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传感器原理及工程应用习题答案传感器原理及工程应用习题答案 第第 1 章章 传感与检测技术的理论基础（传感与检测技术的理论基础（P26） 11：测量的定义？ 答：测量是以确定被测量的值或获取测量结果为目的的一系列操作。 所以, 测量也就是将被测量与同种性 质的标准量进行比较， 确定被测量对标准量的倍数。 12：什么是测量值的绝对误差、相对误差、引用误差？ 13用测量范围为50150kPa的压力传感器测量140kPa的压力时， 传感器测得示值为142kPa， 求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。 解：解： 已知：真值 L140kPa 测量值 x142kPa 测量上限150kPa 测量下限50kPa 绝对误差x-L=142-140=2(kPa) 实际相对误差43 . 1 140 2 L 标称相对误差41 . 1 142 2 x 引用误差 测量上限测量下限 1 )50(150 2 110对某节流元件（孔板）开孔直径 d20的尺寸进行了 15 次测量，测量数据如下（单位：mm） ： 120.42120.43120.40120.42120.43120.39120.30120.40 120.43120.41120.43120.42120.39120.39120.40 试用格拉布斯准则判断上述数据是否含有粗大误差，并写出其测量结果。 解：解： 对测量数据列表如下： 序测量值残余误差残余误差 答：绝对误差是测量结果与真值之差, 即: 绝对误差=测量值真值 相对误差是绝对误差与被测量真值之比,常用绝对误差与测量值之比,以百分数表示 , 即: 相对误差=绝对误差/测量值 100% 引用误差是绝对误差与量程之比,以百分数表示, 即: 引用误差=绝对误差/量程 100% 号 20( )dmm 2020 ()() ii vddmm 2020 (7)() ii vddimm 1120.420.0160.009 2120.430.0260.019 3120.400.0040.011 4120.420.0160.009 5120.430.0260.019 6120.390.0140.021 7120.300.104 8120.400.0040.011 9120.430.0260.019 10120.410.0060.001 11120.430.0260.019 12120.420.0160.009 13120.390.0140.021 14120.390.0140.021 15120.400.0040.011 20 120.404dmm 20( 7)120.411dimm 20 15 2 1 0.0327 15 1 i i d v mm 20 0.0788() d Gmm 20 2 7 0.0161 14 1 i i d v mm 20 0.0382() d Gmm 当 n15 时，若取置信概率 P0.95，查表可得格拉布斯系数 G2.41。 则 20 7 2.41 0.03270.0788()0.104 d Gmmv ， 所以 7 d为粗大误差数据，应当剔除。然后重新计算平均值和标准偏差。 当 n14 时，若取置信概率 P0.95，查表可得格拉布斯系数 G2.37。 则 20 2.37 0.01610.0382() di Gmmv，所以其他 14 个测量值中没有坏值。 计算算术平均值的标准偏差 20 20 0.0161 0.0043() 14 d d mm n 20 33 0.00430.013() d mm 所以，测量结果为： 20 (120.411 0.013)()(99.73%)dmmP 114交流电路的电抗数值方程为 C LX 1 当角频率Hz5 1 ，测得电抗 1 X为8 . 0； 当角频率Hz2 2 ，测得电抗 2 X为2 . 0； 当角频率Hz1 3 ，测得电抗 3 X为3 . 0。 试用最小二乘法求电感L、电容C的值。 解法解法 1： 1 L C ，设xL， 1 y C ，则： 1 0.85 5 1 0.22 2 0.3 xy xy xy 所以，系数矩阵为 1 5 5 1 2 2 11 A ，直接测得值矩阵为 0.8 0.2 0.3 L ， 最小二乘法的最佳估计值矩阵为 1 () x XA AA L y 。 