指数函数经典题目.ppt

为什么要规定a0,且a,1呢？,若a=0，则当x0时，,=0；,0时，,无意义.,当x,若a0，则对于x的某些数值，可使,无意义.,如,若a=1，则对于任何x,R，,=1，是一个常量，没有研究的必要性.,为了便于研究，规定：a0 ,且a1,在规定以后，对于任何x,R，,都有意义，且,0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).,时就没有意义 。,想一想：,识记与理解 练习： （口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？,例1,已知指数函数 的图象经过点(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3)。,1,1.一般地，函数 叫做指数函数，其中x是 ，函数的定义域是 值域是 . 2.函数y=ax(a0,且a1)，当 时，在(-,+)上是增函数；当 时，在(-,+)上是减函数. 3.y=ax(a0,且a1)的图象一定过点 .当a1时，若x0,则y ，若x0,则y ,若x0,且a1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向 平移个 单位得到的；函数y=a (a0,且a1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向 平移个 单位得到的.,y=ax(a0,且a1),自变量,R,（0,+）,a1,0a1,(0,1),1,(0,1),(0,1),1,右,2,右,m,左,m,5.函数y=ax和y=a-x的图象关于 对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于 对称. 6.当a1时，af(x)ag(x) ；当0ag(x) f(x)g(x).,y轴,原点,f(x)g(x),5.函数y=ax和y=a-x的图象关于 对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于 对称. 6.当a1时，af(x)ag(x) ；当0ag(x) f(x)g(x).,学点一 基本概念,指出下列函数中，哪些是指数函数： （1）y=4x;（2）y=x4;(3)y= -4x;(4)y=(-4)x; (5)y= x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a ,且a1.）,【分析】根据指数函数的定义进行判断.,【解析】由定义，形如y=ax(a0,且a1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数. （2）不是指数函数. （3）是-1与指数函数4x的积.,(4)中底数-40,所以不是指数函数. (6)是二次函数,不是指数函数. (7)底数x不是常数,不是指数函数.,已知指数函数y=(m2+m+1)（ ）x,则m= .,解： y=(m2+m+1) （ ）x为指数函数, m2+m+1=1,即m2+m=0, m=0或-1.,0或-1,求下列函数的定义域、值域: （1）y=2 ;（2）y=（ ） （3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10 .,【解析】（1）令x-40,得x4. 定义域为x|xR,且x4. 0,2 1, y=2 的值域为y|y0，且y1. （2）定义域为xR. |x|0,y= = =1, 故y= 的值域为y|y1. （3）定义域为R. y=4x+2x+1+1=(2 )2+22x+1=( 2 +1)2,且 0,y1. 故y=4x+2x+1+1的值域为y | y1.,X,X,（4）令 0,得 0,解得x-1或x1. 故定义域为x|x-1或x1. 值域为y|y0,且y10.,（1）要使函数有意义，必须1-x0，即x1, 函数的定义域是x|xR,且x1. （2）要使函数有意义，必须 - 0,则 2-1, -x2-1,即-1x1, 函数的定义域是x|-1x1.,求下列函数的定义域: （1）y=2 ; （2）y= ； （3）,(3)1- 0 1,x0,即定义域为x|x0.,比较下列各题中两个数的大小： （1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.,【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.71，指数函数y=1.7x在(-,+)上是增函数. 2.5-0.2，0.8-0.11.70=1,0.93.10.93.1.,讨论函数f(x)= 的单调性,并求其值域.,f(x)的定义域为R,令u=-x2+2x,则f(u)= . 又u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-,1上是增函数,即当 时， 有 . 又f(u)= 在其定义域内为减函数, . 函数f(x)在(-,1上为减函数, 同理可得f(x)在1,+)上为增函数. 又u=-x2+2x=-(x-1)2+11, f(u)= 在(-,1上是减函数, f(u) . 即f(x)的值域为,【解析】令 =t,x-3,2,t , y= =t2-t+1= , 当t= 时，y= ;当t=8时，y=57. 