考研高等数学辅导讲义(蔡子华).docVIP

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文都铸就永恒膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁薇袄肆莀虿蚇羂荿荿袂袈葿蒁蚅膇蒈薃袁肃蒇蚆蚃聿蒆蒅罿羅肂薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂腿薄螈袈膈蚇薁膆膇莆螇膂膆蕿蕿肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅节蚇袂羁芁莇蚄袇芀葿袀螃芀蚂蚃膁艿莁羈肇芈蒄螁羃芇薆羆衿芆蚈蝿膈莅莈薂肄莅蒀螈羀莄薃薀羆莃莂螆袂莂蒅虿膀莁 第一讲 函数、极限、连续性A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：“客观题”P41、2、3、4、6、19、20、22、29例2：“客观题”P62、5、6、12、18、21、22、43、45例3：设，求：解：（1）当， 即：时 （2）当， 即：时，（3）当，即：时，（4）当，即：时，例4：例5：例6：例7：求下列极限1解法一：原式解法二：原式2 或用泰勒公式展开例8：例9：例10：求例11：已知， 证明：存在并求例12：设，求的间断点并分类例13：设，求其间断点例14：若对任意，有，且在处连续。证明：对一切连续例15：设在上连续且，则必使第二讲 导数与微分A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：“客观题”P11 8、10、15、16、19、24、25、29例2：“客观题”P143、8、13、18、30、38例3：设，求例4：设，其中在处连续，求例5：设是在（为常数）内的偶函数且存在，证明：例6：设，求例7：求下列函数的导数 例8：设，求例9：设，求例10：设其中有二阶连续导数，（1）当为何值时，在处连续（2）在连续时，在处是否可导？例11：设由所确定，求并求曲线在处的切线方程第三讲 中值定理与导数的应用A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：“客观题”P185、10、18、19、21例2：“客观题”P203、8、9、15、26、27例3：设在上连续，在内可导，且，证明：必使例4：设可导，为任意实数，则的任意两个零点之间必有的零点设 例5：设函数在上连续，在内可导且。证明：存在满足使证法1：在上，在上，再两式相加证法2：设，必使，令例6：设，、，证明：在与之间存在一点，使证明：对，用柯西定理例7：设在闭区间上存在四阶导数，且 ，证明：必，使例8：设、在上二阶可导，且证明：必，使例9：当时，证明：例10：证明：当时，例11：设在内可导且，证明：例12：证明：若在的某邻域内有二阶连续导数，当充分小时，恒成立，试证证法1：由题设则 ，即证法2：若不然，由的连续性知必，使时，则是上凸的曲线，故 取，则得 与题设矛盾证法3：若，则同证法2知必使时，由泰勒公式得： （此处）两式相加得：与题设矛盾例13：设不恒为常数的函数在上连续，在开区间内可导，且证明：使证明：若不恒为常数，知必使，不妨设则 例14：证明：例15：设有两个极值点，求的极大值与极小值例16：设函数对一切满足方程（1）若在处取得极值，证明它是极小值（2）若在处取得极值，问它是极大值还是极小值例17：研究方程实根的个数解：令则 ，令 得0+极小值 ，（1）若，则在内方程无根，在内方程有一根（2）若则在，内各有一根（3）若，则极小值，在内，在内，即方程有且仅有一实根（4）若，则极小值，从而在内，方程没有实根第四讲 不定积分A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：“客观题”P268、9、12、13、17 例2：“客观题”P274、8、12、13 例3：求下列不定积分1234567例4：求下列不定积分1 ，2例5：求下列不定积分1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 例6：求解法1：设解法2：原式 原式例7：设且，求设则 例8：求下列不定积分1. 2. 乘3. 4. 5. 第五讲 定积分及应用A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：“客观题” P281、2、7、12、31、33例2：“客观题”P312、4、6、10、11、17例3：求下列定积分1. 2. 3. 4. 5. 6. 