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实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量物理科学与技术学院 13级弘毅班 吴雨桥 2013301020142【实验原理】 对于长度L直径d、两段自由地做微小横振动的均匀细棒，其振动满足方程 4yx4+SEJ2yt2=0式中，为棒的密度，S为棒的截面积，J=sy2dS称为惯量矩（取决于截面的形状），E为杨氏模量，y为棒振动的位移，x为位置坐标，t为时间变量。 用分离变量法解方程，令y（x，t）=X(t)T(t)代入方程，有 1Xd4Xdx4=SEJ1Td2Tdt2解得该振动方程的通解为 y（x，t）=（B1chKx+B2shKx+B3cosKx+B4sinKx）Acos（t+）式中 = K4EJS12称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，带入特定截面的惯量矩J，就可以得到具体条件下的计算公式。如果悬线悬挂在试样的节点（处在共振状态的棒中，位移恒为零的位置）附近，则棒的两端均处于自由状态。此时其边界条件为自由端横向作用力F和弯矩M均为零，即 F=- Mx =- EJ3yx3=0弯矩 M=EJ2yx2=0故有 d4Xdx4|x=0=0 d3Xdx3|x=l=0 d2Xdx2|x=0=0 d2Xdx2|x=l=0将通解代入边界条件，可以得到cosKl*chKl=1，可用数值解法求得本征值K和棒长l应满足Kl=0，4.730，7.853，10.996，14.137，。一般将K1l=4.730所对应的频率称为基频频率。试样在做基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面为0.224l和0.776l处。将第一本征值K1=4.730l代入频率表达式，得到自由振动的固有圆频率（基频） = 4.7304EJl4S12解出杨氏模量 E=7.8870*10-2l3mJf2对于直径为d的圆形棒，惯量矩 J=sy2dS=S(d4)2=d464代入上式可得 E=1.6067l3md4f2式中，l为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量，f为试样共振频率。在国际单位制中杨氏模量E的单位为Nm-2.实际上，E还和试样的直径与长度之比d/l的大小有关，所以乘以一个修正因子R，则有 E=1.6067Rl3md4f2当ld时，R1；当ld不成立时，圆棒的R可查表 试样R与d/l的关系d/l0.010.020.030.040.050.06R1.0011.0021.0051.0081.0141.019当外力频率达到共振频率r时，另一悬线处会接收到最大振幅，而固有频率与共振频率之间的关系为fr=r2=122-22，为阻尼系数。对于一般的金属材料，的最大值只有的1%左右，所以可用fr代替f计算。实验中，由于细丝对试样的阻尼，所检测的共振频率大小是随悬挂点的位置而变的。理论上，测量试样的基频振动时，悬挂点应在节点处，即悬点距端点0.224l和0.776l处。但是在这种情况下，棒的振动无法被激发，振幅为零，在示波器上只能看到一条直线。欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置，故采用外延法测量试样的基频，即测量节点周围的点的振动频率，利用他们作图延伸至节点位置，从图像上得到试样的基频。（外延法：指所需要的数据在测量范围之外，一般较难测量，为了求得这个值，利用已得的数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求得所需的值。此方法只适用于在所研究范围内没有突变的情况。）【实验仪器】功率函数信号发生器、换能器(两个)、示波器、温控器、天平、游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等。本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的共振频率f。实验中采用悬挂法。由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在换能器1上。通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线（或支撑物）把机械振动传给试样，使试样做横向振动。试样另一端的悬线（或支撑物）把机械振动传给换能器2，这时机械振动又转变成电信号。该信号输入示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有波形和波形很小。当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，示波器的波形突然增大，这时频率计上读出的频率就是试样在该温度下的共振频率f。将此f值代入，即可计算出该温度下的杨氏模量。若将试样置于可控温加热炉中，不断改变加热炉的温度，即可测出不同温度下的杨氏模量。 【实验内容】1.测量试样的长度l、直径d和质量m 用米尺测量试样的长度l；用游标卡尺测量试样的直径d（注意在不同的部位和不同的方向多次测量）；用电子天平称量试样的质量m。为提高测量精度，以上各量至少测量5次，记入表中。2.测量试样在室温时的共振频率f(1)室温下铜和不锈钢的杨氏模量分别为1.2*1011N*m-2和2*1011N*m-2，估算出共振频率f，以便寻找共振点。(2)安装试样棒，对称悬挂并保持试样水平，悬丝与试样垂直，选择适当的悬丝长度。(3)将仪器连接好，并调整仪器到正常状态。(4)从试样端点开始，两悬点同时向中间移动，每间隔5mm测量一次共振频率f，记录在表中。每次测量时，调节信号发生器的输出频率，使示波器上观察到的共振峰的幅度达到最大值，此时信号发生器的输出频率即为该点的共振频率。(5)真假共振峰的判别（鉴频）在寻找共振频率时，调节信号发生器要极其缓慢，到共振频率附近时改用“频率微调”旋钮调节，换能器及整个系统都有自己的共振频率，换能器2的输入伴随有许多次极大值，故测量时一定要找到真的共振峰进行测量。1）峰宽判别法。真的共振峰的频率范围很窄，细微地改变信号发生器的输出频率，共振峰的幅度就会发生突变：假的共振峰频率范围很宽。2）幅度判别法。用手将试样托起，如果是干扰信号，则示波器上正弦波幅度不变；如果是共振信号，则共振信号的周期不变，幅度逐渐衰减。3）声音判别法。发生共振时，拾振器会发生尖锐的啸叫。3.测杨氏模量将试样棒放入到加热炉中，升温后测出不同温度下的共振频率。 【数据处理】 Fe测量次数123456平均值长度l/cm17.9217.9217.9517.9317.9217.9217.93直径d/cm0.6020.6000.6080.6020.6020.6040.603质量m/g40.41440.41540.41740.41240.41640.41440.415d/l=0.033 R=1.005 Cu测量次数123456平均值长度l/cm17.9517.9417.9217.9117.9317.9217.93直径d/cm0.8000.7940.7960.7920.7960.7960.796质量m/g75.29775.29975.30175.29775.29575.29775.298d/l=0.044 R=1.008共振频率测量Cu悬点x/mm510152025303540共振频率f/Hz747.9745.6743.3742.0740.4740.0740.0740.0共振频率测量Fe悬点x/mm510152025303540共振频率f/Hz839.3835.6834.7833.5832.5831.8831.6831.6回归方程f=0.009286x2-0.6436x+751所以Cu的共振频率为f1=751Hz回归方程f=-0.0002x3+0.023x2-0.839x+842.7所以Fe的基频f1=842.7Hz对于Cu，Ur=0.001674 E平均=9.875*1010 Ue= Ur* E平均=1.653*108 E= E平均Ue=9.875*10101.653*108对于Fe，Ur=0.0068 E平均=2.02*1011 Ue= Ur* E平均=1.374*109 E= E平均Ue=2.02*10111.374*109【误差分析】1.系统误差(1)仪器误差：1）m、l、d、f的测量因为仪器的精度问题有一定的不确定度。 2）金属棒上的标定刻度线有一定误差。