其中， 1 5 5 521 303 1 2 31.292 11 111 52 A A 303 30 1.293 329.00 31.29 A A 所以， 11211 1222 1.293 11 () 33029.7 AA A A AAA A 5210.8 4.1 0.2 0.04 110.3 1 52 A L 所以 x X y 1.293 1 33029.7 4.1 0.04 0.182 0.455 所以，0.182LxH 11 2.2( ) 0.455 CF y 解法解法 2： 1 L C ，设xL， 1 y C ，则： 1 0.85 5 1 0.22 2 0.3 xy xy xy 所以，系数矩阵为 1112 2122 3132 1 5 5 1 2 2 11 aa Aaa aa ， 则，由（139）式决定的正规方程为 1 1121 21222 a a xa ayal a a xa aya l 其中， 222 1 111 1121213131 52130a aa aa aa a 1211 1221223132 11 521 13 52 a aa aa aa a 21121122213231 3a aa aa aa a 22 2 22121222223232 11 11.29 52 a aa aa aa a 111 121 231 3 5 0.82 0.2 1 ( 0.3)4.1ala la la l 212 122 232 3 11 0.80.2 1 ( 0.3)0.04 52 a la la la l 所以， 3034.1 31.290.04 xy xy 所以， 0.18 0.455 x y 所以，0.182LxH 1 2.2CF y 第第 2 章章 传感器概述（传感器概述（P38） 25 当被测介质温度为 t1，测温传感器示值温度为 t2时，有下列方程式成立： d dt tt 2 021 。 当被测介质温度从 25突然变化到 300时，测温传感器的时间常数s120 0 ，试确定经过 300s 后的动 态误差。 已知： 2 120 dt tt d ， 1 25(0) 300(0) t t t ， 0 120s 求：t=350s 时， 12 ?tt 解：解： 灵敏度 k=1 时，一阶传感器的单位阶跃响应为( )1 t y te 。 类似地，该测温传感器的瞬态响应函数可表示为： 0 2( ) 25(30025) (1)te 。 当350s时， 350 120 2 25(30025) (1)285.15()teC 。 所以，动态误差 12 300285.1514.85()ttC 。 *26 已知某传感器属于一阶环节，现用于测量 100Hz 的正弦信号，如幅值误差限制在5以内，时 间常数应取多少？若用该传感器测量 50Hz 的正弦信号，问此时的幅值误差和相位误差各为多少？ 解解： 一阶传感器的幅频特性为： 21 1 A 因为幅值误差限制在5以内，即 95. 0A 当Hzf100时，有s00052 . 0 max 。 若用此传感器测量Hzf50的信号，其幅值误差为： %3 . 1987 . 0 1 00052 . 0 5021 1 1 1 1 11 22 sHz A 相位误差为： 28 . 9 arctg *28 已知某二阶系统传感器的固有频率为 10kHz，阻尼比5 . 0，若要求传感器输出幅值误差小于 3 ，则传感器的工作范围应为多少？ 已知kHz n 102 ，5 . 0， %31A。 求：传感器的工作频率范围。 解解： 二阶传感器的幅频特性为： 2 2 2 21 1 )( nn A 。 当0时， 1A，无幅值误差。当0时， A一般不等于 1，即出现幅值误差。 若要求传感器的幅值误差不大于 3，应满足 03 . 1 97 . 0 A。 解方程97 . 0 21 1 )( 2 2 2 nn A ，得 n 03 . 1 1 ； 解方程03. 1 21 1 )( 2 2 2 nn A ，得 n 25 . 0 2 ， n 97 . 0 3 。 由于5 . 0，根据二阶传感器的特性曲线可知，上面三个解确定了两个频段，即 0 2 和 3 1 。前者 在特征曲线的谐振峰左侧，后者在特征曲线的谐振峰右侧。