西安交大概率论期末试题解答.doc

概率论与数理统计试题20162017第一学期（期末）试题解答1、 完成下列各题（每小题4分，共24分）1. 设随机事件A，B，C相互独立，,分别求出及的值。解：相互独立所以也相互独立相关知识：（书P11）事件的相互独立性：四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对也相互独立，此结论可推广至n个事件的情形。（书P20）事件的差：De Morgan律：2. 房间内有5个人，每个人在一年中（按12个月计算）每个月出生的概率相等，求5个人中至少有两个人生于同一个月的概率。解：设则则5人中至少两人生于同月概率相关知识：正难则反：发现某件事情的概率很难求时，可以考虑其对立事件的概率，再应用来求解。乘法原理：做一件事需经过个不同的步骤，而第步有种方法，则完成它有种不同的方法。3. 设随机变量，且解：两边同除，得解得或（舍去）因此综上相关知识：泊松分布：P37设随机变量有，则称服从参数为的泊松分布，记为。其中。4. 将一颗均匀骰子独立上抛两次，观察出现点数。若两次出现点数和为8或10即可获奖。求获奖概率。解：设第一次上抛出现点数为,第二次上抛出现点数为。123456123456723456783456789456789105678910116789101112由上表可见，则获奖概率5. 设随机变量与相互独立且同分布，的概率密度为，若，求的值。解：，则。因为,同分布所以所以相关知识：二维随机变量函数的概率分布（书本P62P67）6. 设总体服从二项分布是来自的简单随机样本。试求参数的矩估计量 的无偏估计量。解：由矩估计法可得，所以有的无偏估计量是承上题，的无偏估计量是所以相关知识：若，则。求: 无偏估计量的定义：若，则称是的一个无偏估计量。（书本P153）矩估计法：（书本P145）2、 已知某批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为次品的概率是0.05，次品误认为是合格品的概率是0.02，试求：一个产品经检查后被认为是合格品的概率。一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。解：设则构成一个互斥完备事件组。则 所以某产品被认为是合格品的概率。承上题，即求则所以经检查后认为是合格品的确实是合格品的概率为相关知识：全概率公式与贝叶斯公式（书本P17）全概率公式：若事件构成互斥完备事件组，则。用法：可以将复杂事件概率分解为若干互斥的简单事件的分概率。贝叶斯公式：。用法：可以由事情的结果去推测原因。3、 随机变量的概率密度，令，试求的分布函数 的概率密度 解：所以所以所以相关知识：连续型随机变量及其性质。（书本P37）4、 设随机变量相互独立，都服从参数为的（0,1）分布，若，且令，。求二维随机变量的联合分布律。分别求出关于的边缘分布律。是否相互独立？证明你的结论。解：由题意得，；。则容易得到1-1101/4-11/21/41-11/43/4由上题，容易求到1-11/21/2不相互独立：证明：因此，由事件独立性定义，不相互独立。相关知识：二项分布。（书本P34）事件独立性定义。（书本P20）5、 二维随机变量概率密度为。求边缘密度函数。求条件概率密度。令，求的概率密度函数。解：条件概率密度当时，显然有当时，所以相关知识：二维随机变量函数的概率分布。（书本P62）边缘概率密度。（书本P49）条件概率密度。（书本P53）6、 设总体的概率密度函数，其中为未知参数，为总体的简单样本。求的最大似然估计量 是否为的相合（一致）估计量？证明你的结论。解：似然函数对数似然函数当时，所以极大似然估计量：是的相合（一致）估计量。证明：有因此由Chebyshev不等式（书本P105）知，对，有所以由夹逼准则知，对，故是的相合（一致）估计量。相关知识：极大似然估计法（书P147）：似然函数，固定，当取最大值时，对应成为极大似然估计量。（）为了计算简便，通常改求对数似然函数的极值点。（）和通常有相同的极值点对，如果有，则称是的相合（一致）估计量。切比雪夫不等式：。7、 设总体相互独立，均未知，今分别从两总体中抽取样本，得到观测值如下：24.320.823.721.317.418.216.920.216.7利用总体的样本观测值，求的置信度为的置信区间。检验假设：（已知上侧分位数点：）解：由题意得，有在本题中，解得所以求的置信度为的置信区间为。由题意得在本题中，假设为真，则，拒绝域为，事实上，不在拒绝域内，接受。相关知识：假设检验的一般步骤。（书本P179）抽样分布，正态总体的抽样分布。（书本P129） 8、 设是来自正态总体的简单随机样本，为样本均值，令，其中，且满足。证明是的无偏估计量，且在的所有形如的无偏估计量中的方差最小