高等数学下册黄立宏廖基定著复旦大学出版社第十章课后答案.pdf

习题十习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D xy+ 与 2 ln() d D xy+ 的大小，其中： （1）D表示以（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角形； （2）D表示矩形区域( , )|3 5, 02x yxy . 解： （1）区域D如图 10-1 所示，由于区域D夹在直线x+y=1 与x+y=2 之间，显然有 图 10-1 12xy+ 从而 0ln()1xy+1 故有 2 ln()ln()xyxy+0,b0）; (2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所围（x0,y0）. 解： （1）曲线 2 2 ,(0,0) bb yx yx ab aa = 所围的图形D如图 10-26 所示： 图 10-26 D可以表示为： 2 2 0 aa yxy bb yb 所求面积为： 2 2 2 00 1 d dddd. 6 a byb b a Dy b aa Sx yyxyabyy bb = (2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x0,y0)所围图形D如图 10-27 所示： 图 10-27 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 所求面积为 d d D Sx y= 令xy=u, y v x = ,则 22 ,(2,12) u xyuvauav v = ( , )1 ( , )2 x y J u vv = 于是 2 2 22 22 222 11 2 12 11 d dd ddddln2 2222 a Da aua v aa Sx yu vvuv vvv = 14. 证明： (1) 1 1 d()( )d( )()d ; 1 byb nn aaa yyxf x xf x bxx n + = + (2) 1 1 ()d d( )d D f xyx yf uu += ,D为|x|+|y|1; (3) () 1 2 22 1 ()d d21d D f axbycx yu fu u abc += + ,其中D为x2+y21 且 a2+b20. 解： （1）题中所给累次积分的积分区域D为 ayb,axy. 如图 10-28 所示： 图 10-28 D也可表示为axb，xyb， 于是： 1 1 1 d()( )dd()( )dd( )() 1 1 ( )()d . 1 b bybbb nnn aaaxa x b n a yyxf xxxyxf xyxf xyx n f x bxx n + + = + = + (2)令x+y=u,x-y=v，则 , 22 uvuv xy + = ,且-1u1,-1v1 ( , )1 ( , )2 x y u v = ,于是 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 111 111 11 11 11 ()d d( )d dd( )d( )d . 22 Du v f xyx yf uu vuf uvf uu += (3)令 2222 , aubvbuav xy abab + = + ,则 22 222222 2222 2222 ()() ( , ) 1 ( , ) f axbycf u abc ab x yababab J bau vabab abab +=+ + =+= + + 当x2+y21 时， 22 222222 22 22 2222 ()() 1. aubvbuavab uab v uv ab abab + +=+ + + 于是 () () () () 22 2 2 2 2 22 1 11 22 11 1 1 22 11 1 2 22 1 ()d dd d dd d 21d . D uv u u u u f axbyc x yfu v u abc ufv u abc fvu u abc u fu u abc + += + = + = + = + 15. 求球面x2+y2+z2=y2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积。 解：如图 10-29 所示： 图 10-29 上半球面的方程为 222 zaxy= ，由 222222 , zxzy xy axyaxy = 得 2 2 222 1 zaz yx axy += 由对称性知 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 2 222 cos 2 222200 cos cos 1 22 22 22 2 22000 0 2 2 0 41d d4d d 11 4d d4dd ( 1) 2dd()2d 2() 4(1 sin )d2(). DD a D a a zaz Ax yx y y x axy ar rar r arar aara ar ar aaaa =+= = = = 16. 求锥面z= 22 xy+ 被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积。 解：由z2=x2+y2,z2=2x两式消去z得 x2+y2=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为：x2+y22x,而 2222 2 2 22 222 ;, 112. zxzy xy xyxy zxyz yxyxy x = + +=+= + 故所求曲面的面积为. 2 2 2cos 2 00 2cos 2 22 2 2 00 0 0 1d d2d d2d2 d 2d4 2cosd2 2(1 cos2 )d2. DD z z Ax yx yr r y x r =+= =+= 17. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。 解：由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部分面积的 16 倍，如图 10-30 所示。 