概率论第一章习题解答.pdf

概率论第一章习题解 3 （1）设A，B，C是三个事件，且，求A，B，C至少有一个发生 的概率。 （2）， ，求；的概率。 （3）已知，（）若A，B互不相容，求， （）若，求 解 因为 事件“A，B，C至少有一个发生” 而 ，所以 故 （2） () ； ()； () ； () ； () 因为 且 () 因为 已知，故 ； （3），（）若A，B互不相容，求， （）若，求 （）因为若A，B互不相容，所以，； （）因为，且， 所以 ，代入已知条件，得 ，即 。 4设A，B是两个事件。 （1）已知，验证； （2）验证A与B恰有一个发生的概率为。 解 （1）因为 ， ， 已知， 所以 （2）因为事件“A与B恰有一个发生” 所以 “A与B恰有一个发生”的概率为 而 ， 且 ， 故 5 10片药片中有5片是安慰剂， （1）从中任意取5片，其中至少有2片是安慰剂的概率。 （2）从中每次取1片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概 率。 解 （1）设“所取的5片药片中至少有2片安慰剂” 设Ai“5片中有i片是安慰剂”，（i=1，2，3，4，5），则 样本空间所饮食的基本事件数： 含有的基本事件数：； 。 （2）设C“前3次取到的都是安慰剂” 样本空间所饮食的基本事件数：1098720 事件C所包含的基本事件数为：54360 6 在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的徽章，任选3人记录其 徽章的号码。 （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率。 解 A“最小号码为5”，B“最大号码为5” 样本空间所包含的基本事件数：； 事件A所包含基本事件数（即5固定，再从6，7，8，9，10这5个数中 任选2个）： 事件B所包含的基本事件数（即5固定，再从1,2，3,4这4个数中任选2 个）： 故 ； 7 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在 搬运的过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个 订货为4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所订颜色得到订货的 概率是多少？ 解 设A“顾客能按所订的颜色如数拿到订货”，则 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数： 所以 。 8 在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件： （1）求恰有90件次品的概率； （2）至少有2件次品的概率。 解 设A“所取的200件产品中有90件次品”， B“所取的200件产品中恰有2件次品” 样本空间包含的基本事件数：， 事件A所包含的基本事件数：， 事件所包含的基本事件数： （1） （2） 9 从5双不同的鞋中任取4只，问这4只鞋至少能配成一双的概率是 多少？ 解 设A“4只鞋不能配成双”，则 “4只鞋至少能配成一双” 样本空间所包含的基本事件数： 事件A包含的基本事件数： （即：先从5双鞋中任取4双，然后从所取的4双鞋中各任取一只，这 样取得的4只鞋，都不能配成双。） 于是， 说明：本题有多种解法，总的思路是从5双鞋中任取一只后，再取时 不考虑与已经取了的那一只能配成双的哪一只。如 考虑4只鞋了是有次序的一只一只取出的：从10只鞋中任取4 只 共有种取法，即样本空间所包含的基本事件数：；现在来求：第一只鞋 可以从10只鞋中任意取，有10种不同的取法，第二只鞋只能从剩下的9 只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋中去取，有8种取法，同理，第 三只、第四只各有6种取法、4种取法。从而。 于是 ；。 10 在11张卡片上写有probability这11个字母，从中任意抽7张， 求其排列结果为ability概率。 解 设A“抽到7张卡片能排列成ability”， 则 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数： （即在11个字母中只有1个a，2个b，2个i,1个l，已经取了一个i， 只剩下1个i，同样t、y也只有1个可取。） 于是 。 11 将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别 为1,2，3的概率。 解 设“放入杯子中球的最大个数”，（ ） 由于每个球可以任意地放入4个杯子中的任何1个中，且每个杯子可 以放入的球的个数没有限制，于是“将3只球随机地放入4个杯子中去”共 有种放法，即。 ：只有3个球都放入一个杯子中才能发生，且有4全杯子可任意选 择，则； ：只有当每个杯子最多放入1个球时才能发生，因而 又，且，（） 故 从而 。 12 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太 弱，每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱有铆钉都装在一个部件上， 则这个部件的强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 解 将10部件自1至10编号。