矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt

一、矩阵的秩的概念,二、初等变换求矩阵的秩,三、向量组方面的一些重要方法,下页,第7节 矩阵的秩及向量组的极大无关组求法,向量组的秩的计算方法,极大无关组的确定方法,用极大无关组表示其它向量的方法,注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.,定义1 设A是mn矩阵，在A中任取k行k列(1kminm,n)， 位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列 式，称为A的k阶子式.,如矩阵,第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为,三阶子式共有4个,下页,7.1 矩阵的秩的概念,定义2 若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式 (如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).,规定零矩阵的秩为零.,易见：,（1）若A是mn矩阵，则r(A) minm,n.,（2）若mn矩阵A中有一个r阶子式不等于零 ，则r(A) r； 若所有r+1阶子式全等于零，则r(A) r.,（3） r(A) = r(AT) .,（4） r(kA) = r(A)，k0 .,（5） 对n阶方阵A，若|A|0，则r(A)=n ,称A为满秩矩阵 ; 若|A| = 0，则r(A)n ,称A为降秩矩阵.,结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.,下页,例1. 求下列矩阵的秩.,解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即,但二阶子式,所以,下页,定理1 初等变换不改变矩阵的秩.,定义3 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简 称阶梯形矩阵： （1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行 称为零行，否则称为非零行)； （2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素 前面零的个数逐行增加.,如,下页,7.2 初等变换求矩阵的秩,定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) mn都可以通过初等 行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即,结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.,下页,例2. 求矩阵,的秩.,下页,所以， r(A)=3.,解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵,下页,例3. 设方阵,判断A是否可逆.,解法1: 因为, 所以，A满秩(可逆).,解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得,所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.,下页,定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即,下页,7.3 向量组方面的一些重要方法,行向量组a1，a2， ，am的秩，称为矩阵A的行秩.,列向量组b1，b2， ，bm的秩，称为矩阵A的列秩.,定理3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.,例4. 求下列向量组,a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.,求向量组的秩的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩,解1：以a,a,a为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为 阶梯形矩阵后可求.,因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2,例4. 求下列向量组,a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.,解2：以a,a,a为行向量作成矩阵A，用初等变换将A化为 阶梯形矩阵后可求.,因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2,求向量组的秩的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩,问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？,定理4 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向 量组有相同的线性相关性.,证明从略,下面通过例子验证结论成立.,线性关系:,矩阵A,矩阵A1,矩阵A2,求向量组的极大线性无关组的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组,由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法：,下页,矩阵A2,矩阵A3,矩阵B,例5. 求下列向量组的一个极大无关组，其中：,解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵,矩阵B已是阶梯形矩阵, B的每阶梯 首列所在的列是1，2，4列，所以A的第 1，2，4列就是A的列向量组的极大线性 无关组，即a,a,a是向量组的一个 极大线性无关组.,下页,行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式)是指它为 阶梯形矩阵, 且它的每一行的第一个非零元素均为1, 第一个非零元 素所在的列其余元素均为0,例如, 利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形 矩阵C.,用极大线性无关组表示其它向量的方法,下页,即列向量组的一个 极大无关组化为了单 位向量组.,用极大线性无关组表示其它向量的方法为：,把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C； 根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其它向量,下页,例6. 求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量:,解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为行最 简形:,根据行最简形矩阵C可知a,a,a是向量组 的一个极大无关组，且 a3=2a1-a+0a, a5= a1+a+a.,下页,3 5 6 0,假设第5列为，,该如何表示？,一、填空题,1若向量组a，a， ，am，线性相关，则它的 秩（ ）m,2一个向量组若含有两个以上的极大无关组，则各极 大无关组所含向量个数必（ ）,3设a，a， ，ar线性无关，且可由 b，b， ，bs线性表示，则r ( ) s,设A是n阶方阵且|A|0，则（ ） 1) A中必有两行（列）元素对应成比例 2) A中至少有一行（列）的元素全为0 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合,二、单选题,下页,2设n阶矩阵A的秩为r，则结论（ ）成立. |A| 0; |A| 0; rn; rn.,3向量组a，a， ，as，线性无关的充要条件是（ ） r1; 它有一个部分向量组线性无关; r0; 它所有的部分向量组线性无关.,4若矩阵A有一个r阶子式D0，且A中有一个含有 D的r阶子式等于零，则一定有（ ） . r(A) r ; r(A) r ; r(A