图 10-30 这部分曲面的方程为 22 zRx= ，于是所求面积为. 22 22 22 2 2 22 222200 2 22 00 0 161d d1610 d d 16d d16dd 16d16d16. DD RRx D Rx RR xz z Ax yx y y xRx RR x yxy RxRx R yxR xR Rx =+=+ = = 18. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (1)D由 0 2,0ypx xxy= 所围成； (2)D是半椭圆形闭区域： 22 22 1,0 xy y ab + ; (3)D是介于两个圆r=acos,r=bcos(00,b0） 对x轴及坐标原点的转动惯量 （面 为常数）. 解：所围三角区域D如图 10-37 所示： 图 10-37 3 2223 000 3 2222 2 0 000 0 3 3 22 23 0 d dddd. 12 () d dd()dd 3 d(). 1 12 3 a bayb b x D a ay a bbayb b D b aba Iyx yyyxyayy b x Ixyx yyxyxy y x abaa y ybaayy bb = =+=+= + =+ + 24. 求面密度为常量的匀质半圆环形薄片： 2222 12 ,0RyxRyz= 对位于z轴上点M0(0,0,a)(a0)处单位质量的质点的引 力 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m F. 解：由对称性知Fy=0，而 () 2 1 22 11 2 11 2 33 22222 2 22 22 2 33 2222 2 22 22 arctanarctan 2 33 arctanarctan cos ddd ()() cos dd2d(tan ) () tan 2secd2(seccos )d sec R DR RR RR RR a RR aa xr FxGGr r xyara rr GrGrrat rara at Gat tGttt at = + = + = 令 2 22 22 21 222222 1121 2ln a RaRRR G RaRRaRa + =+ + () () 2 1 2 1 2 33 22222 2 22 1 2222 22 2 21 dd d () 111 R z DR R R r r FGaGa raxya GaGa RaRa ra = = + = + + 故所求引力为： 22 22 21 222222 1121 2222 21 2ln,0, 11 RaRRR FG RaRRaRa Ga RaRa + =+ + + 25. 化三重积分 ( , , )d d dIf x y zx y z = 为三次积分，其中积分区域分别是： (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0 所围成的闭区域； (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1 所围成的闭区域； (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域; (4)由曲面cz=xy(c0)， 22 22 1,0 xy z ab += 所围成的第I卦限内的闭区域。 解：(1)积分区域如图 10-38 所示， 图 10-38 可表示为： 01 01 0 x yx zxy 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 故 11 000 dd( , , )d . xxy Ixyf x y z z = (2)积分区域如图 10-39 所示。 图 10-39 可表示为： 22 22 11 11 1 x xyx xyz + 故 2 222 111 11 dd( , , )d . x xxy Ixyf x y zz + = (3)由 22 2 2 2 zxy zx =+ = 消去z得 222 22xyx+= 即 22 1xy+= ，所以在xOy面的投影区域为x2+y21，如图 10-40 所示。 图 10-40 可表示为： -1x1, 22 11xyx ,x2+2y2z2-x2 故 22 222 112 112 dd( , , )d . xx xxy Ixyf x y zz + = (4)积分区域如图 10-41 所示。 可表示为： 22 0,0,0 bxy xayaxz ac 图 10-41 故 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 22 000 dd( , , )d . bxy aax ac Ixyf x y zz = 26. 在直角坐标系下计算三重积分： (1) 23d d d xy zx y z ,其中是由曲面z=xy与平面y=x,x=1 和z=0 所围成的闭区域； (2) () 3 d d d 1 x y z xyz + ，其中为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的四面体； (3) 2d d d zx y z ，是两个球：x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分； (4) d d dxyz x y z ,其中是由x=a(a0),y=x,z=y,z=0 所围成； (5) e d d d y x y z ,其中是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2 所围成； (6) sin d d d yx x y z x ,其中是由 ,0, 2 yx yxz=+= 所围成。 解：(1)积分区域如图 10-42 所示。 