数学分析报告-[word]可编辑.doc

羇肇蒆薄蚆芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁膄蚁羃肄蒃蚀蚃袇葿虿袅膂莅虿羇羅芁蚈蚇膁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁螅羄羂芇螄蚄膇膃螃螆羀薂螃羈芆蒈螂肁肈莄螁螀芄芀莇袃肇膆莆羅节蒄蒆蚅肅莀蒅螇芀芆蒄衿肃节蒃肁袆薁蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿蒀蚅羃膅蕿螈膈蒄薈袀羁莀薇肂膆莆薆螂聿节薅袄芅膈薄羇肇蒆薄蚆芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁膄蚁羃肄蒃蚀蚃袇葿虿袅膂莅虿羇羅芁蚈蚇膁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁螅羄羂芇螄蚄膇膃螃螆羀薂螃羈芆蒈螂肁肈莄螁螀芄芀莇袃肇膆莆羅节蒄蒆蚅肅莀蒅螇芀芆蒄衿肃节蒃肁袆薁蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿蒀蚅羃膅蕿螈膈蒄薈袀羁莀薇肂膆莆薆螂聿节薅袄芅膈薄羇肇蒆薄蚆芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁膄蚁羃肄蒃蚀蚃袇葿虿袅膂莅虿羇羅芁蚈蚇膁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁螅羄羂芇螄蚄膇膃螃螆羀薂螃羈芆蒈螂肁肈莄螁螀芄芀莇袃肇膆莆羅节蒄蒆蚅肅莀蒅螇芀芆蒄衿肃节蒃肁袆薁蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿蒀蚅羃膅蕿螈膈蒄薈袀羁莀薇肂膆莆薆螂聿节薅袄芅膈薄羇肇蒆薄蚆芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁膄蚁羃肄蒃蚀蚃袇葿虿袅膂莅虿羇羅芁蚈蚇膁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁螅羄羂芇螄蚄膇膃螃螆羀薂螃羈芆蒈螂肁肈莄螁螀 数学分析漫谈对于现代数学的基础微积分，我相信大家已经有了一定的了解，这里仅是我个人的一些想法，与大家分享一下对于“数”大家已经并不陌生，可是什么是“数”呢？虽然接触了“数”这么多年，我相信未必能真正认识它，我们这里所谓的认识，当然是要给出数的严格的定义，而不仅仅是一些所谓的阿拉伯数字；对于所谓上帝创造的“自然数”,无论是公理集论的定义，还是对应于一般的不用集论语言书写的peano定理都是清晰的，这里不再赘述；对于有理数的产生也是自然的，可是当有一天人们发现x2=2这个方程的解不是任何有理时，从而数系发展了，极限产生了，这里体现了数学上一个非常重要的思想，甚至是贯穿整个微积分的整个思想，那就是用有限去逼近无限于是Dedekind切割定理为我们解决了这样的问题，于是基本的熟悉产生了，从原始的意义上讲，我们首先可以将他们作为一个集合A，并且是带有一个自然全序的线性序集，然后发现了这个链是完备的，从而可以用一条直线上的点与之建立一个一一对应，从而产生了数轴，而不要先入为主，从数轴的概念出发，从某种意义上讲，我们可以认为数是定义出来的。于是我们已经有了“数”的概念，在小学的时候，我们就知道“有限循环小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数”，可是要解释这个命题就必须解释什么是无限小数，实际上这就是一个无限求和的意思，那就必须定义什么是无限求和，于是数分里定义的-语言，从而用有限的求和的方式定义出了无限求和，从而无限小数就是一个数项级数，由于是正项单调有界的级数，从而收敛，由于数系A完备，所以必然是A中元素，从而是我们定义的“数”，至于无理数还是有理数，这个是容易判断的。于是可以看出极限是用有限的来表达无限，具体可以认为是在收敛时就是在无穷远处的取值，而数列极限与级数的区别就是数列体现了趋近的极限结果，而级数更体现了趋近的整个过程如1和0.999后者更体现了其过程的起伏增减，当然两者可以互相转化，这就说明在本质上没有区别，这又是二者的联系。从这里也可以看到完备性是分析工作要可行的一个基本的性质，而极限不仅是沟通无限与有限的一个桥梁，这种用有限去逼近无限的方式更是整个分析的核心思想所在我在这里用如此长的篇幅叙述数系的产生以及极限的意义是为了弄清楚分析的基础以及其意义，以及分析数学逻辑基础的严密性（当然这里只是浅尝辄止），而其他的所谓计算极限的手段如何高明以及微分、积分的方法如何出奇，我认为都是次要的。