对于后者，尽管在该频段内也有幅值误差不大 于 3，但是该频段的相频特性很差而通常不被采用。所以，只有 0 2 频段为有用频段。由 kHz n 10225. 025 . 0 2 可得kHzf5 . 2，即工作频率范围为 0kHz5 . 2。 第第 3 章章 应变式传感器（应变式传感器（P60） *36 题 36 图为等强度悬臂梁测力系统， 1 R为电阻应变片，应变片 灵敏系数 K2.05，未受应变时， 1 120R 。当试件受力 F 时，应变 片承受平均应变mm/800，试求： 1应变片电阻变化量 1 R和电阻相对变化量 11 /RR。 F R1 题 36 图 2将电阻应变片 1 R置于单臂测量电桥，电桥电源电压为直流 3V，求电桥输出电压及电桥非线性误 差。 3若要减小非线性误差，应采取何种措施？分析其电桥输出电压及非线性误差大小。 已知：K2.05， 1 120R ， 4 800/8.00 10m m ，3EV 求： 11 /RR， 1 R， 0 U， L 解：解： 应变片的电阻相对变化量为 43 11 /2.05 8.00 101.64 10RRK 电阻变化量为 3 1 11 1 120 1.64 100.1968 R RR R 设电桥的倍率 n1，则电桥的输出电压为 33 11 02 11 3 1.64 101.23 10 44 1 RRnE UEV RR n 电桥的非线性误差为 11 3 11 3 1 1 1 1 21.64 10 0.08% 2 1.64 10 1 1 2 L RR RR R R n R R 若要减小非线性误差，可以采用差动电桥电路（半桥差动电路或者全桥差动电路） 。此时可以消除非线 性误差，而且可以提高电桥电压的灵敏度，同时还具有温度补偿作用。 （a）如果采用半桥差动电路，需要在等强度梁的上下两个位置安装两个工作应变片，一个受拉应变，一 个受压应变，接入电桥的相邻桥臂，构成半桥差动电路。此时电桥的输出电压为 R1 R1 R4 R3 A C B E D R2 R2 Uo (a) R1 R1 AC B E D R2 R2 Uo (b) R3 R3 R4 R4 F R1 R2 R4 R1 33 1 0 1 3 1.64 102.46 10 22 RE UV R ，是单臂工作时的两倍。 （b）如果采用全桥差动电路，需要在等强度梁的上下四个位置安装四个工作应变片，两个受拉应变，两 个受压应变，将两个应变符号相同的接入相对桥臂上，构成全桥差动电路。此时电桥的输出电压为 33 1 0 1 3 1.64 104.92 10 R UEV R ，是单臂工作时的四倍。 *37 在题 36 条件下，如果试件材质为合金钢，线膨胀系数C g /1011 6 ，电阻应变片敏感栅材 质为康铜，其电阻温度系数C /1015 6 ，线膨胀系数C s /10 9 . 14 6 。当传感器的环境温度 从 10变化到 50时，所引起的附加电阻相对变化量（RR/）为多少？折合成附加应变 t 为多少？ 解：解： 已知：试件合金钢的线膨胀系数C g /1011 6 ，电阻应变片的灵敏系数为 K02.05，电阻温度系数 C /1015 6 ，线膨胀系数C s /10 9 . 14 6 ，）（ Ct401050， 则由温度变化引起的附加电阻相对变化为： 466 00 0 10802 . 2 40109 .141105. 21015 tK R R sg t 。 折合成附加应变为 4 4 0 0 1037 . 1 05 . 2 10802 . 2 / K RRt t 。 38 一个量程为 10kN 的应变式测力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径为 20mm，内径为 18mm，在其表面粘贴八个应变片，四个沿轴向粘贴，四个沿周向粘贴，应变片的电阻值均为 120，灵敏 度为 2.0，泊松比为 0.3，材料弹性模量PaE 11 101 . 2 。要求： 1绘出弹性元件贴片位置及全桥电路； 2计算传感器在满量程时各应变片的电阻； 3当桥路的供电电压为 10V 时，计算电桥负载开路时的输出。 解：解： 已知：F10kN，外径mmD20，内径mmd18，R120，K2.0，3 . 0，PaE 11 101 . 2 ， Ui10V。 