图 10-42 可表示为： 01 0 0 x yx zxy 11 232323 000000 4 11 256 0000 0 1 12 0 d d ddddddd 1 dddd 4 4 11 d. 28364 xxyxxy xy xx xy zx y zxyxy zzx xyyzz z x xyyxxyy xx = = = (2)积分区域如图 10-43 所示，可表示为： 01 01 01 x yx zxy 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 图 10-43 故 111 33 000 1 11 2 00 0 11 2 00 1 1 0 0 1 0 d d d1 ddd (1)(1) 1 dd 2(1) 11 dd 2(1)8 11 d 2(1)8 13115 dln2 2(1)8828 xx y x y x x x x y z xyz xyzxyz xy xyz xy xy yx xy xx x = + = + = + = + += + (3)积分区域如图 10-44 所示。 图 10-44 由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为： 222 3 4 2 xyR R z += = ,且平面 2 R z= 把积分 区域分为两部分， 且积分区域在z轴上的投影区间为0,R,记过 0, 2 R 上任意一点z的平 行于xOy面的平面与相交的平面区域为D1(z),过 , 2 R R 上任意一点z的平行于xOy面的 平面与的相交的平面区域为D2(z)，则 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 12 12 222 2 0( )( ) 2 22 2 0( )( ) 2 22222 2 0 2 34224 2 0 2 2 2 45 35 0 d d ddd ddd d dd ddd d (2)d()d (2)d()d 2535 R R R DzDz R R R DzDz R R R R R R R zx y zzzx yzzx y zzx yzzx y zRzzzzRzz RzzzR zzz RR zzzz =+ =+ =+ =+ =+ 5 2 59 480 R R R= (4)积分区域如图 10-45 所示。 图 10-45 可表示为： 0 0 0 xa yx zy 故 2 00000000 0 3566 000 0 d d ddddddddd 2 1111 ddd. 284848 y axyaxyax a axa z xyz x y zxyxyz zx xy yz zx xyy x xyyxxax = = (5)积分区域如图 10-46 所示。 图 10-46 在y轴上的投影区间为0,2，故 222 22 0( )00 222 2 22 2 0 000 2 e d d de dd de(1)d(ee )d e de de2e de 3(e1). yyyyy D y yyy y x y zyx zyyyy xyyyyy =+=+ =+=+ = (6) 积分区域如图 10-47 所示。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 图 10-47 可表示为： 0 2 0 0 2 x yx zx 故 222 00000 222 000 sinsinsin d d dddddd 2 11 sin dsin dsin d. 424242 xxx yxxx x y zxy yzxy yx xxx x x xx xxx x = = 27. 如果三重积分 ( , , )d d df x y zx y z 的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x),f2(y),f3(z)的乘 积，即f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z)，积分区域为axb，cyd,lzm，证明,这个三重积 分等于三个单积分的乘积，即 123123 ( )( )( )d d d( )d( )d( )d bdm acl f x fy fzx y zf xxfyyfzz = 证： 123123 123123 1 13232 ( )( )( )d d ddd( )( )( )d d ddd( )( )( )d( )( )( )d d( )( )( )d( )d( )d( )d bdm acl bdbd mm acac ll b mdmd aa lclc f x fy fzx y zxyf x fy fzz yxyxf x fy fzzf x fyfzz xf xf xfzzfyyfzzfyy = = = 1123 32 d ( )d( )d( )d( )d .( )d( )d b bbdm md aacc lc x f xxf xxfyyfzzfzzfyy = 28. 利用柱面坐标计算下列三重积分： (1) dz v ,其中是由曲面 22 2zxy= 及 22 zxy=+ 所围成的闭区域； (2) 22 ()dxyv + ,其中是由曲面 22 2xyz+= 及平面z=2 所围成的闭区域. 解：(1) 由 22 2zxy= 及 22 zxy=+ 消去得 22 1xy+= ,因而区域在xOy面上的投影 区域为 22 1xy+ ,如图 10-48 所示，在柱面坐标系下：可表示为： 22 01, 02, 2rrzr 故 2 2 212 00 dddd r r z vr rz z = 图 10-4 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 1 24 0 1 246 0 1 2(2)d 2 711 .r 1246 rrrr rr = = (2) 积分区域如图 10-49 所示，在柱面坐标系下，可表示为 2 02, 02, 2 2 r rz 故 22 ()dxyv + 2 2 222 3 00 2 2 3546 2 0 0 d d d ddd 111 2(2)d2 2212 16 . 3 r rr rz rrz rrrrr = = = = i 29. 利用球面坐标计算下列三重积分： (1) 222 ()dxyzv + ，其中是由球面 222 1xyz+= 所围成的闭区域； (2) dz v ，其中由不等式 2222 ()xyzaa+ , 222 xyz+ 所确定. 