则随机试验E：随机地取铆钉，各部件 都装3个铆钉。 “第号部件强度太弱”，（ ） 由题设知，只有当3只强度太弱的铆钉同时装在第号部件上时，才能 发生。由于从50只铆钉中任取3只装在第号部件上共有种取法，强度太 弱的铆钉仅有3只，它们都装在第号部件上，只有种取法。 故 ，（ ）。 又 两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为 。 13 一个俱乐部有5名一年级的学生，2名二年级的学生，3名三年级 的学生，2名四年级的学生。 （1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级各有一名学生的 概率； （2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生都包含在 内的概率。 解 （1）设A“4名学生中，一、二、三、四年级各有一名学 生”； 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数为： （2）设B“5名学生中，一、二、三、四年级的学生都包含 在内”。 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数为：， （即先从每个年级任选一人，再从4个年级中1个，就可保证5 名学生中包括每个年级的学生在内） 。 14 （1）已知，求条件概率。 （2）已知，求。 解 （1）因为， 所以 ， 0.2 故 （2）因为，由乘法公式得， 又 ，得 ，即 所以 。 15 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的 概率（用两种方法）。 解 设A“两颗骰子的点数之和为7”， B“一颗点数为1” 解 方法一（用条件概率公式计算） 样本空间所包含的基本事件数：36 事件A所包含的基本事件数：6，即（1,6），（6,1），（5， 2），（5,2），（3,4）（4,3） 事件AB所包含的基本事件数：2即（1,6），（6,1） 则， 故 。 方法二（在缩减的样本空间计算） 以A为缩减的样本空间，则A所包含的基本事件数：6 事件B在缩减的样本空间所包含的基本事件数：2 故 。 16 据以往资料表明，某3口之家，患有某种传染病的概率有以下规 律： P孩子得病0.5， P母亲得病孩子得病0.5， P父亲得病母亲及孩子得病0.4 求母亲及孩子得病而父亲未得病的概率。 解 设A“孩子得病”，B“母亲得病”，C“父亲得病”，则 “母亲及孩子得病而父亲未得病” 已知， 由乘法公式： 又 ，且 所以，。 。 17 已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不 放回抽样，求下列事件的概率： （1）两件都是正品； （2）两件都是次品； （3）1件正品，1件次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设“第次取得的是正品”（ ）。 因为是不放回抽样，故样本空间所包含的基本事件数：， （1）事件所包含的基本事件数 ：， ； （2）事件所包含的基本事件数 ： ； （3）事件 “1件正品，1件次品”所包含的基本事件数 ：（可能是第 一次取得正品，也可能是第二次取得正品）， 解法二： 因为 ， 又，所以，由乘法公式，得 。 解法三：利用（1）与（2）的结果，因为，且，两两互不相容，故 。 （4）因为，事件“第二次取出的是次品”， 。 18 某人忘记电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求 他拨号不超过3次而接通所需电话的概率；若已知最后一位数字是奇 数，那么此概率是多少？ 解 “第次所能电话”，（ ），“电话所能” 则 （1）第一次拨通电话：； 第2次拨通电话，即是，由乘法公式，得 第3次拨通电话，即是，由乘法公式 。 或 （2）当已知最后一个数字是奇数时，与（1）有同样的思路和解法： ； 或 19 （1）设甲袋中装有只白球，只红球；乙袋中装有N只白球，M只红 球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球，问取 到白球的概率是多少？ （2）设第一只盒子中装有5只红球，4只白球；第二个盒子中装有4只红 球，5只白球，先从第一个盒子中任意取2球放入第二个盒子中，然后从 第二个盒子中任意取一只球，求取到白球的概率是多少？ 解 （1）R“从甲袋中取到红球”，W“从乙袋中取到白球”，则 ，且， ； （2）设“从第一个盒子中取得的球中有只红球。”（） “从第二个盒子中取得一只白球。”则 由乘法公式，得 而 ； 。 （注意到从第二个盒子中取球时，它里面装有11只球。） （此时第三个盒子中有7只白球。） （此时第二个盒子中有6只白球，5只红球。） （此时第二个盒子中有5只白球,6只红球。） 于是 。 20 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随 意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。 