浙江省2020版高考数学第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第2节二次函数习题（含解析）.docx

第2节二次函数考试要求1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.知 识 梳 理1.二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0).(2)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k).(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).2.二次函数yax2bxc的图象和性质a0a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系mn，即(n，)mn，即(m，n)mn，即(，m)图象最值f(x)maxf(m)，f(x)minf(n)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minff(x)maxf(n)f(x)minf(m)4.一元二次方程根的分布设方程ax2bxc0(a0)的不等两根为x1，x2且x1x2，相应的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件)表一：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1k，x2k，x2k一个根小于k，一个大于k，即x1k0)综合结论(不讨论a)af(k)0表二：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根都在区间(m，n)外(x1n)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，mnp0)综合结论(不讨论a)若两根有且仅有一根在(m，n)内，则需分三种情况讨论：当0时，由0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；当f(m)0或f(n)0，方程有一根为m或n，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间(m，n)内；当f(m)f(n)0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果二次函数f(x)的图象开口向上且关于直线x1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式为f(x)(x1)21.()(2)已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是.()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数.()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()答案(1)(2)(3)(4)2.已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值是()A.5 B.5 C.6 D.6解析由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C3.若方程x2(m2)xm50只有负根，则m的取值范围是()A.4，) B.(5，4C.5，4 D.(5，2)解析由题意得解得m4.答案A4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A.0，1 B.1，2C.(1，2 D.(1，2)解析画出函数yx22x3的图象(如图)，由题意知1m2.答案B5.已知方程x2(m2)x2m10的较小的实根在0和1之间，则实数m的取值范围是.解析令f(x)x2(m2)x2m1.由题意得 即解得m0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()(2)若函数f(x)ax22x3在区间4，6上是单调递增函数，则实数a的取值范围是.解析(1)由A，C，D知，f(0)c0，所以ab0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)c0，所以ab0，所以对称轴x0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.【例32】 将例31改为：求函数f(x)x22ax1在区间1，2上的最大值.解f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa，(1)当a时，f(x)maxf(2)4a5；(2)当a，即a时，f(x)maxf(1)22a.综上，f(x)max规律方法研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.【训练3】 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min考点四一元二次方程根的分布多维探究角度1两根在同一区间【例41】 若二次函数yx2mx1的图象与两端点为A(0，3)，B(3，0)的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围.