解： （1） 2224 ()dsin d d dxyzvrr += 21 4 000 5 1 00 dsin dd 14 2cos . 55 rr r = = i (2) 积分区域如图 10-50 所示，在球面坐标系下，可表示为 02, 0, 02 cos 4 ra 故 2 dcossin d d dz vrrr = 22 cos 3 4 000 4 4 0 45 4 0 4 46 0 4 sin cos dd 1 =2sincos(2 cos ) d 4 8sincosd 1 8cos 6 7 . 6 a drr a a a a = = = = i 30. 选用适当的坐标计算下列三重积分： 图 10-4 图 10-5 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (1) dxy v ， 其中为柱面 22 1xy+= 及平面z=1,z=0,x=0,y=0 所围成的第I卦限内的闭区 域； (2) 222d xyzv + ,其中是由球面 222 xyzz+= 所围成的闭区域; (3) 22 ()dxyv + ,其中是由曲面 222 425()zxy=+ 及平面z=5 所围成的闭区域； (4) 22 ()dxyv + ，其中由不等式 222 0,0axyzA z0)及x2+y2=z2（含有z轴的部分） ； (3) 22 zxy=+ 及z=x2+y2; (4)z= 22 5xy+ 及x2+y2=4z. 解： （1）曲面围成的立体如图 10-55 所示。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 在柱面坐标系下，可表示为： 2 02 02 6 r rzr 图 10-55 用柱面坐标可求得的体积 2 226 00 2 2 23234 0 0 dd d dddd 3211 2(6)d2.3 334 r r vvr rzr rz rrrrrrr = = （2）曲面围成的立体如图 10-56 所示。 在球面坐标系下可表示为： 02 0 4 02 cosra 图 10-56 利用球面坐标可求得的体积： 22 cos 22 4 000 4 33334 2 0 0 dsin d d ddsin dd 881 2cossin d2.cos 334 a vvrrrr aaa = = （3）曲面围成的立体如图 10-57 所示。 在柱面坐标系下，可表示为： 2 02 01r rzr 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 图 10-57 利用柱面坐标可求得的体积： 2 211 23 000 1 34 0 dddd2()d 11 2. 634 r r vvr rzrrr rr = = (4) 曲面围成的立体如图 10-58 所示。在柱面坐标系下，可表示为： 2 2 02 02 5 4 r r zr 图 10-58 利用柱面坐标可求得的体积： () 2 2 225 00 4 2 222 23 2 000 2 2 3 4 2 2 0 0 dd d dddd 2d25dd 5 2 4 2 2 . (5)5 54 38 3 r r vvrr zr rz r rrrrrrr r rr = = = *32. 选择坐标变换计算下列各题： （1） 222 222 222 222 1d ,( , , ) 1 xyz xyz vx y z abc abc = + （2） 222 222 222 222 expd ,( , , ). 1 xyzxyz vx y z abcabc = + 解： （1）令 sincos sinsin cos xar ybr zcr = = = 则积分区域变为*： 01 0 02 r 且 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 sincoscoscossinsin ( , , ) sin .sinsincossinsincos ( , , ) cossin0 aarar x y z abcrbbrbr r ccr = 故 * 222 22 222 1d1sin d d d xyz vrabcrr abc = 21 22 000 2 0 dsin d1d 2 .cos 164 abcrrr abc abc = = (2) 坐标变换同（1） 。 * 222 2 222 21 2 000 0 expdesin d d d dsin de d 2(e2)4(e2).cos r r xyz vabcrr abc abcrr abcabc = + = = 33. 球心在原点， 半径为R的球体， 在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比， 求这球体的质量。 解：利用球面坐标计算： ：0 ,02,0,rRkr= 则 2 000 44 0 0 ddsin dd 2.cos 4 R R Mvkr rr k k Rr = = 34. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心（设密度=1）; (1)z2=x2+y2,z=1; (2) 222222 ,(0),0;zAxyzaxzAaz= (3)z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0. 解： （1）两曲面所围立体为一高和底面半径均为 1 的圆锥体（如图 10-59 所示） ，其体积 v= 1 3 .在柱面坐标系下，可表示为：rz1,0r1,02. 图 10-59 又由对称性可知，重心在z轴上，故 0xy= , 2111 3 000 1 24 0 1121 dddd()d 2 1 23 . 24 24 r zzvr rz zrrr Mvv rr v = = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 所以，所围立体的重心为 3 0,0, 4 . (2)所围立体如图 10-60 所示。其体积 () 33 2 . 3 v Aa = . 