2020版高考数学大一轮复习第三章4第四节导数与函数的极值、最值精练理.docx

第四节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.(2018辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)=x3-3x-1,在区间-3,2上的最大值为M,最小值为N,则M-N=() A.20B.18C.3D.0答案Af(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),f(x)在(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,M=1,N=-19,M-N=1-(-19)=20,选A.2.函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为()A.-1B.0C.1D.e答案Cf(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,故选C.3.从边长为10cm16cm的矩形纸板的四个角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3答案C设盒子的容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y=12x2-104x+160.令y=0,得x=2或203(舍去).当0x0,当2x5时,y0,所以当x=2时,ymax=144.4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)答案D由题图可知,当x0;当x=-2时,f(x)=0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.5.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.-5,0)B.(-5,0)C.-3,0)D.(-3,0)答案C由题意,f(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-,-2),(0,+)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3,则结合图象可知,-3a0,解得a-3,0).6.函数y=xlnx有极值,为.答案小;-1e解析y=lnx+1(x0),当y=0时,x=e-1;当y0时,0x0时,xe-1.y=xlnx在(0,e-1)上是减函数,在(e-1,+)上是增函数.y=xlnx有极小值,为y|x=e-1=-1e.7.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件.答案9解析y=-x2+81,令y=0,得x=9或x=-9(舍去).当0x0,函数单调递增;当x9时,y0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值.8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是.答案6解析f(x)=3x2-3a=3(x-a)(x+a),由f(x)的单调递减区间为(-1,1)知f(1)=0,可得a=1,由题意知f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2.所以1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3(-1)+4=6.9.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.解析(1)由题设知f(x)=3x2+2ax+b,且f(-1)=3-2a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.将a=0,b=-3代入检验知符合题意.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是x=1或x=-2.当x-2时,g(x)0;当-2x0.故x=-2是g(x)的极小值点.当-2x1时,g(x)0,故x=1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极小值点为x=-2,无极大值点.10.(2019山西长治期末)已知函数f(x)=lnx-ax.(1)若a0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为32,求实数a的值.解析(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+),且f(x)=x+ax2,因为a0,所以f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增.(2)由(1)可得f(x)=x+ax2,若a-1,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-a=32,所以a=-32(舍去).若a-e,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上单调递减,所以f(x)min=f(e)=1-ae=32,所以a=-e2(舍去).若-ea-1,令f(x)=0,得x=-a,当1x-a时,f(x)0,所以f(x)在(1,-a)上单调递减,当-ax0,所以f(x)在(-a,e)上单调递增,所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=32,所以a=-e,综上,a=-e.B组提升题组1.已知函数f(x)=exx2-k2x+lnx,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为() A.(-,eB.0,eC.(-,e)D.0,e)答案Af(x)=x2ex-2xexx4-k-2x2+1x=(x-2)exx-kx2(x0).设g(x)=exx,则 g(x)=(x-1)exx2,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.g(x)在(0,+)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=exx与y=k的图象可知,要满足题意,只需ke,故选A.2.(2018课标全国,16,5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.答案-332解析解法一:由f(x)=2sinx+sin2x,得f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2,令f(x)=0,得cosx=12或cosx=-1,可得当cosx-1,12时,f(x)0,f(x)为增函数,所以当cosx=12时,f(x)取最小值,此时sinx=32.又因为f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),1+cosx0恒成立,f(x)取最小值时,sinx=-32,f(x)min=2-321+12=-332.解法二:f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.令cosx=t,t-1,1,设g(t)=4(1-t)(1+t)3,g(t)=-4(1+t)3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).当t-1,12时,g(t)0,g(t)为增函数;当t12,1时,g(t)0,g(t)为减函数.当t=12时,g(t)取得最大值274,即f2(x)的最大值为274,得f(x)的最大值为332,又f(x)=2sinx+sin2x为奇函数,f(x)的最小值为-332.解法三:f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)=8sinx2cos3x2.f2(x)=64sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2=6433sin2x2cos2x2cos2x2cos2x26433sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244=274.当且仅当3sin2x2=cos2x2,即sin2x2=14,cos2x2=34时等号成立,所以f2(x)的最大值为274,则f(x)的最大值为332,又f(x)=2sinx+sin2x为奇函数,f(x)的最小值为-332.3.已知常数a0,f(x)=alnx+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值.(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ax+2=a+2xx.当a=-4时,f(x)=2x-4x.所以当0x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)单调递增.所以f(x)只有极小值,且在x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4-4ln2.所以当a=-4时,f(x)只有极小值4-4ln2,无极大值.(2)因为f(x)=a+2xx,所以当a0,x(0,+)时,f(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递增,没有最小值.当a0,得x-a2,所以f(x)在-a2,+上单调递增;由f(x)0,得x-a2,所以f(x)在0,-a2上单调递减.所以当a0时,f(x)的最小值为f-a2=aln-a2+2-a2.根据题意f-a2=aln-a2+2-a2-a,即aln(-a)-ln20.因为a0,所以ln(-a)-ln20,解得a-2,所以实数a的取值范围是-2,0).4.已知函数f(x)=xcosx-(a+1)sinx,x0,其中34a233.(1)证明:当x0,2时,f(x)0;(2)判断f(x)的极值点个数,并说明理