圆筒的横截面积为 3622 10 7 . 59 4 mmdDS 弹性元件贴片位置及全桥电路如图所示。 应变片 1、2、3、4 感受轴向应变： x 4321 (c) R1 R5 R2 R6 R3 R7 R4 R8 R1R3R5R7 R6R8R2R4 (d) Uo U 应变片 5、6、7、8 感受周向应变： y 8765 满量程时， 191 . 0 120 101 . 210 7 . 59 10 0 . 2 1136 4321 Pamm kN R SE F KRKRRRR x 0573 . 0 191 . 0 3 . 0 18765 RRKRRRR y 电桥的输出为： mVV RRRRRRRR RRRR RRRRRRRR RRRR UU i 10 191.120191.120943.119943.119 943.119943.119 943.119943.119191.120191.120 191.120191.120 10 44228866 8866 77553311 3311 0 第第 4 章章 电感式传感器（电感式传感器（P84） *47 已知一差动整流电桥电路如题47图所示。 电路由差动电感传感器Z1、 Z2及平衡电阻R1、 R2（R1=R2） 组成。桥路的一个对角接有交流电源 i U ，另一个对角线为输出端 0 U，试分析该电路的工作原理。 解：解： 忽略 R3、R4的影响，可知 U0 UCD= UDUC。 若电源电压 i U 上端为正、下端为负时，VD1、VD3导通，等效电路如图（a）所示。 当差动电感传感器 Z1ZZ，Z2ZZ 时，UC UD，U0为负。 当差动电感传感器 Z1ZZ，Z2ZZ 时，UC UD，U0为负。 当差动电感传感器 Z1ZZ，Z2ZZ 时，UC UD，U0为正。 因此，无论电源电压 i U 的正负如何，输出电压 U0的大小反映Z 的大小，U0的正负极性反映Z 的正负情 况（例如衔铁的移动方向） 。 mV i U 0 U Z2 Z1VD1 VD4 VD3 VD2 R1 R2 R3 R4 C D 题 47 图 *48 已知变隙式电感传感器的铁芯截面积 A1.5cm2，磁路长度 L20cm，相对磁导率5000 1 ，气 隙cm5 . 0 0 ，mm1 . 0，真空磁导率mH /104 7 0 ，线圈匝数3000W，求单端式传 感器的灵敏度 /L。若将其做成差动结构形式，灵敏度将如何变化？ 解：解： 已知：A01.5cm2，mH /104 7 0 ，3000W。 单端式传感器的灵敏度为 mH AWL / 9 . 33 105 . 02 105 . 11043000 2 2 2 472 2 0 00 2 若将其做成差动结构形式，则灵敏度为单线圈式的两倍，且线性度也会得到明显改善。 第第 5 章章 电容式传感器（电容式传感器（P99） 53 图 57 为电容式液位计测量原理图。请为该测量装置设计匹配的测量电路，要求输出电压 0 U与液 位 h 之间呈线性关系。 图 5-7 电容式液位变换器结构原理图 C D Z2 Z1R2 R1 Ui Uo + 图（a） C D Z1 Z2R2 R1 Ui Uo + 图（b） D d H h 1 d D n h CC 1 )(2 1 0 解：解： 电容式液位计的电容值为： d D n h CC 1 )(2 1 0 ，其中 d D n H C 1 2 0 。 可见 C 与液面高度 h 呈线性关系。 可以看出，该结构不宜做成差动形式，所以不宜采用二极管双 T 形交流电桥，也不宜采用脉冲宽度调制电 路。另外要求输出电压 0 U与液位 h 之间呈线性关系，所以不宜采用调频电路和运算放大器式电路。 可以采用环形二极管充放电法， 具体电路如图所示。 可将直流电流表改为直流电压表与负载电阻 R 的并联， R 上的电压为 0 U，则有： )( 0dx CCERfRIU 其中， Cx为电容式液位计的电容值， f 为方波的频率， E=E2-E1为方波的幅值，Cd为平衡电容传感器初始 电容的调零电容。当 h=0 时调节 d D n H CCd 1 2 0 ， 则输出电压 0 U与液位 h 之间呈线性关系。 55 题55图为电容式传感器的双T电桥测量电路， 已知kRRR40 21 ，kRL20，Ve10， MHzf1，pFC10 0 ，pFC10 1 ，pFC1 1 。