图 10-60 在球面坐标系下，可表示为： 02,0, 2 arA , 又由对称性知，重点在z轴上，故 0xy= , 2 33 2 0 44 4 2 330 11 dsincos d d ddsincos dd 2 13()1 .cos2 48()4 A a A a zzvrrrr Mvv Aa r vAa = = 故所围立体的重心为 44 33 3() .0,0, 8() Aa Aa (3) 所围立体如图 10-61 所示，在直角坐标系下，可以表示为 图 10-61 0xa,0ya-x,0zx2+y2. 先求的体积V. 22 000 2223 000 0 23 0 4344 0 d d dddd 1 d()dd 3 1 d()() 3 111 .() 63412 aa xxy a x aa xa a a Vx y zxyz xxyyxx yy xxaxax a axxax + = =+=+ + = 故 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 22 000 23 0 3 4322 0 5 4 11 dddd 11 d()() 3 1 4 d 2 33 624111 . 515236 aa xxy a a xxvx xyz MV xxxaxax V a x xaxa xx V aa a + = =+ = + =+ 由关于平面y=x的对称性可知。 2 5 yxa= . 又 22 000 4224 00 24235 4 0 11 dddd 1 d(2)d 2 3721 d.()()() 3035 aa xxy aa x a zzvxyz z MV xxx yyy V xaxaxxaxax a + = =+ =+ 故所围立体的重心为 2 227 , 5530 aaa . 35. 球体x2+y2+z22Rz内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求 这球体的重心。 解：用球面坐标计算，在球面坐标系下球体可以表示为：0r2Rcos，0 2,0 2，球体密度=r2,由对称性可知重心在z轴上，故 0xy= ，又球体的质量 22cos 22 2 000 55 2 0 5 2 56 0 ddsin dd 32 2sincosd 5 64321 .cos 5156 R Mvrrr R R R = = = = 从而 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3 22cos 5 2 000 67 2 0 2 68 0 6 5 11 dcos d 1 dsincos dd 264 sincosd 6 1641 cos 38 1585 . 3234 R zz vrv MM rr M R M R M R R R = = = = = 故球体的重心为 5 0,0, 4 R . 36. 一均匀物体（密度 为常量）占有的闭区域由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围 成。 （1）求物体的体积； （2）求物体的重心； （3）求物体关于z轴的转动惯量。 解： （1）如图 10-62 所示。由对称性可知。 图 10-62 22 22 00000 423 0 4ddd4d()d 81 4d. 33 aaxyaa a Vxyzxxyy xaaxa + =+ =+ (2)由对称性知 0xy= ，而 22 000 4224 00 4325 0 62 14 dddd 2 d(2)d 221 d 35 27121 . 15595 aaxy aa a zz vxyz z MV xxx yyy V xaxa xa V aa V + = =+ =+ =+ 故物体重心为 2 7 0,0,15a . 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ()() 22 2222 000 4224 00 4325 0 66 (3)d4ddd 4d(2)d 21 4d 35 28112 4. 4545 aaxy z aa a Ivxyzxyxy xxx yyy xaxa xa aa + =+ =+ =+ = 37. 求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转动惯量（设密度 =1）. 解：建立坐标系如图 10-63 所示，用柱面坐标计算。 图 10-63 () 3 22 2 3 4 000 0 4 dd d d 1 ddd2 4 1 . 2 z a xah Ivrrzxy rrzhr ha =+ = = 38. 求均匀柱体： 222,0 xyRzh+ 对于位于点M0（0，0，a）(ah)处的单位质量的 质点的引力。 解：由柱体的对称性可知，沿x轴与y轴方向的分力互相抵消，故Fx=Fy=0,而 22 3 222 2 3 0222 2 2 3 0 0022 2 22 0 22 () d () d d ()d () d ()dd () 11 2()d () 1 2 () z h xyR R h h az FGv xyaz x y Gazz xyaz r r Gazz raz Gazz az Raz az G Raz 2 + = + = + = + = = + 0 22 0 2222 d 2 () 2. () h h z G zRaz G hRazRa = + = + 39. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上， 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 匀矩形薄片， 为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上， 问接上去的均匀矩形薄片另一边 的长度应是多少？ 解： 如图 10-64 所示， 因为闭区域D对称于y轴， 所以重心 ( , )C x y 必位于y轴上， 即 0x= ， 要使重心恰好落在圆心上，必须使 0y= ,于是必须 d0 D y = ,而 图 10-64 12 0 2 00 0 2 332 dddddsin dd 12 22. 33 2 RR hR DDD h yyyy yxrr y RRRRh =+=+ =+ = 由 32 2 0 3 RRh= 得 6 3 hR= . 