解线段AB的方程为1(x0，3)，即y3x(x0，3)，由题意得方程组：消去y得x2(m1)x40，由题意可得，方程在x0，3内有两个不同的实根，令f(x)x2(m1)x4，则解得所以3m.故实数m的取值范围是.角度2两根在不同区间【例42】 求实数m的取值范围，使关于x的方程x22(m1)x2m60.(1)一根大于1，另一根小于1；(2)两根，满足0a14；(3)至少有一个正根.解令f(x)x22(m1)x2m6，(1)由题意得f(1)4m50，解得m.即实数m的取值范围是.(2)解得所以m.故实数m的取值范围是.(3)当方程有两个正根时，解得3m1.当方程有一个正根一个负根时，f(0)2m60，解得m3.当方程有一个根为零时，f(0)2m60，解得m3，此时f(x)x28x，另一根为8，满足题意.综上可得，实数m的取值范围是(，1).角度3在区间(m，n)内有且只有一个实根【例43】 已知函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.解依题意，得(1)(2)(3)解得m1，经验证，满足题意.又当m0时，f(x)2x1，它显然有一个为正实数的零点.综上所述，m的取值范围是(，01.规律方法利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤：(1)设出对应的二次函数；(2)利用二次函数的图象和性质列出等价不等式(组)；(3)解不等式(组)求得参数的范围.【训练4】 (1)已知二次函数y(m2)x2(2m4)x(3m3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.(2)若关于x的方程x22(m1)x2m60有且只有一根在区间(0，3)内，求实数m的取值范围.解(1)令f(x)(m2)x2(2m4)x(3m3).由题意可知(m2)f(1)0，即(m2)(2m1)0，所以2m.即实数m的取值范围是.(2)令f(x)x22(m1)x2m6，解得所以m1.f(0)f(3)(2m6)(8m9)0，解得3m.f(0)2m60，即m3时，f(x)x28x，另一根为8(0，3)，所以舍去；f(3)8m90，即m时，f(x)x2x，另一根为(0，3)，满足条件.综上可得，3f(1)，则()A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0.答案A2.设二次函数f(x)ax22axc在区间0，1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A.(，0 B.2，)C.(，02，) D.0，2解析f(x)的对称轴为x1，由f(x)在0，1上递减知a0，且f(x)在1，2上递增，f(0)f(2)，f(m)f(0)，结合对称性，0m2.答案D3.若函数f(x)x2axa在区间0，2上的最大值为1，则实数a等于()A.1 B.1C.2 D.2解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得.f(0)a，f(2)43a，或解得a1.答案B4.已知函数f(x)x22axb(a，bR)，记f(x)在ab，ab上的最大值为M，最小值为m，则Mm()A.与a有关，且与b有关B.与a无关，且与b无关C.与a有关，但与b无关D.与a无关，但与b有关解析函数f(x)x22axb(xa)2a2b，所以f(x)的对称轴为xa且开口向上，因为区间ab，ab也关于xa对称，所以mf(a)ba2，Mf(ab)f(ab)b2a2b，所以Mmb2，故选D.答案D5.(2019嘉兴检测)若f(x)x2bxc在(m1，m1)内有两个不同的零点，则f(m1)和f(m1)()A.都大于1 B.都小于1C.至少有一个大于1 D.至少有一个小于1解析设函数f(x)x2bxc的两个零点为x1，x2，则f(x)(xx1)(xx2)，因为函数f(x)x2bxc的两个零点在(m1，m1)内，所以f(m1)0，f(m1)0，又因为f(m1)f(m1)(m1x1)(m1x2)(m1x1)(m1x2)(m1x1)(m1x1)(m1x2)(m1x2)1，所以f(m1)和f(m1)至少有一个小于1，故选D.答案D6.若函数f(x)x2kxm在a，b上的值域为n，n1，则ba()A.既有最大值，也有最小值B.有最大值但无最小值C.无最大值但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析取kmn0，f(x)x2，由图象可知，显然ba不存在最小值.f(a)a2kam，f(b)b2kbm，fkm，f(a)f(b)2fn1n12n2，ba2，当b，a时，ba取得最大值为2，故选B.答案B7.(2016浙江卷)已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析f(x)x2bx，当x时，f(x)min.又f(f(x)(f(x)2bf(x)，当f(x)时，f(f(x)min，当时，f(f(x)可以取到最小值，即b22b0，解得b0或b2，故“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.答案A8.函数f(x)ax2bxc(a0)的图象关于直线x对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf(x)2nf(x)p0的解集不可能是()A.1，2 B.1，4C.1，2，3，4 D.1，4，16，64解析f(x)ax2bxc(a0)的对称轴为x.