函数的最大值为57,最小值为 .,求函数y= ，x-3,2的最大值和最小值.,【分析】令 = t，化函数为关于t的二次函数，再求解.,已知函数y=a2x+2ax-1(a1)在区间-1,1上的最大值 是14,求a的值.,令t=ax,x-1,1，且a1,t . 原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 单调增区间是-1,+), 当t 时,函数单调递增, 当t=a时, =(a+1)2-2=14, 解得a=3或a=-5, 又a1,a=3.,画出函数 的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.,【解析】 其图象是由两部分合成的，一是把y=2x的图象向右平移1 个单位，在x1的部分，二是把 的图象向右平 移1个单位，在x1的部分，对接处的公共点为(1,1)，如 上图.,由图象可知函数有三个重要性质： （1）对称性：对称轴为x=1; （2）单调性：(-,1上单调递减，1,+)上单调递增； （3）函数的值域：1,+).,画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域.,先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为(-,+),函数的值域为(1,+).,设a是实数，f(x)=a- (xR). （1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数； （2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.,(1)证明：设x1,x2R，且x1x2，x1-x20,则 f(x1)-f(x2)= (a- )-(a- ) = = . 由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1x2, 所以 ,即 .,又由2x0得 所以f(x1)-f(x2)0, 因为此结论与a的取值无关， 所以不论a为何实数，f(x)均为增函数. （2）由f(-x)+f(x)=0得 得a=1.,删除,例 题,例4 指数函数y3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y3x11的图象，并画出它的图象,解 把函数y3x的图象向左平移一个单位得到函数 y3x1的图象，再把函数y3x1的图象向上平移 1个单位就得到函数y3x11的图象，如图,知识要点,1.整数指数幂及其运算法则,2.分数指数 （1）根式的定义； （2）根式的性质； （3）分数指数幂；,一般地，若 则x叫做a的n次方根 n叫做根指数，a叫做被开方数,当n为奇数时， =a；当n为偶数时， =|a|=,设函数y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使 y1y2的x的值.,解:(1)当a1时，使y1x2+5 x24 x2或x2或x-2,求下列各等式中的x的值,(1) 2x2+1=2x+3 ； (2) 22x-3(2x)-4=0 解 (1) 要使两个同底的幂相等，只需它们的幂指数相等，所以由原式得 x2+1=x+3 即 x2 x-2=0 x= -1或2 (2) 设z=2x，原等式化为 z2-3z-4=0 (z+1)(z-4)=0 即 z=-1 (舍去) 或z=4 由2x=4 ，得x=2,例1, 比较下列各题中几个值的大小：,解： (1)考察函数 y =1.7x，由于底数 1.71，所以指数函数 y =1.7x 在R上是增函数. 2.53, 1.7 2.5 1.7 3,(2) 考察函数 y = 0.8 x.由于底数 0.81，所以指数函数 y = 0.8 x在R上是减函数. 0.1 0.2, 0.8 0.1 0.8 0.2,(3) 已知 2 m 2 n 判断m,n的大小 (4) 已知aman (0a1)判断m,n的大小,解: (3)考察函数 y = 2x，由于底数 1, 所以指数函数 y =2x 在R上是增函数。 2 m 2 n m n.,(4)考察函数 y = a x.由于底数 0 a 1,所以指数函数 y = a x在R上是减函数 a m a n m n.,求下列函数的定义域和值域.,解: (1)要使函数有意义，必须使x0，所以定义域为(-,0)(0,+ );因为x0，则y1所以函数的值域为(0,1) (1,+ ).,(2)要使函数有意义，必须使x-10，即 x1,所以定义域为1,+ );因为指数大于等于0，所以y1，即函数的值域为1,+ ).,(1,+),(0, +),1, +),(0,1,(-1/2,0),二、课前练习,例4 .如图是指数函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图象则a,b,c,d与1的大小关系是( ),在y轴右侧的图象，底大图高.,ab1cd B. ba1dc C. ab1dc C. ba1cd,B,在第一象限内,按逆时针方向,底数越来越大.,记忆方法:,x=1,例1、解下列不等式,(1)解：160 原不等式可化为,y6x是R上的增函数,原不等式等价于 x210,解得：-1x1,原不等式的解集为 (-1，1),四、例题讲解,当0a1时 yax是R上的减函数,原不等式等价于 3x0,解得：x4,当0a1时 原不等式的解集为 (-，-1)(4，+),(2)解：,当a1时 yax是R上的增函数,原不等式等价于 3xx2-4 即 x2-3x-40,解得：-1x4,当a1时 原不等式的解集