2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案新人教A版.docx

14生活中的优化问题举例1.了解导数在解决实际问题中的作用2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题探究点1面积、容积最大问题某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用【解】(1)因为容器的体积为立方米，所以r2l，解得lr，所以圆柱的侧面积为2rl2r，两端两个半球的表面积之和为4r2，所以y34r248r2.又lr0r0得2r2；令y0得0r0得2r2；令y0得0r2，故当r时，函数单调递减，故当r时，ymin.利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数式，注明定义域，再转化为用导数求最值若在定义域内只有一个极值，则这个极值便为最值 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V(902x)(482x)x(0x24)，即V4x3276x24 320x.因为V12x2552x4 320，由V12x2552x4 3200，得x110，x236.因为0x10时，V0，10x36时，V0，x36时，V0，所以当x10时，V有极大值V(10)19 600.又因为0x24，所以V(10)也是最大值所以当x10时，V有最大值V(10)19 600.故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.探究点2用料(费用)最省问题现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【解】(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知，函数的定义域为(0，35，即y300x(0x35)(2)由第一问知，y300，令y0，解得x40或x40(舍去)，因为函数的定义域为(0，35，所以函数在定义域内没有极值点又当0x35时，y0，所以y300x在(0，35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得pkv3，其中k为比例系数，它可以由v10，p6求得，即k0.006，则p0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v396(元)，而行1海里所需时间为小时，所以行1海里的总费用为q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.因为当v20时，q0；当v20时，q0，所以当v20时q取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小探究点3利润最大问题某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)(1)写出y关于x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大【解】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1x)，月平均销售量为a(1x2)件，则月平均利润ya(1x2)20(1x)15(元)，所以y关于x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0x1)(2)由y5a(42x12x2)0，得x1，x2(舍去)，当0x时，y0；当x1时，y0，所以函数y5a(14xx24x3)(0x1)在x处取得极大值，即最大值故改进工艺后，产品的销售价为2030元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动(2)关于利润问题常用的两个等量关系利润收入成本；利润每件产品的利润销售件数 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；(2)若年销售量关于x的函数为y3 240，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10(1x)；出厂价为13(10.7x)，年销售量为5 000(10.4x)因此本年度的年利润为：p13(10.7x)10(1x)5 000(10.4x)(30.9x)5 000(10.4x)1 800x21 500x15 000(0x1)(2)本年度的年利润为f(x)(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)，则f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)，令f(x)0.所以x或x3(舍去)当0x0，当x1时f(x)0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9或x9(舍去)，当x(0，9)时，y0，当x(9，)时，y0，所以y先增后减所以当x9时函数取得最大值选C.2将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对解析：选B.设一个数为x，则另一个数为8x，其立方和yx3(8x)3512192x24x2且0x8，则y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40，所以当x4时，y取得极小值，也是最小值所以这两个数为4和4.3甲、乙两地相距400 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系式为Pv4v315v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v(km/h)的函数关系式；(2)为使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？并求出最低运输成本解：(1)汽车从甲地到乙地需用 h，故全程运输成本为Q6 000(0v100)(2)由第一问得Q5v，令Q0，得v80(v0舍去)当0v80时，Q0；当800.所以当汽车的速度为80 km/h时，全程运输成本最低，最低运输成本为元知识结构深化拓展利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式yf(x)(2)求函数f(x)的导数f(x)，并解方程f(x)0，即求函数可能的极值点(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值(4)根据实际问题的意义给出答案. A基础达标1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B. C1 D8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：选D.毛利润为(P20)Q，即f(P)(P20)(8 300170PP2)，f(P)3P2300P11 7003(P130)(P30)令f(P)0，得P30或P130(舍去)又P20，)，故f(P)maxf(P)极大值，故当P30时，毛利润最大，所以f(P)maxf(30)23 000(元)3某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边需要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为()A32 m，16 m B30 m，15 mC64 m，8 m D36 m，18 m解析：选A.要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短设堆料场宽为x m，则长为 m，因此新墙总长L(x)2x(x0)，则L(x)2.令L(x)0，解得x16(x16舍去)故当x16时，L(x)取得最小值，此时长为32(m)4某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A左右长12 cm，上下长18 cmB左右长12 cm，上下长19 cmC左右长11 cm，上下长18 cmD左右长13 cm，上下长17 cm解析：选A.设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x2)cm，上下长为cm，所以纸张的面积S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.当x10时，S单调递增；当0x0)，y240，令y0，得v80，当v80时，y0；当0v80时，y0)由L(x)x20，得x25.令L(x)0，得0x25；令L(x)25，得L(x)在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，)上单调递减，所以当x25时，总利润最高答案：259某商店经销一种奥运纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数，4a5)元的税收，设每件产品的日售价为x(35x41)元，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值解：(1)设日销售量为，当日售价为40元，日销量为10件时，10，所以k10e40，故日销售量为件则日利润L(x)(35x41)(2)由(1)可得L(x)，因为4a5，所以35a3136.令L(x)0，得xa31，故L(x)在35，a31上为增函数，在a31，41上为减函数所以当xa31时，L(x)取得最大值，最大值为10e9a.10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需要新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256(0xm)(2)对第一问中函数f(x)求导得，f(x)mx(x512)(x512)(0x640)令f(x)0，解得x512，即x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0，64)上为减函数；当640，f(x)在区间(64，640上为增函数所以f(x)在x64处取得极小值，也是最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小B能力提升11若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()A2R2 BR2C4R2 D.R2解析： 选A.设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x ，所以S侧2xh2h 2 ，令tR2h2，则t2R2hh3，令t0，得hR(舍负)或h0(舍去)，当0h0，当Rh2R时，t0，所以当hR时，圆柱的侧面积最大所以侧面积的最大值为22R2，故应选A.12将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析：如图，设ADx(0x1)，则DEADx，所以梯形的周长为x2(1x)13x.又SADEx2，所以梯形的面积为x2，所以s(0x1)，则s.令s0，解得x或x3(舍去)当x(0，)时，s0，s为增函数，故当x时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为.答案：13某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元(桩位视为一点且打在长方形的边上且四个顶点各有一个桩位)，桩位之间的x米墙面需花(2)x万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？解：由题意可知，需打2