例4：求例5：计算，其中例6：设在上连续，且，求例7：求的最大、最小值解：令： 得：， 例8：已知以T为最小正周期的奇函数在内连续，证明：为以T为最小正周期的函数例9：若是连续函数，证明，并计算例10：证明：证法1：设则 ，证法2：分部积分法例11：设在上连续，内可导，且，证明：，使例12：设、在上连续，在上不变号，证明：必，使 例13：设在上连续，且，证明：必，使例14：设在上连续，证明，其中证法1：证法2：证法3：由例16：设函数在上连续且递减，证明：当时，证1：设 则，由在上单调减少知，必使 由当 时，时，是的极大值（也是最大值）点而 对一切 使证2：其中 故证3：递减，故例17：设在上单调增加且连续求证：证1：设 单调增加 证2：单调增加故 故 即 证3： 例18：设， 证明：证明：例19：求在园之内，心形线之内图形的面积例20：设，它与及所围和它与及所围图形的面积依次为和（如图）（1）取何值时，最小（2）取何值时，最大例21：星形线方程为 求（1）它围成的图形的面积（2）它的周长，（3）它围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积例22：半径为R的半球形贮水池中贮满了水，求将池中水全部吸出所作的功第六讲 经济应用A基本内容B重点C典型例题解析例1：某企业的总成本关于产量的函数为求：（1）该企业的平均成本函数和边际成本函数（2）该企业生产5000个单位产品时的平均成本和边际成本，并说明其经济意义解：（1）该企业的平均成本函数为边际成本为（2） 例2：某商品的价格为需求的函数，求（1）总收益函数（2）当个单位时的总收益，平均收益，边际收益 例3：设商品的需求函数为试求（1）需求量对价格的需求弹性函数（2）当价格为时的需求对价格的弹性，并说明其经济意义（1）（2）时， 价格上涨1%，则需求量减少2%例4：某厂生产一种电冰箱，总成本函数为（百元），已知需求函数为，为每台电冰箱的价格（单位：百元），问生产多少台时，总利润最大？此时每台冰箱的价格为多少？解： 得（百元）例5：设某公司甲、乙两厂生产同一种产品，且产量分别为和（千件），甲厂的月生产成本是（千元），乙厂的月生产成本是（千元），若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最少，求每个厂最优产量和相应的最小成本解： 约束条件 解得： 第七讲 空间解析几何A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：填空题：“客观题”P394、7、11、13、16例2：选择题：“客观题”P402、4、6、13、16例3：求与两直线及都平行且过原点的平面方程解：例4：平面通过点和直线，求它的方程解： 例5：一平面过轴且与平面的夹角为，求它的方程解：设所求平面方程为 由题设解得：即 或例6：求过直线且垂直于平面的平面方程解法1：设所求平面方程为则解得：解法2： 例7：求直线在平面的投影直线方程并求绕轴旋转一周所成曲面的方程解法1：设过L垂直于的平面方程为 则 解得：故的方程为 从而的方程为 即：故旋转曲面方程为 解法2：由于L的方程可写为，设过L的平面束方程为 即：由它与垂直可得 以下同解法1解法3：L的方向向量, 的法线向量为，经过L且垂直于的平面的法线向量为又L上的点也在上，故可得的方程，以下同解法1第八讲 多元函数微分学A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：填空题 “客观题”P422、5、8、12、14、15、20例2：选择题 “客观题”P443、6、11、14、17、23例3：设问：（1）是否存在（2）是否存在（3），是否存在（4）在点处是否连续例4：设函数又 ，求解：，代入得： 注：此时不能用，因为它不满足链式法则在点处连续的条件 例5：设，求例6：设，且有二阶连续导数，求例7：已知 ，求例8：设是由方程确定的隐函数且证明：例9：设，而是由方程所确定的的函数，求例10：求曲线C：在点处的切线与法平面方程例11：设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求、的值解1：在点处曲面的法向量，故的方程为 由L的方程可得 代入的方程中得：解2：过L的平面束方程为 即：曲面在点处的法向量由题设知 易得 又点在 ，故故得 例12：求函数的极值解得驻点为，对于点 ，对于点 ，（极小）而 对于点 可用沿 有 有故在点处函数不取得极值例13：已知矩形的周长为2P，将它绕其一边旋转而成一个旋转体，当此旋转体的体积最大时，求矩形的两边长解： 设 解得：第九讲 重积分A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：填空题 “客观题” P48 3、4、10、11、21、22例2：选择题 “客观题” P491、6、10、12、15例3：求下列二重积分1 围成2，其中34与所围区域5所围区域6是由直线、及围成的平面区域例4计算下列三重积分1，所围成2 3 所围4 例5：设函数在上连续，并设求 解法1：解法2：设，则，例6：设在区间上连续且恒不为0证明：例7：设、都在上连续，证明：证法1：设则 单调不增即：证法2：设即：例8：设连续，常数，区域为，证明：证明：于是 例9：设立体由曲面所围成，求它的体积解：例10：求锥面被园柱面所截部分曲面的面积。解：例11：设球体各点的密度与该点到原点的距离成正比，求球体的质量和重心。