[管理学]线性代数.ppt

1,班级： 时间： 年 月 日；星期,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,2,友 情 提 示,本次课讲第五章第二三节：特征值应用相似矩阵与对角化 下次课讲第五章第四节：二次型及标准化 下次上课时交作业P43-44,3,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,4,（6）性质：正交变换不改变向量的长度,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,5,四、特征值与特征向量的概念 1.定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果 和 n 维非零列向量 x 使关系式：,（1）,成立，那么称数 为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 的特征向量.,注意：定义的几个要点 （1） A 是 n 阶矩阵，即方阵 （2）特征值 是数， （3）特征向量x 是非零向量,2.如何求特征值与特征向量 （1）特征值的求法,第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量,6,第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量,7,（2）特征向量的求法：,第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量,3.特征值与特征向量的性质 （1）利用特征值计算行列式,8,（2）,1) 设是方阵 A 的特征值，证明:,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,9,（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,10,即,则,同理:,将上面各式写成矩阵的形式:,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,11,或:,所以向量组 线性无关.,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,12,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,13,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,14,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,15,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,16,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,17,（2）对角化的概念：,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,18,证,因 A 与 B 相似，,即有可逆矩阵 P，,使,所以,（2）对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,19,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,20,证：必要性：,把 P 用列向量表示为,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,21,充分性：如果有个线性无关的特征向量，则以这个特征向量为向量组组成矩阵,2.An对角化的判定方法,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,22,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,23,概括矩阵A对角化的判断路线如下：,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,24,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,25,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,26,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,27,对角化即可相似化，关键看是否有n个无关特征向量， 单根能保证，即关键是k重根是否有k个无关向量。有一类 我们熟悉的矩阵叫对称矩阵，对称矩阵不但能保证相似化， 而且保证k重根有k个无关特征向量，,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,28,证,3.对称矩阵对角化结论：,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,29,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,4.对称矩阵对角化的步骤概括：,30,第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化,31,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,本次课讲第五章第4、5节，下次课讲第6,7节 下次上课时交作业P45P46，P49-P50,32,对称矩阵 对角化,求正交 矩阵P,基础解系即 特征向量,正交化并 单位化,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,33,得特征值,例1 设 求一个正交矩阵 P, 使 为对角矩阵.,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,34,其基础解系为:,单位化得:,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,35,将 单位化得：,3),于是得:,可以验知:,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,36,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,37,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,38,一、二次型的标准化 1.预备知识：合同矩阵及其性质,性质：合同矩阵对称性不变、秩不变,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,39,2.二次型与二次型的标准型的概念,（1）二次型的概念,定义8,含有 n 个变量 的二次齐次函数,（5）,称为二次型.,为复数（实数）,称复（实） 二次型.,取 ，,于是（5）式可写作,（6）,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,40,（2）二次型的标准型,对二次型来说，若存在可逆的线性变换,（7）,使二次型只含平方项，,即将（7）代入（5），能使,则（8）式称为二次型的标准形。,（8）,3.二次型与标准型的矩阵表示形式,由（6）式，利用矩阵，二次形可写成如下形式,本次课的中心议题是找到可逆变换P，把二次型（5）变成标准型（8）,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,41,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,42,记,则二次型可记作,（9）,其中 A 为对称矩阵.,任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.因此，我们把对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩就叫做二次型的秩,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,43,如：,用矩阵记号写出来为,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,44,二、将二次型标准化方法,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,45,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,46,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,47,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,48,二次型标准化的解题过程，我们可概括如下：,二次型的 一般形式,二次型的 标准化,矩阵形式,通过正交 变换,对称矩阵 对角化,求正交 矩阵P,基础解系即 特征向量,正交化并 单位化,对称性 不变,秩不变,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,49,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,50,再求特征向量即基础解系,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,51,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,52,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,53,第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化,54,第十