因式分解的小结与复习.doc

芆蝿螅羃莈薂蚁羂薀螈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂罿蒅虿螈罿薇蒂肇羈芇蚇羃肇荿蒀衿肆蒁蚅螅肅膁蒈螁肄莃螄聿肄蒆薆羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀蚃膀蒂薃羂腿膂蝿袈膈芄薁袄膈蒆袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒂羄膅莁蚈袀膄蒃蒁螆芃膃蚆蚂节芅葿羁节莇蚅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿艿莂薆肇芈蒄螁羃芇薆薄衿莆芆蝿螅羃莈薂蚁羂薀螈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂罿蒅虿螈罿薇蒂肇羈芇蚇羃肇荿蒀衿肆蒁蚅螅肅膁蒈螁肄莃螄聿肄蒆薆羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀蚃膀蒂薃羂腿膂蝿袈膈芄薁袄膈蒆袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒂羄膅莁蚈袀膄蒃蒁螆芃膃蚆蚂节芅葿羁节莇蚅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿艿莂薆肇芈蒄螁羃芇薆薄衿莆芆蝿螅羃莈薂蚁羂薀螈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂罿蒅虿螈罿薇蒂肇羈芇蚇羃肇荿蒀衿肆蒁蚅螅肅膁蒈螁肄莃螄聿肄蒆薆羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀蚃膀蒂薃羂腿膂蝿袈膈芄薁袄膈蒆袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒂羄膅莁蚈袀膄蒃蒁螆芃膃蚆蚂节芅葿羁节莇蚅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿艿莂薆肇芈蒄螁羃芇薆薄衿莆芆蝿螅羃莈薂蚁羂薀螈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂罿蒅虿螈罿薇蒂肇羈芇蚇羃肇荿蒀衿 因式分解的小结与复习一、教学目的1使学生了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系。2使学生掌握提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法这四种分解因式的基本方法，会用这些方法进行多项式的因式分解。二、教学重点、难点重点：因式分解的四种基本方法。难点：因式分解的理论、方法和技巧。三、教学过程（一）复习提要1因式分解的意义把一个多项化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。这一概念的特点是：（1）多项式因式分解的结果一定是积的形式；（2）每个因式必须是整式（单项式或多项式）；（3）各因式要分解到不能再分为止（本章，只在有理数范围内研究因式分解）。2因式分解与整式乘法的区别和联系整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如 整式乘法 整式乘法m（a+b-c） ma+ab-mc （a+b）（a-b） a2-b2 因式分解 因式分解 整式乘法 整式乘法 （ab）2 a22ab+b2 （a1x+c1）（a2x+c2） a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2 因式分解 因式分解 知道了这种区别和联系，就可以（1）明了因式分解的意义；（2）把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法；（3）利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。3因式分解的基本方法（1）提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提出来。（2）运用公式法：本章学习了五个公式。平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2立方和（差公式：a3b3=（ab）（a2ab+b2）这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。 （3）十字相乘法：用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。 ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）就是说：a分解成a1、a2；c分解成c1、c2，将a1，a2，c1，c2排列成 a1 c1 a2 c2若按斜线交叉相乘，再相加正好得a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c分解因式为（a1x+c1）（a2x+c2）。 （4）分组分解法：分组的原则是：把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解能在各组之间进行，并且一直进行到底。 分组分解法的关键是要掌握几种方法（提公因式法、运用公式法或十字相乘法）后，能纵观全局，在分组时就预见到下一步因式分解的可能性。没有对前面三种方法的熟练掌握，分组分解就无从下手，不掌握分组的思想，前面学过的方法，用起来就会有很大的局限性。 以上四种基本方法是彼此有联系的，并不是一个多项式就固定只能用一种方法分解因式。 