高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2 抛物线的简单性质（一）课件 北师大版选修1-1

第二章 2 抛物线,2.2 抛物线的简单性质(一),学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 抛物线的简单性质,思考1,类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y22px(p0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？,范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0，0).,答案,思考2,参数p对抛物线开口大小有何影响？,因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大.,答案,梳理,(0，0),1,知识点二 焦点弦,设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,题型探究,类型一 抛物线简单性质的应用,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,解答,由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以|AB|2|m|.,因为OAB的面积为4，,引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_.,4p2,答案,解析,因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p).,把握三个要点确定抛物线简单性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,反思与感悟,跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程.,解答,设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0). 因为点P到对称轴距离为6，所以y06. 因为点P到准线距离为10， 因为点P在抛物线上，所以362ax0， ,所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.,类型二 抛物线的焦点弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25.,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.,(1)抛物线的焦半径,反思与感悟,(2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可.,跟踪训练2 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.,答案,解析,xy10或xy10,抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)， 若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意. 所以可设所求直线l的方程为yk(x1).,所以所求直线l的方程为xy10或xy10.,类型三 与抛物线有关的最值问题,解答,例3 设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)求点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；,如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x1. 由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离.,于是问题转化为在曲线上求一点P， 使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.,解答,(2)若点B的坐标为(3，2).求|PB|PF|的最小值.,过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F. 此时，由抛物线定义知，|P1Q|P1F|. 所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314， 即|PB|PF|的最小值为4.,抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,反思与感悟,跟踪训练3 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为,答案,解析,如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值， 则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.,(|PA|PF|)min|AF|,当堂训练,当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.,1.设AB为过抛物线y22px (p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 A. B.p C.2p D.无法确定,答案,解析,2,3,4,5,1,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12,2,3,4,5,1,由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.,答案,解析,2,3,4,5,1,3.已知抛物线yax2的准线方程是y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4,由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.,答案,解析,2,3,4,5,1,4.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为 A.8 B.16 C.32 D.61,答案,解析,由y28x得焦点坐标为(2，0)， 由此直线方程为yx2，,设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212， 弦长|AB|x1x2p12416.,5.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长.,解答,2,3,4,5