高中数学 第一章 计数原理 5_2 二项式系数的性质课件 北师大版选修2-3

5.2 二项式系数的性质,第一章 5 二项式定理,学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 二项式系数的性质,(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：,思考1,同一行中，系数有什么规律？,答案,答案 两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等.,思考2,相邻两行，系数有什么规律？,答案 在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 .,(1)在同一行中，每行两端都是1. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和.即二项式系数满足组合数的性质 . (3)与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即 .,“杨辉三角”蕴含的规律,梳理,等距离,特别提醒： 1.二项式系数性质类似于组合数的两个性质 2.从二项式系数表中可以看出(ab)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即 2n.,题型探究,解答,类型一 与杨辉三角有关的问题,例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值.,解 由题意及杨辉三角的特点可得 S16(12)(33)(64)(105)(369),解答,引申探究 本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？,解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为23.,答案,解析,34,解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，,解得n34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23.,解答,类型二 求展开式的系数和,例2 设(2 x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值. (1)a0； (2)a1a2a3a4a100；,解 令x0，则展开式为a02100.,(3)a1a3a5a99； (4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；,解答,(5)|a0|a1|a100|.,解答,a2k10(kN).,二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可. (2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，,反思与感悟,跟踪训练2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；,解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.,解答,解 各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1， 所以a0a1a2a9(23)91.,(3)所有奇数项系数之和.,解答,解 令x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又a0a1a2a91，,解答,类型三 二项式系数性质的应用,例3 已知f(x)( 3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；,解 令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)，或2n32，n5. 由于n5为奇数， 展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为,(2)求展开式中系数最大的项.,解答,rN，r4，,(1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论. 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第r1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.,反思与感悟,当r4时，展开式中的系数最大， 即T570x4为展开式中的系数最大的项； 当r3或5时，展开式中的系数最小， 即T456x7，T656x为展开式中的系数最小的项.,跟踪训练3 已知(x2 )n展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大128，求(x2 )n展开式中的系数最大的项和系数最小的项.,解 2n27128，n8，,解答,当堂训练,2,3,4,5,1,1.(12x)10的展开式中各项系数的和为 A.310 B.210 C.1 D.1,解析,解析 设f(x)(12x)10a0a1xa2x2a10x10，令x1得各项系数的和为a0a1a2a10310.,答案,2,3,4,5,1,2.在(1x)n(nN)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于 A.8 B.9 C.10 D.11,答案,解析,解析 由题意知(1x)n的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系数，因为只有x5的系数最大，所以n10.,2,3,4,5,1,3.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是 A.8 B.6 C.4 D.2,答案,解析,解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和， 所以4a10，得a6.,解析 令x1，得a0a1a2a3a41. 又Tr1 (2x)4r(1)r3r， 当r0时，x4的系数a416. 由得a0a1a2a315.,2,3,4,5,1,4.设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_.,解析,答案,15,解 二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为 T4 (x)356x3，T6 (x)556x5.,5.已知(1x)8的展开式，求： (1)二项式系数最大的项；,解答,解 因为(1x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5 (x)470x4.,2,3,4,5,1,(2)系数最小的项.,规律与方法,1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式中的系数或