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中档题专练(六)1.在平面直角坐标系xOy中,设锐角的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点Q(x2,y2),记f()=y1+y2.(1)求函数f()的值域;(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,且a=2,c=1,求b.2.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系,得到关系式m=kSd2(k为常数,k0),如图,某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B,且商场B的面积与商场A的面积之比为(01).记“每年居民到商场A购物的次数”与“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2,称满足m1b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(3,1)在椭圆上,PF1F2的面积为22.(1)求椭圆C的标准方程;若F1QF2=3,求QF1QF2的值.(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.答案精解精析1.解析(1)由题意得y1=sin,y2=sin+2=cos,所以f()=sin+cos=2sin+4,因为0,2,所以+44,34,故f()的值域为(1,2.(2)因为f(C)=2sin4+C=2,且易知C0,2,所以C=4,在ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即1=2+b2-2222b,解得b=1.2.解析设商场A、B的面积分别为S1km2、S2km2,点P到A、B的距离分别为d1km、d2km,则S2=S1(00.(1)在PAB中,AB=10,PA=15,PAB=60,由余弦定理,得d22=PB2=AB2+PA2-2ABPAcos60=102+152-2101512=175.又d12=PA2=225,则m1-m2=kS1d12-kS2d22=kS1d12-kS1d22=kS11d12-d22,将=12,d12=225,d22=175代入,得m1-m2=kS11225-1350.因为kS10,所以m1m2,即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内.(2)以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(10,0),设P(x,y),由m1m2得kS1d12kS2d22,将S2=S1代入,得d22d12.代入坐标,得(x-10)2+y2(x2+y2),化简得(1-)x2+(1-)y2-20x+1000,配方得x-101-2+y2101-2,所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是圆心为C101-,0,半径为r1=101-km的圆的内部,与商场B相距2km以内的区域(含边界)是以B(10,0)为圆心,r2=2km为半径的圆的内部及圆周.由题设知圆B内含
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