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文档简介

13-5多自由度体系的自由振动,5.1 自由振动分析,一.运动方程的建立及其解,自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。,1.建立运动方程,(1)刚度法,=,+,+,或记作,其中,若为自由振动则有 ,于是:,(2)柔度法,=,简记为,位移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,若为自由振动则有 ,于是:,简记为,设方程的特解为,2.运动方程的解,代入方程,得,经整理,得,-振型方程,为寻求Y1、Y2的非零解，上式中的系数行列式必为零，于是有：,-频率方程,展开上式可得到一个关于 的二次方程,-频率方程,展开,整理后有：,-与第一频率相对应的振型，简称第一振型,解频率方程得 的两个根,将 频率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的两个方程是线性相关的，只有一个独立的方程：,同样处理将 频率代入振型方程,-与第二频率相对应的振型，简称第二振型,-频率方程,即,或记作,-振型方程,解频率方程得 的两个根,将 频率代入振型方程,将 频率代入振型方程,特解1,特解2,通解,其中A1、A2是由初始条件确定的任意常数。,特解1也可写为,特解2也可写为,二.关于频率与振型的讨论,体系按特解振动时有如下特点,1)各质点同频同步;,2)任意时刻,各质点位移的比 值保持不变,定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。,几点说明：,1.按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。,2.发生按振型的自由振动是有条件的.,3.振型与频率是体系本身固有的属性, 与外界因素无关.,4.N自由度体系有N个频率和N个振型,频率方程,解频率方程得N个 从小 到大排列,依次称作第一频率,第二频率.,第一频率称作基本频率,其它为高 阶频率.,将频率代入振型方程,得N个振型,N个振型彼此之间是线性无关的.,5。若已知柔度矩阵时,6。求振型、频率可列幅值方程.,振型方程,频率方程,按振型振动时,振型可看作是体系按振型振动时， 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移,三.求多自由度体系频率、振型例题,例1.求图示体系的频率、振型,解,令,第一振型,第二振型,对称体系的振型分 成两组:,一组为对称振型,一组为反对称振型,按对称振型振动,按反对称振型振动,第二振型,解:,例2.求图示体系的频率、振型. 已知:,（3）求主振型,第1振型,第2振型,（2）求频率,代公式,若有,例3.求图示体系的频率、振型,解:,令,例4. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,例5 利用对称性简化图示结构柔度系数的求解。,解：,因为结构和质量分布均匀对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构计算。,求对称振型,求反对称振型,以求对称振型为例说明 中系数的求解。首先求出半边结构在集中质量上分别作用有单
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