求 L U的表达式及对于上述已知参数的 L U值。 解解： V CCUfR RR RRR U L L L L 18. 0 1011011020 2040 )20240(40 )( )( )2( 126 2 01 2 58 题 58 图为二极管环形电桥检波测量电路， p U为恒压信号源， 1 C和 2 C是差动式电容传感器， 0 C 是固定电容，其值 10 CC ， 20 CC ，设二极管 41 DD VV正向电阻为零，反向电阻为无穷大，信号 输出经低通滤波器取出直流信号 AB e。要求： 1分析检波电路测量原理； 2求桥路输出信号 21,C CfeAB的表达式； V 环形二极管电容测量电路原理图 A V D4 VD1 V D2 VD3 B Cx i1 i2 A i3 i4 C C Cd E1 E2 T1T2 e R C V VD2 VD1 e C1C2 A B R2 R1 RL C0 UL 3画出桥路中 A U、 B U、 AB e在 21 CC 、 21 CC 、 21 CC 三种情况下的波形图（提示：画出 p U正 负半周的等效电路图，并标出工作电流即可求出 AB e的表达式） 。 解：解： 等效电路为： 当 Up 为正半周时，D1、D3导通，等效电路如图（a）所示。 当 Up 为负半周时，D2、D4导通，等效电路如图（b）所示。 电容 0 C、 1 C和 2 C的阻抗分别为： 0 0 1 Cj Z ， 1 1 1 Cj Z ， 2 2 1 Cj Z 。 则 pA U ZZ Z U 01 1 ， pB U ZZ Z U 02 2 。 2010 210 0201 120 CCCC CCC U ZZZZ ZZZ UUUe ppABAB 2010 CCCC， ppAB U C C U C CC e 00 21 2 1 2 低通滤波器 Up C0 C0 C C1C2 D1D2 D3 D4 eAB D A B AB e t 题 58 图 （b）Up 为负半周时 Up C0 C0 C C2 C1 D A B （a）Up 为正半周时 Up C0 C0 C C1 C2 D A B 当 21 CC 时， 21 ZZ ， BA UU ，0 AB e； 当 21 CC 时， 21 ZZ ， 0 0 BABAp BABAp UUUUU UUUUU ，即负半周时， ，即正半周时， ，所以0 AB e； 当 21 CC 时， 21 ZZ ， BABAp BABAp UUUUU UUUUU 0 0 ，即负半周时， ，即正半周时， ，所以0 AB e。 波形如图所示。 0 t Up 0 t UA 0 t eAB 0 t UB 0 t UA 21 CC 0 t UB 21 C C 0 t UA 0 t UA 0 t eAB UB 21 C C 0 t UA 0 t UA 第第 6 章章 压电式传感器压电式传感器 1、一只 x 切型的石英晶体压电元件，其NCd/1031 . 2 12 11 ，相对介电常数5 . 4 r ，横截面积 2 5cmA ，厚度cmh5 . 0。求： （1）纵向受NFx8 . 9的压力作用时压电片两电极间输出电压值为多大？ （2） 若此元件与高输入阻抗运放连接时连接电缆的电容为pFCc4， 该压电元件的输出电压值为多大？ 解：解： （1）所谓纵向受力，是指作用力沿石英晶体的电轴方向（即 x 轴方向） 。对于 x 切型的石英晶体压电元件， 纵向受力时，在 x 方向产生的电荷量为： CFdq xx 1212 11 10 6 . 228 . 91031. 2 压电元件的电容量为：F h A C r a 12 2 412 0 1098 . 3 105 . 0 1051085 . 8 5 . 4 所以两电极间的输出电压值为V C q U a x 68 . 5 1098 . 3 106 .22 12 12 0 （2）此元件与高输入阻抗运放连接时，连接电缆的电容与压电元件本身的电容相并联，输出电压将改变 为：V CC q U ca x 83 . 2 1041098 . 3 10 6 . 22 1212 12 0 2、 （选作）（选作）一只石英晶体压电式传感器的面积 2 1cmA ，厚度 d=1mm，固定在两块金属板之间，用来测 量作用在晶体两表面上的力的变化。