设方程mf(x)2nf(x)p0的解为f1(x)，f2(x)，则必有f1(x)y1ax2bxc，f2(x)y2ax2bxc，那么从图象上看yy1，yy2是平行x轴的两条直线，它们与f(x)有交点，由对称性，方程y1ax2bxc0的两个解x1，x2应关于对称轴x对称，即x1x2，同理方程y2ax2bxc0的两个解x3，x4也关于对称轴x对称，即x3x4，在C中，可以找到对称轴直线x2.5，也就是1，4为一个方程的根，2，3为一个方程的根，而在D中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎样分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D不可能.答案D9.(2019衢州二中二模)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，若存在非零实数t，使得f(t)f2成立，则a24b2的最小值为()A. B. C.16 D.4解析由f(t)f2知，存在实数t0，使a2b0成立，又a24b2的几何意义为坐标原点与点(a，2b)的距离的平方，记2bm，ut，则u24.故a2b0，即uamu20，其表示动点(a，m)的轨迹，设为直线l，则原点与点(a，m)的距离的最小值为原点到直线l的距离，故a24b2，故选A.答案A二、填空题10.已知b，cR，函数yx22bxc在区间(1，5)上有两个不同的零点，则f(1)f(5)的取值范围是.解析设f(x)的两个零点为x1，x2，不妨设1x1x2f(x1)0，f(5)f(x2)0，所以f(1)f(5)0.另一方面f(x)(xx1)(xx2)，所以f(1)f(5)(1x1)(1x2)(5x1)(5x2)2x1x26(x1x2)262x1x212262(3)282(3)2816，所以f(1)f(5)的取值范围是(0，16).答案(0，16)11.已知f(x)若存在实数t，使函数yf(x)a有两个零点，则t的取值范围是.解析由题意知函数f(x)在定义域上不单调，如图，当t0或t1时，f(x)在R上均单调递增，当t0时，在(，t)上f(x)单调递增，且f(x)0，在(0，)上f(x)单调递增，且f(x)0.故要使得函数yf(x)a有两个零点，则t的取值范围为(，0)(0，1).答案(，0)(0，1)12.(2019诸暨统考)已知a，b都是正数，a2bab2abab3，则2abab的最小值等于.解析设2ababt，则t0，且3ab(ab)ababab(t2ab)tab，故关于ab的二次方程2(ab)2(1t)ab3t0的解为正数，所以解得43t3，即2abab的最小值等于43.答案4313.已知f(x1)x25x4.(1)f(x)的解析式为；(2)当x0，5时，f(x)的最大值和最小值分别是.解析(1)f(x1)x25x4，令x1t，则xt1，f(t)(t1)25(t1)4t27t10，f(x)x27x10.(2)f(x)x27x10，其图象开口向上，对称轴为x，0，5，f(x)minf，又f(0)10，f(5)0.f(x)的最大值为10，最小值为.答案(1)x27x10(2)10，14.(2018浙江卷)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是.解析若2，则当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，得1x2.综上可知1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4).令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知14. 答案(1，4)(1，3(4，)能力提升题组15.(2019杭州质检)设函数f(x)x2axb(a，bR)，记M为函数y|f(x)|在1，1上的最大值，N为|a|b|的最大值()A.若M，则N3 B.若M，则N3C.若M2，则N3 D.若M3，则N3解析由题意得|f(1)|1ab|M|ab|M1，|f(1)|1ab|M|ab|M1.|a|b|则易知NM1，则选项A，B不符合题意；当a2，b1时，M2，N3，则选项C符合题意；当a2，b2时，M3，N4，则选项D不符合题意，故选C.答案C16.(2019丽水测试)已知函数f(x)x2axb，集合Ax|f(x)0，集合B，若AB，则实数a的取值范围是()A.，5 B.1，5C.，3 D.1，3解析设集合Bx|mf(x)n，其中m，n为方程f(x)的两个根，因为AB，所以n0且mf(x)min，a24b0，于是f(n)f(0)b，则由a24ba250得a或a，令tf(x)0，则由f(f(x)得f(t)，即t2at，解得at0，所以Bx|mf(x)nx|af(x)0，解得ma，所以af(x)minfa，解得1a5.综上所述，实数a的取值范围为，5，故选A.答案A17.已知二次函数f(x)ax2bx(|b|2|a|)，定义f1(x)maxf(t)|1tx1，f2(x)minf(t)|1tx1，其中maxa，b表示a，b中的较大者，mina，b表示a，b中的较小者，下列命题正确的是()A.若f1(1)f1(1)，则f(1)f(1)B.若f2(1)f2(1)，则f(1)f(1)C.若f2(1)f1(1)，则f1(1)f2(