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1.6.4 导数的综合应用名校名师创新预测1.已知函数y=f(x)对任意的x满足f(x)cos x+f(x)sin x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.2ffB.f2fD.f(0)f【解析】选A.令g=,则g=由对任意的x满足f(x)cos x+f(x)sin x0可得g0,所以函数g在上为增函数,所以gg,即,所以2f0),设h=-x2+2ex+,令h1=-x2+2ex,h2=,所以h2=,发现函数h1,h2在上都是单调递增的,在上都是单调递减的,所以函数h=-x2+2ex+在上单调递增,在上单调递减,故当x=e时,得h=e2+,所以函数f至少存在一个零点需满足ah,即ae2+.3.已知常数a0,函数f=ln-.若f存在两个极值点x1,x2,且f+f0,则a的取值范围为_.【解析】函数f的定义域为,对函数求导得f(x)=-=,因为f存在两个极值点x1,x2,所以ax2-4=0在定义域内有两个不等的实数根,当0a-a,即a,所以为函数f的两个极值点,代入f+f0可得f(x1)+f(x2)=ln1+2+ln1-2- -=ln1-4a(1-a)-=ln(1-2a)2+-2,令2a-1=t,令g(t)=ln t2+-2,由a知,当a时,t(-1,0),当a时,t(0,1);当t(-1,0)时,g(t)=2ln(-t)+-2,对g(t)求导可得g(t)=-=0,所以函数g(t)在(-1,0)上单调递减,则g(t)g(-1)=-40,即f(x1)+f(x2)0不符合题意.当t(0,1)时,g(t)=2ln t+-2,对g(t)求导可得g(t)=-=g(1)=0,即f(x1)+f(x2)0恒成立,综上a的取值范围为.答案:4.已知函数f(x)=+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值.(2)如果当x0,且x1时,f(x)+kx,求k的取值范围.【解析】(1)f(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1),故即解得(2)由(1)知f(x)=+,所以f(x)-=2ln x+.令函数h(x)=2ln x+(x0),则h(x)=.若k0,由h(x)=知,当x1时,h(x)0,可得h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.从而当x0,且x1时,f(x)-0,即f(x)+kx.若0k0,对称轴x=1,所以当x时,(k-1)(x2+1)+2x0,故h(x)0,而h(1)=0,故当x时,h(x)0,可得h(x)0即h(x
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