两个方向在有了极限的基础上，微分和积分可以看成是极限的两个互逆的方向的应用。值得注意的是微分的极限是函数的极限，与数列的极限有区别。这里limnAn可以看成是具有向一个固定方向的极限，而limxaf必须以任何的方式趋近都要存在且相等，也可以看成一个是离散的趋近，一个是连续的趋近，从而才有Heine定理，这里也说明极限是一个分析对象的某种意义下的一个局部固有属性。积分的定义也是需要一个原始的概念，那就是矩形的面积，同样我们直接定义矩形的面积是一个数，就等于其边长之积，从而将一个区域可以分成很多的有限的小矩形，从而可以用Riemann和极限的方法求出bafdx，不过这里要求了极限与取法和划分无关，也体现积分值是该函数的一个本质属性，在这里与函数在某点极限的定义是一个道理，虽然这里是Riemann积分，其他形式的积分不过是在另外一种测度下的极限，也就是说通常意义下的“面积”不过是在一种特殊测度下的极限值，只不过这种测度比较符合直观而已。有了微分和积分，这就是有了微观的微分和宏观的积分，从而为实际的应用提供了理论基础，为工程上的计算提供了计算方法，但实际的计算往往不如书上的容易，因此数值计算和近似计算无论是在实际上还是理论上都是研究必须的。分析研究的基本对象是函数，当然我们就必须先研究清楚函数是否可被基本的好的函数表出，具体说极限的方式表出，于是诞生了函数级数收敛的方法，由函数级数的手段，我们可以知道所有的函数基本可以分成两类：一、指数函数；二、幂函数。这是由于三角函数可以用eite-it来表示，这正是函数级数的结果，对于这种具有良好的可微性的幂函数，我们总是希望用他们来逼近所有的函数，可是发现若可以用f(x)他们逼近的，甚至只是在局部的逼近，f(x)都必须具有一定的可微的性质，这对于大多数的函数来说是一个比较强的条件，而且有时候还没有好的结果，因此虽然有Taylor展开，以及幂级数展开，这些都是不够的，后来的Fourier级数要求f(x)是可积的或绝对可积的，而我们知道一个函数若只有可列个不连续点，那么他是可积的，可是虽然这样将函数的性质降低了，但是f(x)对应的Fourier级数的收敛性却增大了难度，更不要说收敛于他了，从这里可以窥见函数的分解成了一个不容易的问题。在理论上，如果一个函数在其定义域上可以被分段分解，那么他的性质就可以被刻画的比较清楚，这种化归的方法在这里遇到了困难，自然我们就想到能否用一组类似线性空间基的方法来表示满足某种性质的一部分函数组成的线性空间，于是有了用1、sinnx、cosnx:nN构成了的正交函数列来研究，总而言之，函数的展开始终是要研究的。教材问题对于这本数学分析的教材，由于我学习尚浅，因此更能以一个学习者的身份去看待它，并不是说教材有什么错，而仅仅是我个人的一些理解而已首先，我觉得本书对于有界数集必有确界的定理的证明是有误的，其中实际上有循环论证之嫌，这里主要是在没有建立一个完整的逻辑基础之前就直接或间接运用了一些在这个等价命题之下的一些结论，具体是其证明的过程中运用了实数的无限小数的表示形式，而这种表示要成立的话，就必须用到级数的收敛，即要用到单调数列必收敛，从而要用到有上界必有上确界证明单调有界数列必收敛，这就是说循环论证了。对于积分后面的无界函数的反常积分的类似无穷区域上的反常积分的定理没有给出来，虽然我们读者可以自己证明，但我觉得还是可以给出定理的内容予以参考，还有就是一些定理的证明，如积分第二中值定理等只给了很特殊的形式的证明，我想可能是作者出于对篇幅和读者负担的考虑吧自己的思考这里就是接你的了哈 膇膃莁螆羀聿莀袈膆蒈荿蚈羈莄莈螀芄芀莇袃肇膆莆羅衿蒄莆蚅肅莀蒅螇袈芆蒄衿肃膂蒃蕿袆膈蒂螁膂蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿蒀蚅羃膅葿螈膈肁薈袀羁莀薇薀膆芆薆蚂罿节薅袄芅膈薅羇肇蒆薄蚆袀莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀蚀蚃袇荿虿螅肂莅虿羇袅芁蚈蚇膁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇螄蚄膇膃莁螆羀聿莀袈膆蒈荿蚈羈莄莈螀芄芀莇袃肇膆莆羅衿蒄莆蚅肅莀蒅螇袈芆蒄衿肃膂蒃蕿袆膈蒂螁膂蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿蒀蚅羃膅葿螈膈肁薈袀羁莀薇薀膆芆薆蚂罿节薅袄芅膈薅羇肇蒆薄蚆袀莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀蚀蚃袇荿虿螅肂莅虿羇袅芁蚈蚇膁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇螄蚄膇膃莁螆羀聿莀袈膆蒈荿蚈羈莄莈螀芄芀莇袃肇膆莆