解：第十讲 曲线、曲面积分A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：填空题 （客观题P53） 1、5、8、9、13、15例2：选择题 （客观题P54）1、6、9、13、19例3：计算下列曲线积分1的一拱 解：原式2，其中L为抛物线上从点到的一段弧解：原式3 其中L为圆周解法1：曲线的参数方程为 原式解法2：曲线的极坐标方程为 原式4其中为从点到的直线段解：的方程为故原式例4：计算其中为沿曲线从点到的一段（为常数）解法1：加直线段则 原式解法2：原式而 （沿直线积分）的参数方程为例5：计算的正向解： 加 的顺时针方向则原式 例6：计算，其中为上从点到的一段解： 曲线积分与路线无关选路径 即： 积分得 =例7：选取，使在的右半平面上为某一函数的全微分，并求这样的一个函数解：由 得：故得 例8：求下列曲面积分1，其中为平面在第一卦限中的部分解：原式2，其中为锥面在部分的下侧解：原式例9：计算下列曲面积分1其中为，及坐标面在第一卦限内所围立体的表面外侧解：原式2，其中为曲面，其法线向量与轴正向成锐角解：加的下侧则 原式例10：计算，其中曲线为，从轴正向看，为逆时针方向解：原式例11：在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点，问当取何值时，力所作的功最大，并求出的最大值解： 设 联立 解得：例12：设球面上每点密度等于该点到某一固定直径距离的平方，试求球面的质量（球的半径为）解：取球心为坐标原点，固定直径为轴，建立空间直角坐标系第十一讲 级数A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：填空题： （客观题P57） 1、6、10、13、14例2：选择题： （客观题P59）3、4、9、17、18、19例3：判断下列级数的敛散性1解：发散2解：收敛收敛故 收敛3解：设 则 而 收敛，绝对收敛又 发散，故 原级数发散4解：而 收敛 收敛5解法1： 而 收敛 收敛解法2：故原级数收敛6解：故此级数发散7解： 故此级数收敛8解： 而 收敛，故原级数收敛例4：判断下列级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？12例5：试证：若，且收敛，则收敛，举例说明反之不一定成立证明：收敛又 必，使当时，则 由正项级数收敛知收敛，从而收敛反之，收敛，但发散例6：设是单调增加且有上界的正数列，证明：级数收敛证明：单调增加且有上界 收敛设 由于 设 从而收敛由比较判别法知：收敛例7：设偶函数的二阶导数在的某邻域内连续，且，证明级数收敛证明：为偶函数且在处可导，故，又，在处取得极小值故 使对一切 为正项级数因 又 收敛 收敛例8：求下列幂级数的收敛区间1解：当 时，级数变为收敛当 时，级数变为收敛故其收敛区间为2解：即 亦即时级数收敛当 时，级数变为发散 当 时，级数变为收敛 此级数的收敛区间为3解： 当时，级数变为发散 其收敛区间为例9：求下列幂级数在所给收敛区间内的和函数1解：设则 2 并求解：设则例10：将下列函数展开成的幂级数1解：2解：例11：将分别在和处展开成幂级数解：例12：将周期函数展开成付立叶级数解：是以1为周期的函数 例13：求常数项级数的和解：设设 第十二讲 微分方程与差分方程A基本内容B重点C典型例题解析（见本讲义补充内容）例1：填空题（客观题P66） 6、10、17、24、28例2：选择题（客观题P67）3、4、9、16、18、24、28例3：求下列方程的通解1234例4：求微分方程满足条件 的特解解：设则原方程变为：故 代入初始条件得：即：解得代入初始条件得：故所求特解的例5：求下列方程的通解12例6：求曲线方程，使其在任一点处切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，且过点解：曲线在点处的切线方程为 令 得：依题设则 将 代入得： 所求曲线方程为：例7：一匀质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需多少时间解：设链条的密度为，经秒钟后链条滑下，则即：解得：代入初始条件得：解得：例8：设物体从点出发，以速度大小为常数沿轴正向运动，物体从点与同时出发，其速度大小为方向始终指向，试建立物体的运动轨迹应满足的方程解：设在时刻位于处则 即 两边对求导得： 即： 例9：设函数可微，且对任何实数、，满足且 求 解：即：例10：容器内有100升盐水，其中含有10公斤盐现在以每分钟3升的均匀速度从管中放进淡水，又以每分钟2升的均匀速度将搅拌均匀的盐水从管中抽出，问60分钟后，容器尚剩多少盐解：设经过分钟后容器内含盐量为（公斤）在时刻（分钟）时，容器内盐水的体积为从到这段时间内容器中的含盐量的改变量为则 解得： 由 得 （公斤）例11：设函数二阶可导，且满足方程 求设 则 则 即： 将 代入得：例12：设函数在内具有二阶导数，且是的反函数（1）试将所满足的微分方程 变换为满足的微分方程（2）求变换后的微分方程满足初始条件，的解解：（1）由反函数导数公式知故 代入原方程得 求得 代入初始条件得： 例13：试写出以为特解的二阶线性齐次微分方程解法1：由解的性质知，所求方程的通解为故、线性相关一组不全为0的数使得联立方程组 由于此方程组有非零解，故即 解法2：设所求方程为 将 代入得：（1） 代入得： （2）解得：代入所设方程中即得 解法3：所求方程的通解为 在中消去即可得 膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螁肃薆薂螀膅荿薈蝿莇膂袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆节蒆薅螅羁芈蒁袅肃蒄蝿袄膆芇蚅袃芈蒂蚁袂肈芅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈衿肄莂薄羈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芈薃肀罿蒃葿聿肂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