线代练习卷(测试1-6)含答案.docx

导 航测试一 测试二 测试三 测试四 测试五 测试六测试一一、选择题（每小题3分共18分）1. 设行列式，将的第二列元素乘以2后与第三列交换，再转置，则结果为( ). A. B. C. D. 2. 四阶行列式中含负号并且包含元素的项为( ).A. B. C. D. 3. 非齐次线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是（ ）.A. B. C. D. 4. 设为阶矩阵，则在下列矩阵中，为反对称矩阵的是（ ）.A. B. C. D. 5. 设是n阶矩阵，是任意n维列向量，是任意n阶矩阵，则在下列命题中，错误的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若0，则6. 向量组（I）；（II）：；（III）：，如果，则对任意常数，成立的是 A.向量组线性相关 B.向量组线性相关C.向量组线性无关 D.向量组线性无关二、填空题（每小题3分共18分）1. 关于的多项式中含项的系数是_ 。2设A，B均为3阶方阵，且则 。3. 当=_ _时，方程组有非零解。4. 设三阶方阵A，B满足关系式，且，则 。5. 设矩阵为n阶方阵，若已知，则= 。6. 设向量线性无关，且，则向量组线性 _（无关，相关）三、计算题 （每小题10分共50分）1计算行列式的值。2计算阶行列式的值 。3. 设矩阵，矩阵满足，其中为3阶单位阵，试求矩阵。4.已知，根据的取值情况，求的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示。5.根据的不同取值，讨论线性方程组的可解性，并在有解时求出解。四、证明题（每小题7分共14分）1. 设向量组 线性无关，而向量组线性相关，证明向量可以由向量线性表示，并且表示法唯一。2. 设为阶非零实矩阵，其中是的伴随矩阵。证明：是可逆矩阵。参考答案一、选择题（每题3分共18分）1. A ； 2. B ； 3. C ； 4. D ； 5. C ；6. D ； 二、填空题（每题3共18分）1.； 2. 4 ； 3. 1 ；4. ；5. ；6. 相关。三、计算题（每题10分共50分）1解: 2解： 3. 解:由 得 即 又因为 ，所以可逆， 4. 解： 当时，是一个极大线性无关组，当时，是一个极大线性无关组， 5. 解: （1） 当时，方程组无解. （2） 时, , 得解: （3）当时， 得唯一解: 四、证明题（每小题7分共14分）1. 证明：因为向量组线性相关，则存在不全为零的使得. 若 ，则由 线性无关，得 ，与已知矛盾！ 所以，则有，即可以由向量线性表示. 下证唯一性，设 （1） （2）由，得，由 线性无关，有，因此证明表示法唯一。 2. 证明： 由题设，设。因为，故。由于，不妨设。于是 所以是可逆矩阵。 测试二一、选择题（每小题3分共18分）1. 设行列式，将的所有元素乘以2后再转置，所得行列式的值为( ).A. B. C. D. 2. 四阶行列式中取正号并且包含元素的项为( ).A. B. C. D. 3. 设均为阶矩阵，在下列命题中正确的是( )。A若或不可逆，则不可逆 B. 若或可逆，则可逆C. 若，均不可逆，则不可逆 D. 若，均可逆，则可逆4. 设为n阶矩阵，满足等式，则必有（ ）。A. 或 B. C. 或 D. 5. 当（ ）时，齐次线性方程组AX=0有非零解.A. B. C. D. 6. 设是阶矩阵，的充分必要条件是（ ）。 （A）的任意一个r阶子式都不等于零 （B）的任意一个r+1阶子式都等于零（C）的任意r个列向量线性无关（D）的任意r+1个列向量线性相关，而有r个列向量线性无关二、填空题（每小题3分共18分）1. 中的系数为_ _。2已知A为4阶方阵，且则 = 。3. 当_ _时，齐次线性方程组 仅有零解.4. 设矩阵为10阶方阵，若已知，则= 。5.设矩阵，= 。6. 设向量线性无关，且，则向量组线性 _。（填无关或相关）三、计算题 （每小题10分共50分）1. 解方程 2计算行列式。3.设矩阵，矩阵满足，其中为3阶单位矩阵。试求矩阵。4. 解线性方程组。5.设向量组.问取何值时，该向量组的秩为2。四、证明题（每小题7分共14分）1. 设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关。2.证明：如果对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称的。