即均匀矩形薄片另一边长度应是 6 3 R . 40.求由抛物线y=x2及直线y=1 所围成的均匀薄片（面密度为常数 ）c对于直线y=-1 的转 动惯量。 图 10-65 解： 2 2 1 111 223 11 1 (1) dd(1) dd(1) 3 Dx x Iyxyyxy =+=+=+ 1 23 1 368 d.8(1) 3105 xx =+ *41. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性： (1) 22 22 1 d d ; ()m xy x y xy + + (2) d d (1)(1) q p D x y y x + ,D为全平面； (3) 22 01 ( , ) d d0.( , ) (1) p y x y x ymMx y xy = + + 故当m1 时，原积分收敛，当m1 时发散。 （2）由于被积函数是正的，并且关于x轴和y轴都对称，故 0000 d dd ddd 44 11 (1)(1)(1)(1) qqpq pp D x yx yxy xy yy xx + = + + 由于 1 lim1 1 p p x x x + = + ,故积分 0 d 1 p x x + + 当p1 时收敛，p = + + 1 1 1 d 0 p p x x p 有限数 . 同理有： 0 1d 11 q qy qy + = + 有限 . 由此可知 d d (1)(1) q p D x y y x + 仅当p1 且q1 时收敛，其他情形均发散。 (3)由 0 时收敛， 1 2 p 时收敛，当 1 2 p 时发散。 当 时 当 时 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m *42. 计算积分 22 ()22 decos()d . xy yxyx + + + 解：由于 22 22 () ()22 e ecos() xy xy xy + + + 而 22 () ed d xy x y + + 收敛， 故 22 () ed d xy x y + + 收敛，从而，采用极坐标有： 2222 ()222 00 0 22 0 ecos()d ddecosd e cos d sincos e. ( 1)12 xyr t t t t xyx yrrr t t tt + + + =+ = += = = + *43. 试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性： (1) 22 22 1 d d ()m xy x y xy + + ; (2) 22 22 1 ( , ) d d0.( , ) () p xy x y x ymMx y xxyy + (当(x,y)(0,0)时) 故 222222 ( , ) ()()() ppp x ymM xxyyxxyyxxyy + (当(x,y)(0,0)时) 再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分 22 22 1 ( , ) d d () p xy x y x y xxyy + + 与 22 22 d d () p xy x y xxyy + + 同敛散。 由于 22 1 0 () p xxyy + (当(x,y)(0,0)时)，采用极坐标即得 22 21 2221 00 1 d dd () 1 1sin2 2 ppp xy x ydr xxyyr + = + + 而 2 0 d 1 1sin2 2 p + 为常义积分，其值为有限数， 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 而 1 21 0 1 ,1; 2(1) ,1. p p dr p r p = + 由此可知：原积分 22 22 1 ( , ) d d () p xy x y x y xxyy + + 当p1 时收敛，当p1 时发散。 44. 设A（0，0，a）为球体x2+y2+z2R2内一质量为 1 的质点（0aR，球体密度为常数）, 求球对A的吸引力。 解: 2222 22 3 222 2 3 222 2 2 3 00 22 2 22 2 d () d d ()d () d ()dd () 11 2()d 2 () 2sgn()d2 2 z R RxyRz RRz R R R R R za FGv xyza x y Gza z xyza r r Gza z rza Gzaz zaRaza za Gza zG Raz + = + = + = + = + = + 2 d 44 2. 33 R R z a a GGaa = + 45. 计算下列对弧长的曲线积分： （1） 22 () d n L xys+ ，其中L为圆周x=acost,y=asint(0t2); (2) ()d L xys+ ,其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段； (3) d L x s ,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界； (4) 22 ed xy L s + ，其中L为圆周x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整 个边界； （5） 222 1 ds xyz + ，其中为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从 0 变到 2 的这段 弧； （6） 2 dx yz s ，其中为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2), (1,3,2)； (7) 2d ys ，其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)； （8） 22 ()d L xys+ ，其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcot), (0t2)； （9） 2 22 d z s xy + ，其中为螺旋线，x=acost,y=a