例如二次三项式x2+（a+b）x+ab可用分组分解法分解如下： x2+（a+b）x+ab=x+ax+bx+ab =x（x+a）+b（x+a） =（x+a）（x+b）. 又如a2-2ab+b是完全平方式，可以按十字相乘法分解，还可用分组分解法分解如下：a2-2ab+b2=a2-ab-ab+b2 =a（a-b）-b（a-b） =（a-b）（a-b）=（a-b）2 因此，应该学会具体问题具体分析，在研究具体问题的基础上，加以灵活运用。 4因式分解的一般步骤 把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止（本章只在有理数范围内研究因式分解）。 （二）复习题先讲 例1 把下列各式分解因式： （1）x4+64x； （2）（x2+4）2-16x2； （3）x5-x3+x2-1； （4）a4-5a2b2+4b4. 解：（1）x4+64x =x（x3+43） =x（x+4）（x2-4x+16）. （2）（x2+4）2-16x2 =（x2+4）2 -（4x）2 =（x2+4x+4）（x2-4x+4） =（x+2）2（x-2）2. （3）x5-x3+x2-1 =x3（x2-1）+（x2-1） =（x2-1）（x3+1） =（x+1）（x-1）（x+1）（x2-x+1） =（x+1）2（x-1）（x2-x+1）. （4）a4-5a2b2+4b4 1 -4=（a2-b2）（a2-4b2） =（a+b）（a-b）（a+2b）（a-2b）. 1 -1 例2 把下列各式分解因式： （1）（a+b）2+2（a+b）-15； （2）4b2c2-（b2+c2-a2）2； （3）ab（c2+d2）+cd（a2+b2）； （4）（ax+by）2+（bx-ay）2 解：（1）（a+b）2+2（a+b）-15 =（a+b）-3（a+b）+5 =（a+b-3）（a+b+5）. （2）4b2c2-（b2+c2-a2）2 =（2bc）2-（b2+c2-a2）2 =（2bc+b2+c2-a2）（2bc-b2-c2+a2） =（b+c）2-a2a2-（b-c）2 =（b+c+a）（b+c-a）（a+b-c）（a-b+c） =（a+b+c）（-a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）. （3）ab（c2+d2）+cd（a2+b2）=abc2+abd2+a2cd+b2cd=（abc2+a2cd）+（abd2+b2cd）=ac（bc+ad）+bd（ad+bc）=（bc+ad）（ac+bd）. （4）（ax+by）2+（bx-ay）2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=a2（x2+y2）+b2（x2+y2）=（x2+y2）（a2+b2）. 例3 已知n是整数，求证：（1）两个连续奇数的平方差（2n+1）2-（2n-1）2是8的倍数；（2）两个连续整数的平方差（n+1）2-n2等于这两个连续整数的和。 证明：（1）（2n+1）2-（2n-1）2 =（2n+1）+（2n-1）（2n+1）-（2n-1） =8n. 因为n是整数，故8n是8的倍数，即原命题得证。（2）（n+1）2-n2=（n+1）+n（n+1）-n =n+1+n. 因为n是整数，故n，n+1是两个连续整数，即原命题得证。例4 如图1-2，水压机有四根空心钢立柱。每根的高h都是18米，外径D为1米，内径d为0.4米，每产方米钢的重量为7.8吨。求四根立柱的总重量。（取3.14，结果保留两个有效数字）。 解：设四根立柱总重量为w吨，则 w=47.8/4（D2-d2）h =7.8（D+d）（D-d）h =7.83.141.40.618 =3.7102（吨）答：四根立柱总重量约3.7102吨。课时安排：本课题约需3课时，安排如下：第一课时内容：复习提要。练习：复习题八、16。作业：复习题八、17（1）、（4），18（2）（6）。第二课时内容：复习题选讲例1，例2。练习：复习题八、17（2）、（5），19（1）、（2）。作业：复习题八、17（6）（9），18（8）、（9）。第三课时内容：复习题选讲，例3，例4。练习：复习题八、19（3）、（5），20（1）、（2）、（4）、（5）。作业：复习题八、20（6）、（8）。B组3、6。四、需要注意的几个问题（1）什么时候用整式乘法，什么时候用因式分解，是根据需要而决定的，如复习题选讲中的例2（3）（4）。是先做整式乘法，后因式分解。又如计算（x+a）2-（x-a）2时，通常不是按运算顺序先做整式乘法，而是先进行因式分解，得 （x+a）2-（x-a）2 =（x+a）+（x-a）（x+a）-（x-a） =2x2a=4ax。（2）本章所说的因式分解，都是在有理数范围内进行的，要求因式中每个系数（包括常数项）都是有理数，并且分解到不能再分为止。（3）多项式因式分解的理论问题较深，题目类型多，方法灵活，技巧性强，教学时一定要控制题目难度，要按照学习要求进行教学，防止有些学生因为这部分内容难以学习而产生畏惧情绪，但也要注意因材施教，利用教材的“弹性”内容，激发和指导好对这部分内容感兴趣的学生。 芄蝿袃肃芃葿螆罿节薁羂芇芁蚄螄膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蚀螁芀莇蒀羇膆莆薂衿肂莅蚄肅羈莅螇袈芆莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇蒇薀螄芅薆蚂罿膁薅螄螂肇薄蒄羇羃膁蚆螀罿膀螈肆芈腿蒈袈膄膈薀肄肀膇蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈肇芄蝿袃肃芃葿螆罿节薁羂芇芁蚄螄膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蚀螁芀莇蒀羇膆莆薂衿肂莅蚄肅羈莅螇袈芆莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇蒇