机械工程控制基础-03系统的时间响应与快速性分析.ppt

此课件除了PPT内容，课件下方附带的备注里讲解内容更细致：备注里有很多案例可以帮助理解；备注里有很多重点、难点内容的详细讲解；备注里有很多易错、易误导内容的讲解。,机电工程控制基础,河北工程大学 机械与装备工程学院 周雁冰,第三章 系统的时间响应与快速性分析,3.1 系统的时域性能指标 3.2 时间响应和典型输入信号 3.3 一阶系统的时间响应 3.4 二阶系统的时间响应 3.5 高阶系统的时间响应,3.1 系统的时域性能指标,一、时间响应及其组成,1、时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。,2、时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随 时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。 优点：直观、简便,二、时域性能指标,1、系统的性能： 系统的响应过程分为动态过程和稳态过程 ，系统的性能就针对上述二过程，为系统的动态性能指标和稳态性能指标。 实际物理系统都存在惯性，输出量的改变与系统所存储的能量有关，系统所储有能量的改变需要有一个过程。,2、动态性能指标： 延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量、振荡次数。,3、稳态性能指标 一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程（时间趋于无穷）进入静态后，静态下输出量的要求值和实际值之间的误差，称为稳态误差，记为： ，可量度系统的控制精度或抗干扰能力。,三、动态性能指标,研究线性系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的响应过程曲线（以二阶系统为例）。一般认为，阶跃输入对系统而言是比较严峻的，若系统输出在此状态下都能令动态性能满足要求，那在其他输入时，系统的动态性能将更为理想。 延迟时间td ：响应曲线首次达到静态值的一半所需的时间； 上升时间tr：有振荡时，响应曲线首次从静态值的0过渡到100所需的时间；无振荡时，静态值的10过渡到90所需的时间； 峰值时间tp：响应曲线第一次达到峰值点的时间；,调节时间ts：响应曲线最后进入偏离静态值的误差为5(或 2)的范围并且不再越出这个范围的时间； 超调量%：响应曲线第一次越过静态值达到峰值点时，越过部分的幅度与静态值幅度之比； 振荡次数N：在过渡过程时间0tts内，xo(t)穿越其稳态值xo()的次数的一半定义为振荡次数。 书上此处给出了前五点，第六点也记住。,上升时间tr,调节时间 ts,tr,tp,A,B,ts,系统动态特性可归结为： 1、系统快速性能指标：延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间； 2、系统平稳性能指标：超调量、振荡次数。 由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处理。以二阶系统为例，在单位阶跃响应和时间的关系图。,y(t),3.2 时间响应和典型输入信号,系统的动态过程 （瞬态响应）,系统的响应过程 （时间响应）,系统的稳态过程 （稳态响应、静态过程）,描述系统的稳态性能（静态性能）,描述系统的动态性能,稳？ 不稳？,一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。 在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础，通常规定控制系统的初始状态为零状态（实际工程中零初始状态普遍存在）。这些信号称为控制系统的典型输入信号。,对同一系统，无论采用哪种输入 信号，系统本身的性能（如传递 函数G(s)）不会改变。,尽管在时间系统中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以只有知道系统对典型输入信号的响应，再利用下式，即可求得系统对任意输入的响应。,系统的输入信号可分为确定性信号和非确定性信号。确定性信号是能用明确的数学关系式表达的信号；非确定性信号又称随机信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。,若已知典型输入信号Xi1(s)，其响应XO1(s)未知（但可测得或算得）；任意输入Xi2(s)未知，其响应XO2(s)未知，但已知XO2(s)与XO1(s)的数学关系，为求得XO2(s)，必须先求得XO1(s)，即需要先了解各典型输入Xi1(s)引起的响应XO1(s) 。,对典型输入信号的要求： 1、能够使系统工作在最不利的情形下；2、形式简单，便于解析分析；3、实际中可以实现或近似实现。,典型输入信号的选择原则： 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号；若输入信号为冲击输入量，选用脉冲函数；若输入信号为往复运动，则选用正弦函数。,输入信号常用两类：其一是系统正常工作时的输入信号，然而使用这些信号未必能全面了解系统的动态性能；其二是外加测试信号，经常采用的有脉冲函数、阶跃函数等。,它的数学表达式为,曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。,3、抛物线函数（等加速度函数）,4、单位脉冲函数,图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。,5、正弦函数,f(t),常用的典型输入信号,一、数学模型 可用一阶微分方程描述的系统就是一阶系统（如积分环节或惯性环节的单位负反馈闭环系统），惯性环节是其典型。,3.3 一阶系统的时间响应,微分方程：,传递函数：,式中，T称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性，亦称为一阶系统的特征参数。,二、在不同输入函数下的时间响应函数,1、一阶系统的单位阶跃响应,看书上不 同时刻系 统的阶跃 响应,一阶系统单位阶跃响应的特点：,响应分为两部分：,瞬态响应：,表示系统输出量从初态到终态的变 化过程（动态过程、过渡过程） 。,稳态响应：1,表示t时，系统的输出状态。,xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 增大，且无振荡。当xo() = 1时，ess=0，即无稳态误差；,xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T。,时间常数T 反映了系统响应的快慢，它由一阶系统的固有特性决定，与输入输出无关。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，可认为系统响应过程基本结束，从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。T值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快，越容易改变系统的状态。,1. 平稳性：,2. 快速性ts：,3. 准确性 ess：,非周期、无振荡， 0,控制系统在稳定前提下，要求：稳、快、准。,问：已知系统是一个一阶系统，怎么用实验法求系统的G(s)？,2、一阶系统的单位脉冲响应,一阶系统单位脉冲响应的特点：,瞬态响应：(1/T )e t /T ； 稳态响应：0；,xo(0)=1/T，随时间的推移，xo(t)指数衰减；,对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。,看书上不 同时刻系 统的脉冲 响应,3、一阶系统的单位斜坡响应,一阶系统单位速度响应的特点:,瞬态响应： T e t /T ；稳态响应：t T。,经过足够长的时间（稳态时，如t 4T），输出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即输出相对于输入滞后时间T。,系统响应误差为：,注意到，对一阶系统：,即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。（注意：是对输入输出的时域信号进行微分）同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。,这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。,微分,例：某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间变化的规律为 ，实验测得当t=60s时温度计读数达到实际水温的95%, 试确定该温度计的传递函数。,解：温度计插入温度恒定的热水后，温度计显示温度为阶跃响应过程。依题意将 t=60s代入到h(t)式中，求得：,是典型的一阶系统。 由线性系统性质： 由传递函数性质 ：,现采用如题所示的负反馈方式，欲将反馈系统的调节时间减小为原来的0.1倍，并且保证原放大倍数不变，试确定参数K0，K1的值。,解：由原系统传递函数得原系统是一阶系统，其时间常数 ，放大倍数 。则新系统的传递函数为：,例：原系统传递函数为：,根据题意， 列方程组：,解得：,原系统的调节时间对应了3T或4T，将反馈系统的调节时间减小为原来的0.1倍，就是将T变为原来的0.1倍，,6、不同时间常数下的响应情况,由上图可知，T越大，惯性越大。一阶系统的性能指标：ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-)所需的时间(为容许误差)。 =2%,ts=4T；=5%,ts=3T。调节时间ts反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调节时间越长，响应越慢。,3.4 二阶系统的时间响应,一般控制系统均系高阶系统，但在一定准确条件下，可忽略某些次要因素，近似地用一个二阶系统来表示。,一、二阶系统函数,式中，T为系统的时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期； 为阻尼比；n1/T为系统的无阻尼固有频率。,二阶系统的特征方程：,极点（特征根）：,特征根完全取决于 ，n这两个参数。,欠阻尼二阶系统：01,具有一对共轭复数极点：,称为有阻尼固有频率（有阻尼振荡频率）,二阶系统特征根的讨论：,临界阻尼二阶系统：1,具有两个相等的负实数极点：,过阻尼二阶系统： 1,具有两个不相等的负实数极点：,无阻尼二阶系统： 0,具有一对共轭虚极点：,负阻尼二阶系统： 0,极点实部大于零，响应将发散，系统不稳定。,二、二阶系统的单位阶跃响应,欠阻尼（01）状态,其中，,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点：,xo() = 1， ess=0，无稳态误差；,瞬态分量为 ，是减幅正弦振荡函数， 振幅等于 ，其振幅衰减的快慢由 和n决定。,振荡幅值随 减小而加大。,从以上结果可知： 值越大，系统的平稳性越好；值越小，输出响应振荡越强。,衰减振荡的频率为有阻尼振荡频率 ；,特点：单调上升，无振荡、无超调；xo () = 1，无稳态误差。,临界阻尼（=1）状态,由 可知： 所以，过渡过程在开始时刻、最终时刻的变化速度均为0，过渡过程单调上升。,无阻尼（=0）状态,特点：频率为n的等幅振荡。,过阻尼（1）状态,特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长；xo () = 1，无稳态误差。,易知具有两个不相等的负实数极点：,负阻尼（0）状态,-10：输出表达式与欠阻尼状态相同。, -1：输出表达式与过阻尼状态相同。,特点：振荡发散,特点：单调发散,几点结论：, 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长（稳，准，但慢）；01时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，但响应愈快（可以较稳，准，可以较快）； = 0时，出现等幅振荡（临界稳定通常算作不稳）。,1,=0,1,=1,1,y(t),为什么希望二阶系统工作在0.4 0.8的欠阻尼状态？,一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,若给定系统设计性能，比较一阶系统、二阶系统，通常选二阶系统，因其更易得到较短的过渡时间，且二阶系统的振荡性能也通常能满足要求。,如欠阻尼的指数衰减,例：已知二阶系统的闭环传递函数 求系统的单位阶跃响应。,解：,得：,将参数代入公式:,三、二阶系统的单位脉冲响应,欠阻尼01：,无阻尼=0：,临界阻尼 = 1：,过阻尼 1：,四、二阶系统的单位斜坡响应,当输入信号为单位斜坡信号时，,临界阻尼,欠阻尼,过阻尼,五、二阶系统的性能指标,控制系统的时域性能指标,控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。,系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。,用单位阶跃响应求二阶系统的性能指标的原因：1、阶跃输入较容易产生，从单位阶跃响应求其它种类的响应比较容易；2、单位阶跃输入使系统工作在最不利状态下； 3、在实际中，许多输入类似于阶跃输入。,评价系统快速性的性能指标,上升时间tr,响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。,峰值时间tp,响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。,调整（节）时间ts,响应曲线由零时刻到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。,最大超调量Mp,响应曲线的最大峰值与稳态值之差再除以稳态值。通常用百分数表示：,若xo(tp) xo()，则响应无超调。,振荡次数N,在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。,实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。,评价系统相对稳定性（平稳性）的性能指标,欠阻尼二阶系统的时域性能指标,上升时间tr,根据上升时间的定义有：,欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：,从而：,即：,显然， 一定时，n越大tr越小；n一定时， 越大tr 越大。,即：,y(t),峰值时间tp,即：,根据tp的定义解上方程可得：,可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。,y(t),最大超调量 Mp,显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。 越大，Mp 越小，系统的平稳性越好，当 =0.40.8时，可以求得相应的Mp = 25.4%1.5%。,调整时间ts,对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线。,其中，,ts要满足：,当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：,可以求得：,由此式求得的ts通常偏保守。,当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。 在具体设计时，通常根据最大超调量 Mp确定阻尼比，根据调节时间ts确定系统的n；反过来也可根据、n确定Mp、ts。（时域性能指标中Mp、ts 最重要）,当00.7时，,振荡次数N,N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。,对欠阻尼二阶系统，振荡周期,则,二阶系统的动态性能由n和决定。,结论：,通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。0.8 ，系统超调很小，但反应迟钝、灵敏性差。 =0.707，最佳阻尼比，此时系统超调量Mp 不大，且ts较小。,若n一定，增加，可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N，但tr、tp增加（ tr、tp随单调变化）； 0.7 时，ts随增大而增大， 0.7 时，Mp 和N 减小，即系统相对稳定性或平稳性提高，同时tr、tp、ts增加，即系统快速性降低；0.7 时，Mp 和N减小，即系统平稳性提高，tr、tp增加，ts减小。）,y(t),例：图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)