[理学]第十一章平稳随机过程.ppt

1.平稳随机过程的概念 2. 各态历经性 3.平稳过程的功率谱密度,第十一章 平稳随机过程,1平稳随机过程的概念,设 是一随机过程, 若对任意的正整数n，任意 时刻 和任意的h, 有,与,具有相同的分布函数, 即,则称随机过程 为严平稳过程.(P223),严平稳过程的含义是它的n维分布或有穷维分布不随自变量的公共时间平移而改变.,性质1 设 是一严平稳过程并且是一个 二阶矩过程.,(1) 的均值函数是一常数,记为,(2) 的相关函数 是单变量 的函数，记为,证明:(1) 因为X(t)与X(t+h)同分别, 令h=-t, 得,设 是一个二阶矩过程, 若对任意 ,（常数）,则称 是一个宽平稳过程, 简称平稳过程. (P224),若严平稳过程还是二阶矩过程, 则严平稳过程 必为宽平稳过程, 即二阶矩存在的严平稳过程 是宽平稳过程；,由定义可知严平稳过程与宽平稳过程有如下的关：,(3) 对于正态过程而言, 宽平稳过程和严平稳过程 是等价的.,(2) 宽平稳过程不一定是严平稳过程, 严平稳过程 也不一定是宽平稳过程；,性质2 设 是一(宽)平稳过程，则,(1)均方值函数是一常数，且,(2)方差函数是一常数，且,(3) 协方差函数是时间差的函数，且,性质3 设 是 平稳过程的相关函数，则,(1)非负性,(2)对称性,(3)上界性,(4) 非负定性 对任意 和任意实值函数 都有,证,(2),(3),(4),设 和 是两个平稳过程, 若对任意 ，都有,成立，则称 与 是平稳相关的, 或称这两个过程是联合平稳的.(P225),例1,设 是一互不相关的随机变量序列, 且,考察 的平稳性,解：,所以 是平稳过程，又称平稳序列.,称此例中均值为零且互不相关的平稳序列 为白噪声序列.,例2,设 , 其中随机变量 和 相互独立, 都服从正态分布 , 判断 是否为平稳过程.,解：,且,因而二阶矩过程 是平稳过程.,设 是一周期为T的函数, 是在区间 上服从均匀分布的随机变量,称 为随机相位周期过程,判断它的平稳性.,例3,解 由 的周期性,得：,故随机相位周期过程是平稳过程.,常数,的函数,例4,设 是一个平稳过程，且,其中b与c均为常数,，判断 和 是否联合平稳.,解：易证 也是平稳过程. 且,所以 和 是联合平稳的.,设 是二阶矩存在的随机变量序列, X是一个随机变量，若,2各态历经性,一、均方极限与均方积分,则称 均方收敛于X, 记为 , 或称 的均方极限为X.(P229),性质1 如果,那么,证明:由许瓦兹不等式,由,即,均方极限有如下性质:,若二阶矩序列 和 的均方极限存在，则,性质2,的均方极限存在,则称X(t)在a,b上均方可积,此极限 称为X(t)的均方积分,且记为,若,时,和式,即,设 是一个二阶矩过程 , 对区间 作分割,若均方极限 存在, 则称 在 上均方可积, 记为 , 即,(P230),设 是一个二阶矩过程, 且在 上均方可积, 则,性质3,二、时间平均,设 是一个平稳过程, 称,为 的时间均值和时间相关函数. (P230),定理1,设 是平稳过程, 则,以概率1成立, 则称 的自相关函数具有各态历经性.,设 是一个平稳过程, 若 以概率1成立, 则称 的均值具有各态历经性. (P232),三、各态历经性,若对任意的,若 的均值和自相关函数都具有各态历经性, 则称 是各态历经过程. 各态历经性也被称为遍历性.,(均值各态历经定理) 平稳过程 X(t) 的均值 具有各态历经性的充要条件是,定理2,其中,(自相关函数各态历经定理 ) 平稳过程 X(t) 的相关函数具有各态历经性的充要条件是,定理3,其中,例1,设 A，B 是均值为0, 方差为 的独立正态随机变量， 的相关函数为 (1例2), 验证 的均值具有各态历经性.,解,故 的均值具有各态历经性.,设 , 是时间的函数,满足,3平稳过程的功率谱密度,一、 巴塞伐尔等式,若 还满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间 内只有有限个第一类间断点和极值点. 则 的傅里叶变换 存在, 且,它的傅里叶逆变换也存在, 且,于是,由此得到巴塞伐尔等式,等式左边表示函数 在 上的总能量， 右边被积式 相应地称为 的能量谱密度， 积分结果表示能量谱密度在全部频域上的积分， 即总能量. 因此，上式的右边又可理解为总能量 的谱表示式.,时间函数 在区间 上的总能量是无限的， 且不满足绝对可积条件,二、功率谱密度,构造截尾函数,它的傅里叶变换记为,由巴塞伐尔等式可得,两边除以2T，并取极限，得,上式的左边为 在区间 上的平均功率. 称右端被积函数为 的平均功率谱密度， 简称功率谱密度，并记为,上式的右端为平均功率的谱表示式.,三、平稳过程的功率谱密度,平稳过程 的截尾函数为,其傅里叶变换为,由巴塞伐尔等式得,上式两边的积分是指均方积分，由2性质3知 均方积分与均值运算可交换，得,设 为平稳过程，称,为平稳过程 的平均功率. (P237),设 为平稳过程，称,为平稳过程 的功率谱密度, 简称谱密度.(P237),设 为平稳过程，称,为平稳过程 的平均功率的谱表示式 . (P237),四、谱密度的性质,设平稳过程 的谱密度 存在， 则 有以下性质.,性质1,若 ，则平稳过程的谱密度 与自相关函数是一傅里叶变换对，即,统称为维纳辛钦公式.,性质2,谱密度 是 的实的、非负函数, 即,性质3,谱密度 是偶函数，即,性质4,对(实)平稳过程，维纳辛钦公式又可表示为,例1,双向噪声 的自相关函数为,求 的谱密度 .,解：,例2,设平稳过程 的自相关函数为 , , 求 的谱密度 .,解,例3,设平稳过程X(t)的自相关函数为,求 的谱密度 .,解：,由例2结论(或查表)知.,例4,设平稳过程X(t)的谱密度,求 的自相关函数和平均功率.,解：,由例2结论知，的自相关函数为,平均功率,(Dirac)函数又称脉冲函数，它有多种定义. 其中常见的四种定义方式如下.,(1) 由下列方程定义,满足上式的 在 处的值是不存在的， 理解为 .,(2)由下列极限定义,其中 满足,(3)由下列导数定义,直观理解为 函数在原点是一个无限窄又无限高的脉冲.,(4)由下列性质定义,其中 为连续函数.,性质5,推论 1,推论 2,例5,已知随机相位正弦波X(t)的自相关函数为,求