解 设B“放回的结果正确”，字母脱落的五种情况记为： “M，X”， “A，X”， “M，A”， “ A，A”， “M，M”， 则，样本空间所包含的基本事件数即脱落的总数： 事件所包含的基本事件数：，（2个M，1个X） 事件所包含的基本事件数：，（2个A，1个X） 事件所包含的基本事件数：，（2个M，2个A） 事件所包含的基本事件数： 事件所包含的基本事件数： 于是 ； ； 。 ，（）， ，（） 根据全概率公式，有 。 21 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从 男女人数相等的人群中随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性的概率 是多少？ 解 设A“色盲患者”，B“男性” 则 事件“随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性” 于是所求概率为： 由贝叶斯公式 已知 （从男女人数相等的人群中随机选取1人。） ， 于是 。 22 一学生接连参加同一课程的两次考试，每一次及格的概率为p，若第 一次及格第二次也及格的概率为p。若第一次不及格第二次及格的概 率为p/2。 （1）若至少有一次及格，他就能够获得某种资格，求他获得资格 的概率。 （2）若知道他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。 解 设“第次及格”，（ ）。 B“获得资格” （1） 已知， ， 显然， ， 故 。 （2）（贝叶斯公式） 。 23 将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A误作B的 概率为0.02， B误作为A的概率为0.01。信息A与B传送的频繁程度为 2：1。若接收站收到的信息为A， 原发信息为A的概率是多少？ 解 设“发出的信息为A”， “发出的信息为B”， “收到的信息为A” 则“接收站收到的信息为A，原发信息为A” 24 有两箱同类的零件，每第一箱装有50只，其中10只一 等品，第二 箱装30只，其中8只一等品。今从两箱中任意挑选出一箱，然后从该箱 中取零件两次，作不放回抽样。求 （1）第一次取到的零件是一等品的概率。 （2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也 是一等品的概率。 解 设 “从第一箱中取零件”， “从第二箱中取零件”。 “第次从箱中取得的是一等品（不放回抽样）”（）则 。 （1）由已知条件，故 。 （2）要求的是“在第一次取到一等品的条件下第二次取一等品的概率”，即 因为 ，而 由条件概率的含义，表示从第一箱中取两次，每次取一只零件， 作不放回抽样且两次取得的都是一等品的概率，因第一箱中有50只零 件，其中有10只一等品，于是 ，同理，。 故 。 25 某人下午5：00下班，他所积累的资料表明， 到家时间5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:50 5:54 迟于5:54 乘地铁的概 率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车的概 率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日，他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家，试 求他是乘地铁回家的概率。 解 设“乘地铁回家”， “乘汽车回家” “5:355:39回家”； “ 5:405:44回家”； “ 5:455:49回家”； “ 5:505:54回家”； “ 迟于5:54回家” 因为他到家的时间为5：47，则所求概率为在事件“5:455:49回 家”发生条件下发生的条件概率： （由贝叶斯公式） 。 26 病树的主人钻出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去 的概率为0.8，若浇水，则树死去的概率为0.15。有0.9的把握确定邻居 会记得给树浇水。 （1）求主人回来树还活着的概率。 （2）若主人回来，树已死去，求邻居忘记浇水的概率。 解 （1）设“树活着”，“邻居给树浇水” 。 （2） 。 27 设本题涉及的事件都有意义。设A，B都是事件， （1）已知，证明。 （2）若，则。 （3）若C也是事件，且有 ， 证明：。 证明：（1）因为所等式 左边 ， 右边 而 ，所以 。 （2）因为 ，即 。（） 于是 因为，故 。 （3）已知 ，则由条件概率公式，得 ， 即 （） 同样，由，有 （） 由（）式 ， 或 由（），得知 ，即 。 28 有两种花籽的发芽率分别为0.8和0.9，从中各取一颗做出芽试验， 设各花籽出芽与否是相互独立的，求 （1）这两颗花籽都发芽的概率。 （2）至少有一颗发芽的概率。 （3）恰有一颗花籽能发芽的概率。 解 设 A“第一种花籽抽取的一颗花籽发芽”， B“第二种花籽抽取的一颗花籽发芽” （1）因为A与B相互独立，则AB“两颗花籽都发芽”， 故 （2）由于AB “至少有一颗花籽发芽”； 故 。 （3） 因为“恰有一颗花籽发芽 ”，又与相互独立，与相互 独立，故 29 根据报导，美国人的血型分布近似的为：A型为37%，O型的为 44%，B型为13%，AB型为6%。夫妻的血型是相互独立的。 （1）B型的人只有输入B型和O型的血才安全。