2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题33抛物线及其性质理.docx

专题33 抛物线及其性质一、考纲要求：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用二、概念掌握和解题上注意点：1.应用抛物线定义的两个关键点(1）)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2）)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.2.求抛物线的标准方程的方法(1）)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.(2）)抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.3.研究抛物线的焦点坐标或准线方程，必须把抛物线化成标准方程，正确的求出p.4.解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法(1）)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2）)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式.(3）)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.三、高考考题题例分析例1.（2018课标卷I）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（）A5B6C7D8【答案】D例2.（2018课标卷II）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【答案】（1）y=x1；（2）（x3）2+（y2）2=16【解析】：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，直线l的方程y=x1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率k=1，直线l的方程y=x1；（2）过A，B分别向准线x=1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x22=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x3）2+（y2）2=16 例7.(2017课标卷II)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。【答案】6【解析】试题分析：点A，例8.(2017北京卷)已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A为线段BM的中点.【答案】（）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（）详见解析.，所以.故A为线段BM的中点.例9.(2017浙江卷)如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（）求直线AP斜率的取值范围；（）求的最大值【答案】（）；（）试题解析：（）设直线AP的斜率为k，则，直线AP斜率的取值范围是（）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是，因为|PA|=|PQ|=，所以|PA|PQ|=令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值 15抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【答案】216已知直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是_【答案】t0或t0，解得t0或t0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. 【答案】(1) y24x；(2) xy20或xy20.【解析】(1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24，因为x1x2y1y244p12，可得p2，则抛物线的方程为y24x.(2)由(1)知y24x，p2，可知y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m，所以直线l的方程为xy20或xy20.19.在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由【答案】(1)2；(2)见解析【解析】(1)如图，由已知得M(0，t)，P.20.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积. 【答案】(1) y28x；(2) 24.【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.21如图所示，已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线l的方程【答案】(1) yx1；(2) x2y10.【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为F(1，0)因为线段AB的中点在直线y2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1.即x2y10. 22抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. 【答案】(1) 2；(2)4【解析】(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程