参考答案一、选择题（每题3分共15分）1. A ； 2. B ； 3. A ； 4. C ； 5. D ； 6. D二、填空题（每题3共15分）1.； 2. ； 3. ；4. ； 5. ；6.相关三、计算题（每题10分共50分）1. 解: ,或, 四次多项式方程最多四个根, 所以: 2 解： 3. 解: 由于，故 ，所以可逆，所以 4. 解： (1)当时，方程组无解. (2)当时, , 得解: 5. 解：以为列，构造矩阵，再对施以初等行变换，化为最简阶梯形矩阵 当时，。 四、证明题（每小题7分共14分）1.证明： 设，则有 因向量组线性无关,故 因为故方程组只有零解。则 所以线性无关 2.证明： 因为为对称、非奇异矩阵，所以 ，故 为对称矩阵 测试三一、选择题（每小题3分共15分）1. 设行列式，则行列式等于( )。A； B； C； D。2. 设是阶方阵，且可逆，则下列选项不正确的是( )。A B. 有非零解， C. D. 可表示成一些初等矩阵的乘积。3. 如果线性方程组有非零解，则( )。A1； B0； C； D2。4设矩阵的秩为，则中( )。A至少有一个阶子式不等于0； B所有阶子式全为； C所有阶子式都不为； D所有阶子式都不为0。5. 设向量组 ：的秩为,则下述说法不正确的是( )。A向量组中至少有一个含有个向量的部分组线性无关； B向量组中任何含有个向量的线性无关组与向量组可互相线性表示；C向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关； D向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关。二、填空题（每小题3分共15分）1. 设，,则 _。2. 设向量与向量线性相关，则 。3. 设，都是5阶矩阵,且，,则 。4.设为阶矩阵，其秩为3，若为非齐次线性方程组的2个不同的解，则它们的通解为 。5.向量组 ， ，的极大无关组是 _。三、计算题 （每小题10分共50分）1设，求和 。2计算阶行列式的值 3.设矩阵，求矩阵的秩及矩阵的列向量组的一个极大线性无关组。4.已知A+B=AB，且，求矩阵B。5.求方程组的通解。四、证明题（每小题10分共20分）1. 若是对称矩阵，是反对称矩阵，证明：为对称矩阵。2.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关。参考答案一、选择题（每小题3分共15分）1. D ； 2. B ； 3. C ； 4. A ； 5. D 。 二、填空题（每小题3共15分）1.； 2. -10 ； 3. ； 4. ；5. 或或三、计算题（每题10分共50分）1解: 2 解： 3. 解: 设矩阵列向量为，。 所以矩阵的秩为3，矩阵的列向量组的一个极大无关组为 。 4. 解：因为，所以，则。因为 故 所以 5. 解：方程组的增广阵为 由于，知方程组有无穷多组解，且原方程组等价于方程组 故为自由变量，所以分别令 得等价方程组对应的齐次方程组的基础解系为 ， ， 求特解：令，得，故方程组的通解为 其中为任意常数。 四、证明题（每小题10分共20分）1. 证明：因为是对称矩阵，是反对称矩阵，即 ， 所以 ， 即是对称矩阵。 2. 证明： 令存在一组数使下式成立： ， 整理得： (*) ， 因为线性无关，所以 解得 因此，向量组线性无关。 测试四一、选择题（每小题3分共15分）1. 行列式：，则( )A； B. ； C. 且； D. 或。2.设为阶方阵,若，则齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数为( )A. 2； B.3； C. 4 D. 5。3.设矩阵，则矩阵的伴随矩阵( ) A. ； B. ； C. ； D. 。4下列矩阵中( )是初等矩阵。A；B；C；D。5. 设向量组 ：的秩为,则下述说法不正确的是( )。A向量组中至少有一个含个向量的部分组线性无关； B向量组中任何含个向量的线性无关组与向量组可互相线性表示；C向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关； D向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关。二、填空题（每小题3分共15分）1.设为阶反对称矩阵，则 。2. 设 。3设方程组有非零解，则 。4向量组的极大线性无关组为 。5. 为3阶矩阵，且满足，则_。三、计算题（每小题10分共50分）1设，求和 。2.计算阶行列式的值 。3.设矩阵，求矩阵的秩及矩阵的列向量组的一个极大线性无关组。4. 设，求使。5.