电磁场习题解读.doc

静电例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o,外力需作功A=aaq1q2q3xo解：由已知q1所受静电力令例2、有两个点电荷带电量为nq和-q（n1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。证明：空间任一点电势整理可得：上式为球面方程：球心坐标 、0、0）球面半径例3、点电荷-q位于圆心处，A、B、C、D位于同一圆周上的四点如图示。将q0从A移至B、C、D点，电场力的功。A=0例4.已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量，求:通过其余部分的电场通量。解：由高斯定理，例5、长为L,线电荷密度l的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a，求两棒间的静电力。LLa解：任意一根棒上一段电荷元在其延长线上一点产生场强dE: ，LdldExo则棒2受棒1静电力：，其中df是棒2上一段电荷元所受棒1的静电力 ， LdlExlLoax+dx例6 .无限长共轴直圆筒，半径为R1，R2，均匀带正电，单位长度电量分别为l1， l2，设外筒电势为0，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。解：电场具有对称性，利用叠加原理求场强：R1R2O当rR1时，E1=0；当R1 rR2时, ；然后用线积分求电势分布，当rR1时，因积分路径上场强表示各段不同，需分段积分，即当R1 rR2时，筒间电势差即r=R1处的电势v 选做题1、半径为R的均匀带电圆面，电荷的面密度为e，（1）球轴线上离圆心的坐标为x处的场强；（2）在保持e不变的情况下，当R分别趋于0和时，结果各如何？（3）在保持总电荷Q=R2不变的情况下，当R分别趋于0和时，结果各如何？（4）求轴线上电势U（x）的分布，并画出U-x关系曲线。2、半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内外半径分别为R2、 R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q，（1）求两球的电势U1和U2；（2）以导线把球和壳接在一起后， U1和U2分别是多少？（3）在（1）中，若外球接地，则U1和U2分别是多少？（4）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？例题1 设电偶极子的两电荷-q和+q间的距离为l，求距离电偶极子远处的电势和场强的分布。 解 ( 1 ) 电势分布设场点P到的距离分别为和，则单独存在时P点的电势为.根据电势叠加原理，有.电偶极子的中点O到场点P的距离为r, 按题意，于是有：,;,.将它们代入U的表达式，可得,电偶极子在远处的性质是由它的电偶极矩决定的。( 2 ) 场强分布由于轴对称性，U与方位角j无关，采用平面极坐标系，其极轴沿电矩p，原点O位于电偶极子的中心。场强E的两个分量分别为：,在电偶极子的延长线上，有：， ； 在电偶极子的中垂面上，有：，.例题2 一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。解 电子带负电，所以它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 于是，.电场力作功使电子动能增加，因此电子到达阳极时获得的动能为.又，电子质量，所以电子到达阳极时的速率为.元电荷是电子和质子等微观粒子带电的基本单位。任何一个带有电量e的粒子，只要飞越一个电势差为1 V的区间，电场力就对它作功,从而该微观粒子本身就获得了这么多的能量。在近代物理学中，常把这个能量称为1 eV (电子伏特)，即.例题三 设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷电偶极层,如图，求P点的电势和场强。解：从图中看：为矢径r与dS法线n之间的夹角，于是有 ，代入面元dS在垂直于矢径r方向的投影 定义电偶极层强度：单位面积上的电偶极矩 曲面S对场点P所张的立体角 P点的电场强度 讨论：1） 电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关；2） 几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变：负电荷一侧：；正电荷一侧：具体考察图中两点，当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差： 电偶极层两侧的电势跃变： 稳恒磁场定理及定律：洛伦兹力公式：安培定律 ：毕萨定理：几种典型电流的B分布：一段载流直导线：圆电流圈的圆心和轴线上： 例题1、如图在半径为R的圆周上，a、b、c三点依次相隔90，a、c两处有垂直纸面向里的电流元。求：b点磁感应强度 解: ；例题2、 无限长载流圆柱体，半径R，通以电流I，电流均匀分布在截面上，现在圆柱体挖去一半径为b的小圆柱体，其轴线相互平行，且相距a(a+bR),设挖去小圆柱体后，余下部分电流密度不变，p点在oo的延长线上op=a。求：Bp=?解：电流均匀分布的无限长载流柱体的磁场分布为：；此题相当于电流流向相反的大小两载流柱体产生磁场的叠加例题3、 载流方线圈边长2a,通电流I,求：中心o处磁感应强度解：O点B为四段有限长直载流导线产生的磁感应强度的叠加，方向相同，所以方向：例题4、无限长直电流I1在纸面内，无限长直电流I2与纸面垂直，并与I1相距d ， P点纸面内与I1I2的距离均为d。设：求：P点的磁感应强度大小解：；例题5 、点电荷q在均匀磁场中固定不动，一电子质量m，电荷为e，在q的库仑力及磁场力的作用下，绕 q 作匀速圆周运动，轨道平面与B垂直。已知q作用在电子上的力的大小等于磁场力的 N 倍，求电子正反两个方向的角速度。解：由题意分析，e、q一定异号，它们之间的静电力为吸力。当磁场力也提供向心力时，；当磁场力与静电力反向时（电子反向转）麦克斯韦方程组 1、 已知无源区（)中电场强度。式中 是常量。用maxwell方程求 ，并证明：解：利用maxwell方程 ，并用分量表示 得：令上式中对应个分量相等，然后对t求积分并略去与t无关的常数项，得，写成矢量式： 将上式代入得：，比较题给的可得 ：2、证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。证明：根据maxwell方程的辅助方程 代入电流连续性方程由于媒质均匀，所以由于，则， 即，代入，有所以任意瞬间的电荷密度为，式中，是时刻t=0的电流密度。式中的，具有时间的量纲，称为导电媒质的弛豫时间或时常数。它是电荷密度减少到其初始值的1/e所需的时间。由电荷密度的表示式可知，电荷按指数规律减少，最终流至并分布于导体的外表面。3、证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为0。证：据maxwell方程可知通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为上式右边用散度定理整理后，可写成 故通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量I为0。4、计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振幅比值。设铜中的电场大小为，铜的电导率为，解：铜中的传导电流大小为铜中的位移电流大小为因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比