《二重积分习题课》PPT课件.ppt

习题课,重积分(二重),习题二重积分计算,一 的解题程序,（1）画出积分域D的草图。,（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。,表11-1,（3）选择积分次序,选序的原则： 先积分的容易，并能为后积分创造条件； 对积分域D的划分，块数越少越好。,（4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。,定限口诀：,后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数),限内划条线，(该直线/坐标轴且同向.),先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数),后交上限见。,直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).,直线l/y轴它先与D的边界曲线y = 1(x)相交, 1(x)取做下限,后成D的边界曲线y = 2(x)相交, 2(x)取作上限,故,与以上作类似分析，可得,注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量 ，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。,图11-2(b),图11-2(a),直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).,解 （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。,【例1】 设 ，则改变其 积分次序后为 。,二 极坐标系中积分限的确定,一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先后 ”。 即,积分限随极点0与积分域D 的边界曲线的相对位置而定。,当极点0在域D的 边界曲线之外时,图11-3(a),2. 当极点0在域D的边界线上时,图11-3(b),3. 当极点0在积分域D的边界线之内时,图11-3(c),3. 当极点0在积分域D的边界线之内时,图11-3(c),三 典型例题分析,（ 1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；,（2）依据不等式组画出积分域D的草图；,（3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。,三 典型例题分析,1. 更换积分次序,解题程序,【例2】更换下列积分次序：,解 （1）由积分的上下限知,由D1, D2作出D的图形，见图11-4。,于是,故,图11-4,分别写出右边两个积分所确定的不等式组,由D1, D2作出D的图形见图11-5，于是,解 极坐标系中的二重积分，若先对后对进行积分，则应注 意如下两点：,（1）积分域D的边界曲线均用极坐标表示；,（2）若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的 不同曲线相交，则应在交点处把的区间分开处理。,【例11.6】更换下列积分次序：,作图, 见图11-8。,图11-8,图11-9,等等，一定要将其放在后面积分。,凡遇如下形式积分：,2. 选择积分次序,解 （1） 不能用有限形式表示出其结果，它不能 先积分，故,图11-10,D是以(0,0),(1,1),(0,1)为,【例3】计算下列二重积分：,顶点的三角形。,D是由直线y = x及抛物线y = x2所围成的区域。,（2）因为 不能用有限形式 表示出其结果，所以它不能先积分，故,图11-11,【例4】计算,解 不能用有限形式表示出其结果,先要写出右边两积分的积分域 所对应的不等式组,图11-12, 不能先计算,为了改变积分次序,3. 坐标系的选择,【例6】设有一曲顶柱体，以 双曲抛物面z = xy为顶，以xoy 坐标面为底，柱面x2 + y2 = 1外、 柱面x2 + y2 = 2x内为侧， 试求这个柱体的体积。,解 由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影，即积分域D如 图11-14所示，,图11-14,由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱 体的 体积更简单。,曲线L1：=2cos， L2： =1，联立解得，,图11-14,【例7】求由下列曲面所围成的体积: z = x+y, z = xy, x+y = 1, x = 0, y = 0.,解 显然，由以上曲面所围的空间形体 在x0y坐标上的投影是由x+y = 1及x, y轴 所围成的三角形，如图11-16。,因而,图11-16, 所求体积,5. 杂例,【例9】计算下列积分：,解,三、对称性算法,利用对称性计算二重积分：,同理可得：,对称性算法举例,例10,对称性算法举例,例11,思考：,11.3 二重积分的证题技巧,一 有关等式的证明,1. 概念型命题的证明,凡欲证结论：f (x, y) = 0的命题，多数用反证法。,【例13】设f(x, y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何 一个子域上，恒有 ，则在D内,证 用反证法 设有一点,不妨设,由f(x, y)的连续性，可知一个 的领域,使得在其中f (x, y) 0，于是，由积分中值定理，,必,积，又因,与假设矛盾，即知在D内有f(x,y),2. 累次积分型的命题的证明,证题思路：,证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的 无关性。,【例14】设f(x)在0,a(a 0)上连续，试证：,证,图11-22,4. 二重积分的变量替换,设被积函数f(x, y)在区域D上连续，若变换x = x(u,v), y = y (u,v),满足如下条件：,（1）将uov平面上的区域D*上的点一对一地变为D上的点；,（2）x(u,v), y(u,v)在D*上有连续的一偏导数，且雅可比行列式,注：(1) 作什么变换主要取决于积分域D的形状，有时也 兼顾被积函数f (x, y)的形式，基本想法是定限简便，求积容易。,(2) J的性质,【例15】计算 ，其中D是由曲线,在第1象限中所围成的区域。,解 是一个四次方程，要解出x(或y)相当难，因此 不宜在直角坐标系中计算，为此，令,则曲线方程变为：,又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是,因而,则有,【例16】计算,所围区域。,图11-18,图11-19,解 令,，则域D变为D*其中,习题课,重积分(三重),本习题课重点,复习并掌握在不同坐标系下化三重积分为三次积分的定限方法。,问题1,1. 直角坐标,先z次y后x,先y次x后z,先x次y后z,先x次z后y,2. 柱面坐标,先z次r后,3. 球面坐标,先次后,请自作草图！,问题2,1. 直角坐标,先z次y后x,先y次x后z,先x次y后z,先x次z后y,2. 柱面坐标,先z次r后,3. 球面坐标,先次后,问题3,1. 用柱面坐标时，f 与应满足：,2. 用球面坐标时，f 与应满足：,练习题1,练习题2,问题1,问题3,问题2,问题4,问题5,问题6,双曲抛物面(鞍面),见右图,先z次y后x,略！,练习题3,问题1,问题3,问题2,问题4,(1)柱坐标； (2)直角坐标的先二后一,(1)柱坐标：,(2)直角坐标的先二后一：,略！,略！,练习题4,问题1,问题3,问题2,问题4,用柱坐标和先2后1,问：,I=？,显然，先2后1较难,练习题5,问题1,问题3,问题2,问题4,球坐标,略！,练习题6,问题1,问题4,问题3,问题5,问题2