求方程组，的通解。四、证明题（每小题10分共20分）1. 已知矩阵与矩阵可交换，矩阵与矩阵可交换，证明：、是同阶矩阵，且矩阵与矩阵可交换。2.设向量组线性无关，证明：也线性无关。如果参考答案一、选择题（每小题3分共15分） 1. C ； 2. A ； 3. B ； 4. C ； 5. D 。 二、填空题（每小题3共15分）1. 0 2. -1 3. 4. 或或 5. 三、计算题（每题10分共50分）1解: 2. 解: 3.解: 设矩阵列向量为，。 所以矩阵的秩为3，矩阵的列向量组的一个极大无关组为 。 4.解： 所以 5 . 解：线性方程组的增广矩阵为： 由于，知方程组有无穷多组解，且原方程组等价于方程组 故为自由变量，所以分别令 得等价方程组对应的齐次方程组的基础解系为 ， ， 求特解：令，得，故方程组的通解为 其中为任意常数。 四、证明题（每小题10分共20分）1. 证明： 因为， 所以 即与可换。2.证明： 令存在一组数使下式成立： ， 整理得： (*) ， 因为线性无关，所以 解得 因此，向量组线性无关。 测试五一单项选择题（每小题3分，共21分）1. 行列式 中的系数为（ ）.A -2 B. 2 C. 1 D. -12. 4阶行列式中包含因子且带负号的项是（ ）. A. B. C. D. 3. 设A、B为n 阶矩阵，则（ ）.A. ， B. ,C. ,则或 D. 4. 设A是n阶方阵，且A可逆，则下列式子不正确的是( ).A， B.， C， D.5.设A为mn矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）.A. 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解.B.若Ax=b有无穷多组解，则Ax=0只有零解.C.若Ax=b有无穷多组解，则Ax=0有非零解.D.若Ax=0有非零解，则Ax=0有无穷多组解.6. 设是阶方阵，且可逆，则（ ）.A B. 只有零解， C. D. 以上都成立.7.设，则 ( ). A. 线性相关 B. 线性相关 C. 线性相关 D. 线性无关二填空题（每小题3分，共24分）1. 排列 514632是 排列(奇或偶).2已知，则 .3.已知为n 阶方阵，则_.4设为4阶矩阵，则_.5若方程组有无穷多解,则_ _ _.6. 已知矩阵的秩，则 _.7. _ _. 8. 设，则 .三计算题 （每小题10分，共40分）1. 已知行列式，求.2. 已知若,求.4. 已知向量组：，求向量组的一个最大线性无关组, 并将其它向量用此最大线性无关组线性表示。 4. 解线性方程组.四证明（每题5分，共15分）1. 设，证明:可逆，并求.2. 设是非齐次线性方程组的个解, 其中 求证: 也是它的解.3. 若为阶矩阵, 为奇数，且，求证:.参考答案一、 单项选择题（每小题3分，共21分） 1. B 2. A 3. B 4 C 5. C 6. D 7. D 二、填空题（每小题3分，共24分）1. 奇 2. 6 3. -12 4 1 5. 4 6 . 3 7. -12 8. 三计算题（每题10分，共40分）1. 解: = = 2. 解: 3. 解: 极大无关组： 4.解: 其中、为任意常数. 四证明（每题5分，共15分）1.证明: 2. 证明: 所以也是解. 3. 证明: 测试六一单项选择题（每小题3分，共21分）5. 关于的多项式中含项的系数是（ ）.A -2 B. 2 C. 1 D. -16. 要使排列（372m14n5）为偶排列，则（ ）. A. B. C. D. 7. 设行列式，将的第二列元素乘以3后与第三列交换，再转置，所得行列式的值为( ）.A. B. C. D. 8. 设A、B为可交换矩阵，则不正确的是（ ）.A. B. ,C. ,则或 D. 9. 下列（ ）不一定是对称阵.A. B. C. 对角阵 D. 非奇异矩阵 6元线性方程组有解的充分必要条件是( ）.A. B. C. D. A可逆7.含有零向量的向量组( ).A. 线性相关 B. 线性无关 C. 没有最大无关组 D. 都不对二填空题（每小题3分，共24分）1. 排列 514632 的逆序数是 .2已知，则 .3.已知为4 阶方阵，则_.4矩阵可逆的充要条件是_.5矩阵,若,则_ _,6设，则 .7,线性相关,则_ _.8. 设a = （1，2，-4），b =（-3，4，1），A=aTb， 则 .三计算题 （每小题10分，共40分）1. 已知行列式，求.2. 已知若,求.3. 已知向量组：，求向量组的秩及一个最大线性无关组,并将其它向量用此最大线性无关组线性表示。 4