弹性应力应变关系教学课件PPT.ppt

3.1 广义胡克定律 3.2 各向异性线弹性材料 3.3 各向同性线弹性材料的弹性常数 3.4 体积改变定律和形状改变定律 3.5 线弹性体的应变能函数,第三章 弹性应力应变关系,3.1 广义胡克定律,应力应变关系属于材料的性能，称为物理方程或者本构方程,复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定,单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定,或,（1）单向应力状态的应力应变关系,:,泊松比，由试验确定。,Mn,G:,（2）纯剪应力状态的应力应变关系,剪切弹性模量,E与G之间的关系,（3）双向应力状态的应力应变关系,（4）平面应力状态的应力应变关系,（5）三向应力状态的应力应变关系,引入：,同理,三向应力状态的应力应变关系,称为体积应力。,从正应力应变关系中可得到:,由上式则有应力表达式:,从而有体积应力与体积应变之间的关系,K为材料常数，,：为体积应变。,另一方面由,则,式中 称为Lame 常数。,将 代入应力表达式有,整理最终的应力应变关系是,由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达：,对于弹性体一点的应力取决于该点的应变大小，即应力与应变之间存在函数关系。,3.2 各向异性线弹性材料,线弹性应力应变关系为线性关系：,式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的常数，共36个。,3.2 各向异性线弹性材料,弹性矩阵,线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达,应力应变关系使用张量形式表示有:,式中 称为弹性张量, 为四阶常张量, 共有81个分量。,根据应力、应变张量的对称性， 关于指标 i和 j 对称，关于指标 k 和 l 也对称，即,故独立的弹性常数也是36个。,可以证明 关于i j与k l也是对称的，故一 般各向异性弹性材料独立的弹性常数是21个。,弹性张量矩阵,线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达,弹性矩阵与弹性张量矩阵的关系：,取 11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6,两个矩阵均为对称矩阵。,各向异性线弹性材料的特殊情况：,（1）具有一个弹性对称面的材料,当坐标系由x,y,z变为x,y,-z时，材料的弹性关系保持不变。 应变分量xz , yz变为- xz , - yz, 应力分量xz , yz变为-xz, -yz。因弹性关系不变，这要求反号应变前的系数为零。,（1）具有一个弹性对称面的材料,根据应力应变关系有：,按上面的分析有：,与原线弹性关系比较有：,具有一个弹性对称面的材料的应力应变关系,弹性常数共有13个。如正长石便具有这种类型的对称性。,（2）具有三个弹性对称面的材料,弹性常数共有9个。具有这种对称性的材料成为正交各向异性材料。,（3）横观各向同性材料,将坐标系绕z轴转45，因剪应力关系不变有：,弹性常数共有5个。具有此类性质的材料如冷轧板。,3.3 各向同性线弹性材料的弹性常数,物理意义：物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。 数学反映：应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。 金属材料：各向同性弹性体，是最常见的工程材料。,（1）各向同性弹性材料本构方程,各向同性材料沿 x，y 和 z 座标轴的的弹性性质相同； 弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。,实际独立弹性常数为c1 ， c2。,比较(3)(4)式有,(1),(2),由各向同性要求, 绕z坐标轴旋转时上式仍成立, 则,在(1)式中用应变表示应力有,将 代入右式有：,(3),(4),令,结论：各向同性材料，独立弹性常数为2个。,（2）各向同性线弹性材料的弹性常数,式中 称为Lame 常数。,实际独立弹性常数为2个。,E：为弹性模量 G: 为剪切弹性模量,K：为材料常数，,：为体积应变，,所有的剪应力分量均为零； 对应的剪应变分量也为零。 因此，对于各向同性弹性体： 应力主轴同时又是应变主轴，即： 应力主方向和应变主方向是重合的。,对于各向同性材料的主应力状态：,3.4体积改变定律和形状改变定律,(1)体积改变定律：,式中,式中：,3.4体积改变定律和形状改变定律,证明如下：,3.5 线弹性体的应变能函数,(1)一维应变能函数,W,3.5 线弹性体的应变能函数,w:单位体积的应变能,对于线弹性材料应变能只取决于应变状态，这样有:,，积分与路径无关。,3.5 线弹性体的应变能函数,因,故,3.5 线弹性体的应变能函数