已知石英的弹性模量PaE 10 109，相对介电常数1 . 5 r ，传感 器的电荷灵敏度NpCSq/2，电阻 14 10 a R。另有一个pFCL20的电容和一个MRL100的 电阻与极板并联。所加外力NtF)10sin(01 . 0 3 。试求： （1）两极板间电压的峰峰值； （2）晶体厚度的最大变化。 解：解： （1）石英晶体受力最大时，产生的电荷量最多。受力方向改变时，电荷符号也随之改变。受正弦力作 用时，电荷量也按照正弦规律变化。根据题意，可知所加外力的幅值为NFm01 . 0 ，因此，无负 载时输出的电荷量的幅值为： CFSq mqm 1212 1002 . 0 01 . 0 102 传感器的电容量为：F d A C r a 12 3 412 0 1051 . 4 101 1011085 . 8 1 . 5 则无负载时输出电压的幅值为mV C q U a m m 43 . 4 1051. 4 1002. 0 12 12 则无负载时两极板间电压的峰峰值为：mVUU mpp 86 . 8 43 . 4 22 接负载时，实际输出电压与理想输出电压之比的相对幅频特性为 21 A 式中，srad /103为所加外力的角频率；RC为电路的时间常数，其中，R为 a R与 L R的等效电 阻，C为 a C与 L C的等效电容，即 8 614 614 10 1010010 1010010 La La RR RR R FCCC La 1212 1051.24102051 . 4 故 926 . 0 1051.2410101 1051.241010 1 2 1283 1283 2 RC RC A 所以有负载时两极板间电压的峰峰值为： mVUAU pppp 20 . 8 86 . 8 926 . 0 （2）当所受外力为最大压力时，厚度减小量最大；当所受外力为最大拉力时，厚度增加量最大。所以厚 度的最大变化量为 m EA dF d m12 410 3 1022 . 2 101109 10101 . 0 22 可见厚度的改变量非常小。 第第 7 章章 磁电式传感器磁电式传感器 1、 某霍尔元件尺寸为 l=10mm，b=3.5mm，d=1.0mm，沿 l 方向通以电流 I=1.0mA，在垂直于 l 和 b 的方 向上加有均匀磁场 B0.3T，灵敏度为 22V/(AT)，试求输出的霍尔电势以及载流子浓度。 解：解： 输出的霍尔电势为：）（mVIBKU HH 6 . 63 . 0100 . 122 3 由 ne R d R K H H H 1 ， 可得载流子浓度为： 320 319 /1084. 2 101106 . 122 11 m edK n H 第第 8 章章 光电式传感器光电式传感器 88 当光纤的46. 1 1 n，45. 1 2 n，如光纤外部介质的1 0 n，求光在光纤内产生全反射时入射光的最大 入射角 c 。 解：解： 最大入射角 8 . 91706. 0arcsin45. 146. 1arcsin 1 arcsin 222 2 2 1 0 nn n c 2、若某光栅的栅线密度为 50 线/mm，标尺光栅与指示光栅之间的夹角为 0.01rad。求：所形成的莫尔条纹 的间距。 解：解： 光栅栅距为mm mm W02 . 0 /50 1 标尺光栅与指示光栅之间的夹角为rad01 . 0 莫尔条纹的间距为mm mmWW BH2 01 . 0 02 . 0 2 sin 3、利用一个六位循环码码盘测量角位移，其最小分辨率是多少？如果要求每个最小分辨率对应的码盘圆 弧长度最大为 0.01mm， 则码盘半径应有多大？若码盘输出数码为“101101”， 初始位置对应数码为“110100”， 则码盘实际转过的角度是多少？ 解：解： b B fl fE l I d EH t1 t2 AAB B t0t0 六位循环码码盘测量角位移的最小分辨率为：rad098. 06 . 5 2 360 6 。 码盘半径应为：mm mml R1 . 0 098. 0 01. 0 循环码 101101 的二进制码为 110110，十进制数为 54； 循环码 110100 的二进制码为 100111，十进制数为 39。 码盘实际转过的角度为： 846 . 515)3954(。 第第 13 章章 传感器在工程检测中的应用传感器在工程检测中的应用 P275