若妻为B型，夫为何种 血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。 （2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。 （3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型 的概率。 （4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率。 解 （1）由题意知，夫血型为B、O都是安全输血者，因为两种血型是 相互独立的， 故所求概率为 。 （2）因为夫妇所有的血型相互独立，故所求概率为： 。 （3）。 （4）有三种可能：即夫为O，妻为非O；妻为O，夫为非O；夫妻均 为O。 。 30 （1）给出事件A，B的例子，使得 （）；（）；（） （2）设A，B，C相互独立，证明（）C与AB相互独立；（）与相 互独立。 （3）设A的概率，证明任意另一事件B，有A与B相互独立。 （4）证明事件A与B相互独立的充分必要条件是。 解（1）（）设随机试验为抛一枚骰子，A“点数为2”，B“点数为 奇数” 显然 ，而， 从而。 （）设A，B是任意两个满足条件：，的随机事件，则有 。 （）设随机试验为抛一枚骰子，A“点数为3”，B“点数为奇数”， 则 ，而，即 （2） （）因为A，B，C相互独立，所以 ， ， ， 而 （）因为 。 即C与AB相互独立。 （3） 因为，对于任意的事件B， 又 ， 所以 ，即A与B相互独立。 （4）若A与B相互独立，则，于是 。 即 若 ，则 即有 由随机事件相互独立的等价定义（教材P21的定理一）知 A与B相互独立。 31 设事件A，B的概率都大于零，说明以下叙述（1）必然对，（2）必 然错，（3）可能对，并说明理由。 （1）若A，B互不相容，则它们相互独立。 （2）若A与B相互独立，则它们互不相容。 （3），且A与B互不相容。 （4），且A与B相互独立。 解 （1）必然错。因为A与B互不相容，而，所以 ，即A与B不是相互 独立的。 （2）必然错。因为A与B相互独立，所以。 （3）必然错。若A与B互不相容，则， 而 。 （4）可能对。A与B相互独立时，。 32 有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有0.005报道为假阳性（即不 带艾滋病毒者，经此检验法有0.005的概率被认为带有艾滋病毒）。 今有140名不带艾滋病毒的正常人接受此种检验，被报道至少有1人 带艾滋病毒者的概率。 解 设“用此方法检，有人验呈阳性”，（ ），由于（ ）是相互独立 的。所以被报道至少有1人带艾滋病毒的概率为 33 盒中有编号为1,2，3,4的4只球，随机地从盒子中任取一球，事件A 为“取得的是1号球或2号球”，事件B“取得的是1号球或3号球”，事件 C“取得的是1号或4号”球。验证： ；， 但 。 解 设“取到号球”（ ），则 ， 又已知 ， ，两两互不相容。 故 ，且 ， ， 从而 ， ， 但 ，即A，B，C不是相互独立的。 34 试分别求以下两个系统的可靠性： （1）设有4个独立工作的元件1,2，3,4。它们的可靠性分别 为，将它们按34题图（1）的方式连接（称为并串联系统）。 1 3 2 4 图34（1） 1 2 3 4 5 图34（2） （2） 设有5个独立工作的元件1,2，3,4，5，它们的可靠性均为，将 它们按题图34（2）的方式连接（称为桥式系统）。 解 （1）设“元件正常工作/”（ ），该并串联系统的可靠性即 。 （2）（1）设“元件正常工作/”（ ），该桥式系统的可靠性即 35 如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警告报，我们可以人借 用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C发生时，这些开关每一个都 应闭合，且若至少有一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的 开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的 概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需 要一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只这样的开关 并联？设各个开关闭合与否是相互独立的。 解 设“第只开关闭合”（ ） （1）如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性，系统 的可靠性多少？ 已知，因为各开关闭合与否是相互独立的，故两只 这样的开关并联而电路闭合的概率为 （2）如果需要一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只 这样的开关并联？ 设需要只这样的开关并联，此时系统的可靠性， 因为 ，且相互独立，故 要使，即要使，亦即要使。 应有 36 三个人独立的去破译一份密码，已知各人能破译的概率为，。 问三人中至少有一人能将密码破译出的概率是多少？ 解 设事件“第一人能破译密码”，事件“第二人能破译密码”，事 件“第三人能破译密码”，则事件“三人中至少有一人能破译出 密码”为，又三人破译密码是相互独立的，所以