（x）=f（x）+a=x3ax2+a，得g（x）=3x23ax=3x（xa），当a=0时，g（x）0，函数g（x）为增函数，不合题意；当a0时，x（，a），（0，+）时，g（x）0；x（a，0）时，g（x）0x（，a），（0，+）时，g（x）单调递增；x（a，0）时，g（x）单调递减，x=a时函数有极大值为g（a）=，x=0时函数有极小值为g（0）=a由，解得a；当a0时，x（，0），（a，+）时，g（x）0；x（0，a）时，g（x）0x（，0），（a，+）时，g（x）单调递增；x（0，a）时，g（x）单调递减，x=0时函数有极大值为g（0）=a，x=a时函数有极小值为g（a）=由，解得a综上，实数a的取值范围是（，）（，+）故选：D11定义点P到图形C上每一个点的距离的最小值为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A（A在圆C内且不与圆心C重合）的距离相等的点的轨迹是（）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线的一支【考点】椭圆的标准方程【分析】由题意画出图形，设动点为P，连接CP并延长，交于圆上一点B，可得PA+PC=R，说明P的轨迹为椭圆【解答】解：如图，设动点为P，点A在圆内不与圆心C重合，连接CP并延长，交于圆上一点B，由题意知PB=PA，又PB+PC=R，PA+PC=R，即P的轨迹为椭圆故选：C12定义在R上的函数f（x），f（x）是其导数，且满足f（x）+f（x）2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（x）4+2ex（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（1，+） B（，0）（1，+） C（，0）（0，+） D（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=exf（x）2ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）2ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）2ex=exf（x）+f（x）2，f（x）+f（x）2，f（x）+f（x）20，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）2ex+4，g（x）4，又g（1）=ef（1）2e=4，g（x）g（1），x1，故选：A二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13已知随机变量服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.4，则P（2）=0.3【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量服从正态分布N（0，2），利用P（22）=0.4，答案易得【解答】解：随机变量服从正态分布N（0，2），P（22）=0.4，P（2）= 1P（22）=0.3，故答案为：0.314若实数x，y满足条件，则z=4x3y的最大值是3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最大值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x4y得y=x，平移直线y=x，则由图象可知当直线y=x，当经过点C时，直线的截距最小，此时z最大由，解得，即C（3，3），此时最大值z=4333=3，故答案为：315（ax+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】令x=1，可得：（a+1）（21）5=2，解得a=1再利用（2x）5的展开式的通项公式进而得出【解答】解：令x=1，可得：（a+1）（21）5=2，解得a=1（2x）5的展开式的通项公式：Tr+1=（1）r25rx52r，令52r=1或1，分别解得：r=2，3该展开式中常数项为：1=40，故答案为：4016已知an，bn均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意nN*有=，则使为整数的正整数n的集合为1，3【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质可得： =，化简即可得出【解答】解： =31+，只有n=1，3时，为整数，使为整数的正整数n的集合为1，3，故答案为：1，3三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积【考点】解三角形【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，sinA0，B为三角形的内角，；（II）将代入余弦定理b2=a2+c22accosB得：b2=（a+c）22ac2accosB，即，ac=3，18设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an3n，（nN*）（1）证明数列an+3为等比数列（2）求Sn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（1）利用当n2时，SnSn1=an，可得得an=2an1+3，从而可构造等比数列求解an+3，进而可以判定an+1是等比数列；（3）通过求出数列an+3 的通项公式得出数列an的通项公式，再求和即可【解答】解：（1）令n=1，S1=2a13a1=3由 Sn+1=2an+13（n+1），Sn=2an3n，两式相减，得 an+1=2an+12an3，则 an+1=2an+3an+1+3=2（an+3），所以an+3为公比为2的等比数列（2）an+3=（a1+3）2n1=62n1，an=62n13 19某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）每个学生有四个不同的选择，由此根据分步乘法计数原理，能求出这3名学生选修课所有选法的总数（2）由已知利用排列组合知识能求出恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率（3）A选修课被这3名学生选择的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（1）每个学生有四个不同的选择，根据分步乘法计数原理，这3名学生选修课所有选法的总数N=444=64（2）恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为：=（3）A选修课被这3名学生选择的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的分布列为：0123PE=20在如图的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点（） 求证：AB平面DEG；（） 求证：BDEG；（） 求二面角CDFE的余弦值【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法【分析】（） 先证明四边形ADGB是平行四边形，可得ABDG，从而证明AB平面DEG（） 过D作DHAE交EF于H，则DH平面BCFE，DHEG，再证BHEG，从而可证EG平面BHD，故BDEG（）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得 二面角CDFE的余弦值【解答】解：（）证明：ADEF，EFBC，ADBC 又BC=2AD，G是BC的中点，四边形ADGB是平行四边形，ABDGAB平面DEG，DG平面DEG，AB平面DEG（）证明：EF平面AEB，AE平面AEB，EFAE，又AEEB，EBEF=E，EB，EF平面BCFE，AE平面BCFE 过D作DHAE交EF于H，则DH平面BCFEEG平面BCFE，DHEGADEF，DHAE，四边形AEHD平行四边形，EH=AD=2，EH=BG=2，又EHBG，EHBE，四边形BGHE为正方形，BHEG 又BHDH=H，BH平面BHD，DH平面BHD，EG平面BHDBD平面BHD，BDEG（）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），即，令z=1，得n=（1，2，1） 设二面角CDFE的大小为，则，二面角CDFE的余弦值为21已知点F（0，1），直线l：y=1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求的最大值【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）先设出点P的坐标，代入整理即可得到